2022-2023学年贵州省铜仁市高二上学期1月期末质量监测数学试题【含答案】

2022-2023学年贵州省铜仁市高二上学期1月期末质•监测数学试题

一、单选题

I.直线3x-"y-l=()的倾斜角是

A.ɪB.£C.≥D.2

6336

【答案】B

【分析】直线M-Qy-I=O即y=JIr-乎，故直线的斜率为

设直线的倾斜角为α

则0≤α<万，且tanα=

故α=W

故选B

【详解】2.若直线/经过两点A(l,2∕),8(τ,l)且与直线/'：x+2y-2=0平行，贝IJt=()

A.1B.2C.—D.—

45

【答案】D

【分析】根据直线平行，即斜率相等，结合斜率两点式列方程求参数即可.

【详解】由题意铝=-1，则5r=l,可得/=：.

1+r25

故选：D

3.为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学

习筑围，不断提高学生对科学、法律、健康等知识的了解，某学校组织高一10个班级的学生开展“红

色百年路.科普万里行，，知识竞赛.统计发现，10个班级的平均成绩恰好成等差数列，最低平均成绩为

70,公差为2,则这10个班级的平均成绩的第40百分位数为()

A.76B.77C.78D.80

【答案】B

【分析】先利用等差数列的首项和公差求出通项公式，再利用百分位数的概念求解即可.

【详解】记10个班级的平均成绩形成的等差数列为伍"，则%=70+2(〃-1)=2〃+68,

又10x40%=4,所以这10个班级的平均成绩的第40百分位数为包磬=”要=77.

故选：B

4.过抛物线V=2px(p>0)的焦点/作直线，交抛物线于A(3,yJ,以2,必)两点，若∣Afi∣=8,则。=

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】如图所示，由题得嘴,0),利用抛物线的定义化简IABI=IA用+1S=8即得解.

【详解】如图所示，由题得尸(5,0),抛物线的准线方程为尤=-5.

所以IAM=IA可+|8用=3+勺2+券=8,.”=3.

故选：C

5.已知向量阳=(2,Tx,1)是平面α的法向量，〃=(6,12,-3丫)是直线/的方向向量,若/，。，则乂+卜=

()

A.-4B.4C.-2D.2

【答案】C

【分析】由/可得机//〃，求解即可.

【详解】因为∕~Lα,故m//九，故加=力7,4/0,

则(2,Tx,l)=/l(6,12,_3y),解得：Λ=∣,x=-l,y=-1,

则x+y=-2.

故选：C.

6.已知正四棱柱ABCD-AAG。中，AB=2,A4∣=4,点E,尸分别是用G和BBl的中点，例是

线段AF的中点，则直线AM和CE所成角的余弦值为()

D.叵

617

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，根据向量法求解即可.

【详解】如图

建立空间直角坐标系，则A(2,(),0),D1(0,0,4),C(0,2,0),E(l,2,4),F(2,2,2),

则M(Ll,3),AM=(T,1,3),CE=(1,0,4),

AMcE-1+12√i而

cosAM,CE=

则∣AM∣∣Cf∣^√H×√17-17

所以异面直线AM和CE所成角的余弦值为叵.

17

故选：D.

7.如图，在三棱锥04BC中，点E,尸分别是08,AC的中点，M是EF的中点，设OA=（Z,OB=b，

OC=C用a，b，C表示，则8M=（）

B

-也

LB∙L+LC.l.⅛÷lcD,L3+L

444222424242

【答案】A

【分析】根据空间向量的线性运算计算得解.

【详解】因为〃是E尸的中点，E,F分别是。8,AC的中点,

所以8仞=-(BF+BE£)TBC+BA∖+-BO

2>4

W(OC-OB+OA—OB)—-OB

4

131

=-OA——OB+-OC

444

13,1

--a——b+-c.

444

故选：A

8.若对圆(x-lp+(y-1)2=1上任意一点P(XM,∣3x-4y-α∣+∣3x-4y-9∣的取值与X,y无关，则

实数”的取值范围是()

A.a<-6B.-6≤a≤4C.α<-6或α≥4D.a≥4

【答案】A

【分析】将段—6—4+四-4卜9|转化为点至恒线的距离，数形结合，可求出〃的取值范围.

