第3章动量角动量

第三章动量角动量力的作用总要持续一段时间,需考虑力(矩)的累积作用力对时间累积作用瞬时关系式改变动量动量定理力矩对时间累积作用改变角动量力对空间累积作用平动动能力矩对空间累积作用改变转动动能角动量定理动能定理定轴转动动能定理动量定理动量守恒定律3.13.1.1质点的动量定理牛顿第二定律物体的动量对时间的变化率与所加的外力成正比，并且发生在这外力的方向上。改写考虑一过程，时间从t1-t2，积分质点的动量定理力对时间的积累（冲量）动量的增量注意：1.关于冲量的理解(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所受冲量的矢量和。(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的方向来确定,而不管在这一过程中动量变化的细节如何注意：2.动量定理的意义(1)将过程量的计算转变为状态量的变化,而不必考虑过程中复杂的具体细节。(2)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。测出和，算出，由(3)动量定理在处理变质量问题时很方便。习题3-3

质量10kg的物体在t＝0时速度为零。如果物体在沿着x轴方向的力F=(3+4t)N

作用下运动了3s，计算3s末物体的速度和加速度。解（1）3秒内力的冲量为由动量定理得（2）3s末质点的加速度

由相互作用着的两个或两个以上的质点组成的系统称为质点系。3.1.2质点系的动量定理动量守恒定律质点系是物理学中的基本概念，分子是由原子核和许多核外电子组成的，可将分子当作质点系；气体和固体是由许多原子或分子组成的，也可以当作质点系；由许多天体构成的星系也能视为质点系。将质点力学的规律应用到组成质点系内每一个质点上，就能推演出质点系的运动规律。因此，质点系概念的提出为研究质点力学向实际力学问题的过渡搭建了桥梁。

顺便指出，刚体是一种特殊的质点系，其特征是刚体内任意两质点之间的距离在运动中保持不变。

3.1.2质点系的动量定理动量守恒定律设质点系由n个质点组成,某瞬时,第i个质点的动量为则质点系的动量为3.1.2质点系的动量定理动量守恒定律一、质点系的动量定理因为和是相互作用的内力，故作用于两质点组成的系统的合外力的冲量等于系统内两质点动量的增量。两式相加3.1.2质点系的动量定理动量守恒定律一、质点系的动量定理质点系12ni设第i个质点的质量为mi、初速度为

,经过时间t后，速度为,在此过程中,受到外力的矢量和为,内力的矢量和为。对第i个质点应用质点的动量定理有对所有质点应用质点的动量定理有考虑到所有内力的和，为系统后来的总动量，为系统初始状态的总动量。

作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量,此即质点系的动量定理。只有外力才能改变系统的动量，而系统的内力(系统内各质点间的相互作用)不能改变系统的动量。二、质点系动量守恒定律

在某一过程中，若合外力的冲量等于零，即则

当质点系所受的合外力为零时，质点系的总动量保持不变,该结论称为质点系动量守恒定律。动量守恒定律的分量形式为当时，常量当时，常量当时，常量如果系统沿某坐标方向所受合外力为零,则沿此坐标方向的总动量分量守恒。

注意：(1)

动量守恒是指系统内各质点动量的矢量总和保持不变，但每个质点的动量可能会发生变化。(2)系统动量守恒的条件是合外力为零。在碰撞、打击、爆炸等过程，因为物体相互作用时间极短，相互作用内力很大，往往可忽略外力，即认为系统的动量守恒。(3)动量守恒定律只适用于惯性系，使用时所有速度必须相对于同一惯性系。(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。在微观高速范围同样适用。例3-3

如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l的小车,车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？选地面为参照系解、为系统系统在水平方向受的合外力为零系统在水平方向动量守恒选向左的方向为正方向或两边同时乘以时间dt，设人从A走到B所用时间为t,人与车相对于地面走过的距离分别为Sm和SM(如图),积分得即得考虑到例3-4

如图,静止的物体炸裂成三块.其中两块具有相等的质量,且以相同的速率30m/s沿相互垂直的方向飞开,第三块的质量恰好等于这两块质量的总和,试求第三块的速度(大小和方向)。解爆炸力是内力，远大于系统所受外力，认为动量守恒，系统初动量为零。三块碎片的动量之和仍为零。由于、和共面，且

和相互垂直

考虑到解得角动量定理角动量守恒定律3.23.2.1质点的角动量定理角动量守恒定律一、力矩说明：(1)力矩是矢量大小方向垂直于、所构成的平面，满足右手螺旋关系(2)力矩在直角坐标系中的计算

