人教A版高一（下）数学必修第二册6.2.3向量的数乘运算【教学设计】

第第页人教A版高一（下）数学必修第二册6.2.3向量的数乘运算教学设计课题6.2.3向量的数乘运算课型新课型课时1课时学习目标1.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的三条运算律，会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算；2.通过实例分析、掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.3.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义.4.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件两个向量是否平行；学习重点教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；学习难点教学难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。学情分析学生在学习本节内容之前，已熟知了向量的概念，掌握了向量的加、减运算，并且初步体会了研究向量运算的一般方法，即先由特殊模型抽象出概念，然后再从概念出发，还在与实数运算类比的基础上研究了向量加法的运算律.这为学生学习向量的数乘运算做了很好的铺垫，使学生更容易接受.核心知识1.了解向量数乘的概念.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法．教学内容及教师活动设计（含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容）教师个人复备问题1：向量加法的三角形法则和平行四边形法则各是什么？问题2：向量减法的几何意义是什么？【师生互动】师生共同回顾前面所学过的向量加法和减法的相关知识.【设计意图】学习新知识前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备.◆探究已知非零向量，作出和．它们的长度和方向分别是怎样的？如图6.2-14，．类比数的乘法，我们把记作，即．显然的方向与的方向相同，的长度是的长度的3倍，即|．类似地，由图6.2-14可知，，我们把记作，即．显然的方向与的方向相反，的长度是的长度的3倍，即．一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘(multiplicationofvectorbyscalar)，记作，它的长度与方向规定如下：(1)；(2)当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反．由(1)可知，当时，．由(1)(2)可知，．一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.2λaa≠0的方向eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(当λ>0时，与a的方向相同；,当λ<0时，与a的方向相反.))特别地，当λ＝0时，λa＝0．当λ＝－1时，(－1)a＝－a.注意点：(1)数乘向量仍是向量．(2)实数λ与向量不能相加．eq\o\ac(○,?)你对零向量、相反向量有什么新的认识？eq\o\ac(○,?)思考如果把非零向量的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量，之间的关系怎样？根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律是成立的．设，为实数，那么（1）；（2）；（3）．特别地，我们有，．向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量，，以及任意实数，μ1，μ2，恒有总结：数乘运算的运算律设λ，μ为实数，那么(1)λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.应用新知例5计算：（1）；（2）；（3）．解：（1）原式＝；（2）原式＝；（3）原式＝．【变式】已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数.【答案】【知识点】已知向量共线（平行）求参数【分析】利用向量共线的充要条件建立方程组进行计算求解.【详解】因为与是共线向量，所以存在实数，使得，所以，即，又因为是两个不共线的向量，所以，解得故答案为：.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.注意点：(1)向量共线定理中规定a≠0．(2)λ的值是唯一存在的．例6如图6.2-15，□ABCD的两条对角线相交于点，且，，用，表示，，和．解：在□ABCD中，，．由平行四边形的两条对角线互相平分，得，，，．【变式】在△ABC中，点D满足，点E满足，则=（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】向量的线性运算的几何应用【分析】由平面向量的线性运算法则求解．【详解】如图1，.故选：C用已知向量表示未知向量的求解思路将待表示的向量通常放在三角形或平行四边形中，利用向量的加法、减法、数乘的几何意义向已知向量转化．例7如图6.2-16，已知任意两个非零向量，，试作，，．猜想，，三点之间的位置关系，并证明你的猜想．分析：判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线，为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上．在本题中，应用向量知识判断，，三点是否共线，可以通过判断向量，是否共线，即是否存在，使成立．解：分别作向量，，，过点，作直线(图6.2-17)．观察发现，不论向量，怎样变化，点始终在直线上，猜想，，三点共线．事实上，因为，，所以．因此，，，三点共线．【变式】已知，是两个不共线的向量.(1)若，，，求证：A，B，D三点共线；(2)若和共线，求实数的值．【答案】(1)证明见解析；(2)【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、已知向量共线（平行）求参数【分析】（1）求出，找到使成立的即可证明；（2）通过平行，必存在实数使，列方程组求出实数的值.【详解】（1），又，，，又，A，B，D三点共线；（2）向量和共线，存在实数使，又，是不共线，，解得.例8已知，是两个不共线的向量，向量，共线，求实数的值．解：由，不共线，易知向量为非零向量．由向量，共线，可知存在实数，使得，即．由，不共线，必有．否则，不妨设，则．由两个向量共线的充要条件知，，共线，与已知矛盾．由，解得．因此，当向量，共线时，．【变式】已知，是两个不共线的向量，向量，共线，则实数t的值为.【答案】2【知识点】已知向量共线（平行）求参数【分析】根据向量共线定理即可求解.【详解】向量，共线，所以存在实数，使得，由于，是两个不共线的向量，所以且，所以，故答案为：2关于向量共线定理(1)向量共线定理中规定向量a≠0，因为如果a＝0，当b＝0时，0＝λ0，λ可以是任意实数；当b≠0时，b＝λ0，λ值不存在．当向量a，b同向时，λ>0，当向量a，b反