A+

【详解】依题意∣3x-4y-α∣+∣3x-4y-9|=51BU-"JXUT］表示P(x,y)到两条平行直线

3x-4y-α=0和3x-4y-9=0的距离之和的5倍.

因为这个距离之和与X,y无关，

故两条平行直线3x-4y-α=0和3x-4y-9=0在圆(X-Iy+(y-l)2=l的两侧，如图所示,

故圆心(U)到直线3x-4y-α=0的距离〃=邑上@"，

解得α≥4或a≤-6.

当时，直线3x-4y-α=0在圆的右下方，不满足题意，所以舍去.

所以α≤-6.

故选：A

二、多选题

9.数列｛《,｝的前〃项和为S,,,已知S,,=-∕+7",则下列说法正确的是（）

A.｛4,,｝是递增数列

B.α∣o=-12

C.当〃>4时，an<0

D.当〃=3或4时，S“取得最大值

【答案】BCD

【分析】根据S“表达式及“22时，/=，-S,-的关系，算出数列｛q｝通项公式，即可判断每个选

项的正误.

【详解】当n≥2时，¾=S,,-5n.l=-2n+8,

又q=S∣=6=-2xl+8,所以4=-2,+8,

则｛q,｝是递减的等差数列，故A错误；

“io=-12,故B正确：

当〃〉4口寸，α,,=8-2”<0,故C正确；

7

因为SI,=-*+7”的对称轴为a=/,开口向下，

而"是正整数，且〃=3或4距离对称轴一样远，

所以当"=3或4时，S“取得最大值，故D正确.

故选：BCD.

10.已知曲线C的方程为y="∑）^,和直线/"7+%=0,则下列结论正确的是（）

A.曲线C表示以原点为圆心，以2为半径的圆

B.曲线C与直线/有1个公共点的充分不必要条件是。=-2

C.曲线C与直线/有2个公共点的充要条件是2≤8<2拒

D.当匕=1时，曲线C上有3个点到直线/的距离为也

2

【答案】BCD

【分析】由题设知曲线C为f+y2=4且40,即可判断A；再画出曲线C、直线/：x—y+b=O的

图象，应用充分、必要性定义及数形结合分析B、C、D的正误.

【详解】A：y=√4T?>0.故曲线C为/+丁=4且y≥0,即曲线C表示以原点为圆心，以2为

半径的半圆，错;

由A分析知：曲线C与直线/：x-y+%=0如下图示，

由图知：当直线在与半圆左侧相切和过(0,2),(-2,0)两点(虚线表示的直线)之间时，曲线C与直线

/有2个公共点，

当直线在与半圆左侧相切，则晟=2,即b=±2√∑,故6=2√∑,

当直线过(0,2),(-2,0)两点时，b=2,

所以，曲线C与直线/有2个公共点时2≤ib<2√∑,C对；

当直线与半圆左侧相切，或在过(0,2),(-2,0)两点和过QO)之间的情况时，曲线C与直线/有1个公

共点，

当直线过(2,0)时，b=-2,结合上述分析知：曲线C与直线/有1个公共点时6e{2√∑)[[-2,2),,

所以曲线C与直线/有1个公共点的充分不必要条件是b=-2,B对；

当b=l,贝∣J∕"-y+l=O,如上图实线位置上的直线，

显然直线左上部分半圆有(0,2),(-2,0)到直线距离都为走，

2

圆对称性，直线右下部分半圆存在一点到直线距离也为立，

2

所以。=1时，曲线C上有3个点到直线/的距离为也，D对.

2

故选：BCD

11.过椭圆5+E=I的中心任作一直线交椭圆于尸，Q两点，K是椭圆的左、右焦点，A,B

25Io

是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（）

A.尸。八周长的最小值为18

B.四边形尸巴。居可能为矩形

-22-∣「89^

C.若直线∕¾斜率的取值范围是,则直线尸8斜率的取值范围是-不

D.P耳PB的最小值为-1

【答案】AC

【分析】A由椭圆对称性及定义有.PQg周长为IPQI+10,根据椭圆性质即可判断；B根据圆的性

质，结合椭圆方程与已知判断正误：C、D设尸（为,%），利用斜率两点式可得M%∙k,w=-卷，进而

判断C正误，应用向量数量积的坐标表示列关于4的表达式，结合椭圆有界性求最值.