设例3-5质量为1.0kg

的质点沿着由决定的曲线运动。求此质点在时所受的相对于坐标原点的力矩。

解t=1.0s时二、质点的角动量(动量矩)质点的角动量(2)角动量是状态量。说明：(1)角动量是矢量方向垂直于、所构成的平面，满足右手螺旋关系大小(3)角动量是相对量，必须相对于参考点:为和之间的夹角解例3-7

如图，质量为m、速度为的A粒子以瞄准距离d射向B粒子（所谓瞄准距离即粒子B到粒子A速度方向线的垂直距离）。试求A粒子对B粒子的角动量的大小和方向。

A粒子对B粒子的角动量大小

问题3-6

如图,两刚性轻杆互相垂直,且在中点O处固结,4个质量均为m的质点分别固定于两杆的4个端点。系统绕过点O且与两杆均垂直的轴沿逆时针方向转动。建立图示坐标系，(1)写出图示瞬时各质点的动量、角动量。设系统转动角速度为ω，杆长均为l。(2)如系统作加速转动,系统的动量和角动量变化吗？垂直纸面向里质点的角动量定理（微分形式）三、质点的角动量(动量矩)定理求导质点所受合力对点O的力矩，等于质点对点O的角动量的时间变化率。改写考虑一过程，时间从t1-t2，两端积分质点的角动量定理（积分形式）力矩对时间的积累(冲量矩)角动量增量质点所受合力对点O的冲量矩，等于质点对点O的角动量的增量。四、质点的角动量(动量矩)守恒定律(2)角动量守恒定律也是自然界最基本、最普遍的守恒定律☆☆(1)力矩为零,有三种情况

(3)动量守恒,角动量不一定守恒;角动量守恒,动量也不一定守恒。若则质点的角动量守恒定律说明：☆方向相同或相反问题3－9

如图，质量为m

的小球系在绳子的一端，绳穿过水平面上一小孔O，使小球限制在光滑水平面上运动，先使小球以速度υ0绕小孔做半径为r0

的圆周运动，然后缓慢向下拉绳使圆周的半径减为r1，求此时小球的速度？解初角动量角动量守恒末角动量由解得小球在运动过程中只受径向拉力作用3.2.2刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律一、刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量刚体上任一质元对转轴的角动量刚体上任一点都在转动平面内作圆周运动刚体对定轴的角动量等于刚体对定轴的转动惯量与角速度的乘积。说明：有正负正负与ω同二、刚体定轴转动的角动量定理（1）刚体定轴转动的角动量（2）刚体定轴转动转动定律(角动量陈述)刚体定轴转动的转动定律刚体所受的对某给定轴的总外力矩等于刚体对此轴的角动量的时间变化率。改写考虑一过程，时间从t1-t2，两端积分刚体定轴转动的角动量定理力矩对时间的积累(冲量矩)角动量增量刚体所受合力矩的冲量矩，等于刚体在这段时间间隔内的角动量的增量。说明：(1)对于刚体，它对转轴的转动惯量保持不变(2)如果物体在转动过程中，物体内各质点相对于转轴的位置发生了变化，那么物体的转动惯量J也必然随时间变化三、刚体定轴转动的角动量守恒定律

(1)物体绕定轴转动,如果转动惯量不变,则角动量守恒,即角速度为常数,物体匀速转动;如果转动惯量可以改变,则物体的角速度也随之改变，但两者之积保持不变

若则刚体对固定转轴的角动量守恒定律说明：或(3)运动物体与定轴转动物体碰撞时,由于相互作用时间极短,有限的外力矩的冲量矩可以忽略,运动物体与定轴转动物体组成的系统的角动量守恒;但由于固定转轴可能受到很大约束力,其冲量不能忽略,所以动量一般不守恒。(2)当转动系统由多个物体组成,则系统的角动量守恒定律为

子弹击入杆以子弹和杆为系统角动量守恒动量不守恒以子弹和沙袋为系统动量守恒角动量守恒子弹击入沙袋细绳质量不计思考：角动量守恒定律的实例选子弹和木杆为研究对象，系统所受外力矩为零，角动量守恒。例3-9

如图，长为l、质量为M

的匀质木杆,一端挂在光滑的水平轴O上,开始时静止于竖直位置,现有一粒质量为m

的子弹以速度υ0

从杆的中点未穿过，求匀质木杆开始转动时的