【详解】A：根据椭圆的对称性,IPa+1尸局+1。用=IPa+1质|+|尸周=∣PQ+1O,当PQ为椭圆的

短轴时，|尸。|有最小值8,所以「。尸2周长的最小值为18,正确；

B：若四边形PzQK为矩形，则点P,Q必在以耳K为直径的圆上，但此圆与椭圆（+《=1无交点,

错误；

C：设P(X0,%),则因为直线Rl斜率的范围是

KPA,KPB

Λθ+5XO—5XQ~25xθ—2525

-2δ-∣o^

，所以直线尸5斜率的范围是一不一不，正确;

D：设P(%,%),则

W8=(一3-%,—%)∙(5f-%)=XL5+渭君-2%―15+161||卜系x°_引若

.因为-5≤x°≤5,所以当Xo=1时，PE∙P3最小值为-令,错误.

故选：AC.

12.已知正方体ABC。-ABG。的棱长为4,M是侧面BCG片内任一点，则下列结论中正确的是

()

A.若M到棱GA的距离等于到A8的距离的2倍，则M点的轨迹是圆的一部分

B.若M到棱GR的距离与到A8的距离之和为6,则加点的轨迹的离心率为述

3

C.若〃到棱G。的距离比到A8的距离大2,则例点的轨迹的离心率为√∑

D.若M到棱GA的距离等于到BC的距离，则M点的轨迹是线段

【答案】AB

【分析】由正方体的性质可将M到棱GR的距离与到AB的距离转化为在平面BCGq内，M到点G

的距离与到点8的距离，据此求出轨迹方程判断A,根据椭圆的定义、离心率判断B,根据双曲线

的定义、离心率判断C,根据抛物线的定义可判断D.

【详解】对于A,由正方体可知M到棱GQ的距离等于到AB的距离的2倍，即在平面BCGBl内,

M到点G的距离等于到点8的距离的2倍，连接BG，以BG中点为原点，以BG所在直线为X轴,

以线段8G的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图,

设M(x,y),-2√2<x<2√2,-2√2<y<2√2,则B(-2√2,0),C(2√2,0),

由IMCJ=21MBl可得2,1+2何+/=^x-2^+y2,

整理得χ2+y2+^^χ+8=O,-2√2<x<2√2,-2√2<y<2√2,

易知点M的轨迹是圆的一部分,所以A正确;

对于B,M到棱CQl的距离与到AB的距离之和为6,可转化为在平面BCG片内，M到点G的距离

与到点B的距离的和为6,大于IBGI=4√Σ,所以点M的轨迹为椭圆的一部分,其中2«=6,2c=4√2,

所以椭圆的离心率e=2也，故B正确；

3

对于C,〃到棱GA的距离比到A8的距离大2,转化为在平面BCCg内，∣MCl|-|Mβ∣-2<4√2,

所以点M的轨迹是双曲线的一部分，该双曲线的实轴长为2,焦距为4&，所以离心率e=2√∑,所

以C错误；

对于D,"到棱GR的距离等于到BC的距离，可转化为在平面BCG片内，M到点Cl的距离与到BC

的距离相等，所以M点的轨迹是以G为焦点，BC为准线的抛物线的一部分，故D错误.

故选：AB

三、填空题

13.己知空间向量α=(2,"+2,5),⅛=(2n+l,-2,1),⅛α±⅛,则〃=.

3

【答案】々T5

【分析】根据给定条件，利用空间向量垂直的坐标表示求解作答.

【详解】空间向量α=(2,,+2,5),6=(2"+l,-2,l),

3

由a_L6，得“∙6=2χ(2"+l)+("+2)x(-2)+5xl=O,解得"=-5，

所以”=-，3

2

-3

故答案为：

14.在正项等比数列｛4｝中，若的是74与15%的等差中项，则数列｛%｝的公比4=.

【答案】5

【分析】设正项等比数列｛4｝的公比为4,根据等差中项的性质得到2%=15%+7%,再根据等比数

列通项公式整理得2∕-7q-15=0,解得即可.

【详解】解：设正项等比数列｛为｝的公比为9,(4>。)，

因为%是7%与15%的等差中项，所以2%=15%+74，

2

即2aiq*=15α1<7+7*,即2q?-7q-15=0,

3

解得4=5或＜?=-]（舍去）；

故答案为：5.

„2,.2

15.已知双曲线-方=l（a＞O力＞0）的左、右焦点分别是小工，左、右顶点分别是4，4,

其中。为坐标原点，尸是第一象限内一点，若∣A4∣=2∣P闾，且（EP+Eq书P=0,线段与双

曲线交于。，若IPa=4|。闾，则双曲线的渐近线方程为.

【答案】y=±]

【分析】若A为PE中点，易知KAL8P,则4PK居为等腰三角形，∣∕V"=∣E6∣=2c,根据已知

可得IPKI=4、IQ用=£,结合双曲线定义得IQKI=Ua,进而可得COS/4乙片=言，三角形。马耳中

用余弦定理求CoSNA鸟耳，建立齐次方程求参数关系，即可得渐近线方程.

【详解】若A为尸心中点，则耳P+耳E=2μA,故（EP+6E）∙EP=264gP=0,

所以64EP=0,即耳ALfiP,故A尸耳居为等腰三角形，I尸耳|=|百入∣=2c,

又∣A4∣=2∣p用=%，则IP闾=4,由IPa=川。段，则IQEI=1,

.11〃「厂IAKIIPF1a

由IQ用TlQgl=2，则I。41=三4,而“S"用片=询Q=彳市37=元

ɔIɪIr2I乙I*∖^2∙-C

/2121212

且cos4居耳J-F+3∕-3F=4c+ir-二、

2∣∕√yQE∣2x2CXqac

5

所以O2-6∕=色,则4C∙2=542,故4（/+从）=5。2,即4/

ac4c

所以2=1，故双曲线的渐近线方程为y=±1χ∙

a22

故答案为：y=±→

16.如图，圆锥SO的轴截面S48是边长为4的等边三角形，过。8中点N作弦CDLo3,过CD作

平面CDM〃&4,交SB于M,已知此平面与圆锥侧面的交线是以M为顶点的抛物线的一部分，则

MCMD=.

【分析】先根据线面平行的性质定理得到S4与MN平行，从而BMNS,BSA,可得PwVl=1,再利

用向量的线性运算及数量积的运算律即可求解.

【详解】如图，连接CO,根据题意知IONI=1,又IOCl=2,CDYOB,

所以ICM=QN|=有，因为SA//平面CZ)且SAU平面SAB,

平面SAB平面CCM=MM所以SA"MN,所以一BMNS/SA,

所以粤=需=I又ISAl=4,所以IMM=1,

因为N为CO中点，所以MC+MO=2MN,又MC-MD=DC，

所以(MC+MD)2-(MC-MD)2=4MC∙MD=4MN?-DC。，

又IMM=Lm=6

所以MC∙MD=MNJLXDC2=MN*-Ne2=l-3=-2.

4

故答案为：-2

四、解答题

17.已知正项数列｛4｝的前“项和为S"，在①“3-2ajαe-3d=0("∈N*),且q=3；

③J

②3%=3+2S,,("∈N*);=all(n,nt∈N*),4=3,这三个条件中任选一个，解答下列问题:

4“

(1)证明数列｛%｝是等比数列，并求其通项公式；

2。2

(2)设2=3(“∣+ιj(α+1)，数列间的前〃项和为人若7；22-和€2)恒成立，求义的最小值.

注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】(1)证明见解析，an=3".

【分析】(1)由%与5,的关系或等比数列的定义及通项公式求解即可；

(2)由裂项相消法求出7；后，再由Z,≥2-∣■恒成立进行求解即可.

【详解】(1)若选择条件①：因为“3-2⅛∙¾+∣-3⅛=0,

所以(«„+,+¾)∙(¾÷∣-34)=0,又>O,所以an+l-3an=0,即％=3αn,

又4=3,所以数列｛4｝是首项为3,公比为3的等比数列，所以”,,=3χ3"τ=3";

若选择条件②：因为3%=3+25“，所以当”≥2时，有3q,τ=3+2S,ι,

两式相减,得3a,-3an_,=2Sll-25,,.l=2an,即an=3an_t(〃≥2),

又3q=3+2S∣=3+2q,所以q=3,所以数列｛叫是首项为3,公比为3的等比数列，

所以％=3x3"τ=3";

若选择条件③：由j=",(",meN*)q=3,得巴以=%,即娱=4=3,

aaa

m∖,.

又4=3,所以数列｛4,,｝是首项为3,公比为3的等比数列，所以”,,=3χ3"τ=3";

_2×3"_11

(2)山(1)知'L3(3"T+1乂3"+1)-3"T+]-3"+]，

则

7"=Gθ+l-3l+0+(3l+l-32+lJ+(32+>-33+0++(3"2+1-3"T+J+(3"-+1-3"+1)

_11

=2-3"+1'

因为数列｛Z,｝为递增数列，所以刀,的最小值为工=3-总=；,

7λ∖7

又(,≥2—∙∣(2eZ)恒成立，则2-5≤(=w,解得2≥],

7

故2的最小值为

18.如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是等腰梯形，四边形CDEF是正方形，且平面CDEF±

平面A8CO,CD=AD,/D4β=NABC=60。，M,N分别是AE,Bz)的中点.

(1)证明：MN//平面CDEF；

⑵求二面角E-MN-C的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

【分析】(1)利用线面平行的判定定理和面面平行的判定定理和性质定理推理作答.

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解作答.

【详解】(1)取Ao的中点G,连接GM,GN,因为M,N分别是BO中点，

则GM//OE,而Z)EU平面8EF,GM<Z平面C£>EF,于是GM〃平面CDE户，

GN//AB//DC,同理GN〃平面Ci)E/，又GNGM=G,GM,GNu平面GMN,

因此平面GMN〃平面CDEF,又MNU平面GMN,

所以MN//平面Cf)EF.

(2)因为BC=CD=AD,NDAB=NABC=60°,则NDBA=NCBO=30°,NA£>8=90°，有AD2BD，

正方形CT)EF中，OE_LOC,£>Eu平面CZ)EF,平面Cr)E尸_L平面ABCO,

平面C平面ABCD=8,于是DEJ,平面ABC£),

以点。为坐标原点，分别以D4,。8,。后的方向为4孔2轴正方向，建立空间直角坐标系。-孙z,

设BC=2,则CQ=Ao=OE=3A8=2,E(0,0,2),M(l,0,l),N(0,G,0),C(-l,√I,0),

所以EM=(1,0,-1),MN=(-1,√J,-1),NC=(-1,0,0),

/、m∙EM=Xl-Zl=OLLL

设平面EMN的法向量为加=α,χ,z∣),则｛,令Xt=6,得m=(6,2,6),

HI∙MN=一μ+√3y1-z1=0

/、〃∙MN=-X,+ʌ/ɜV9-Z9=0L

设平面MNC的法向量为“=(Λ⅛,%,Z,),贝"^'^^令为=1,得〃=(0,1,我，

n∙NC=-x2=0

因此COS5,〃〉==2X1上唯6=理,显然二面角E-MN-C的平面角为锐角，

∖m∖∖n∖2×√104

所以二面角E-MN-C的余弦值为典.

4

19.在平面直角坐标系Xoy中，已知圆Q:/+/+12^-14^+60=0.设圆。2与X轴相切，与圆。∣外

切，且圆心O?在直线X=-6上.

⑴求圆仪的标准方程；

⑵设垂直于。。2的直线/与圆。1相交于B,C两点，且IBCI=3√7,求直线/的方程.

【答案】(l)(x+6)2+(y-1)2=1

12349

(2)y=6x+-^ιty=6x+-.

【分析】(1)由题意求出圆。一圆。2的圆心和半径，由两圆外切，可得7-n=5+〃，即可求出答

案.

(2)由忸C∣=3√7,可求出圆心0/到直线/的距离，再由点到直线的距离公式代入求解即可.

【详解】(1)圆0∣:x2+∕+12x-14y+60=0,

2

则圆Oi的标准方程为(x+6)2+(y-7)=25,

即圆。Ι的圆心坐标为(-6,7),半径为5,

因为圆。2与X轴相切，与圆0/外切，则圆心。2(-6,〃)，n>0,

则圆。2的半径为〃，

则7-〃=5+〃，解得〃=1,

即圆。2的标准方程为(x+6)2+(y—I)?=1；

(2)由(1)知。2(-6,1),则自e=-*,

所以直线/的斜率为6,

设直线/的方程为y=6χ+%,

因为忸q=3",则圆心O/到直线I的距离d=[一(乎)=呼,

æri∣-6×6-7+W∣∕37a”且123T49

所以J---■—~~L=-y---,解得机=k或机=:-,

√36+T222

所以直线/的方程为y=6x+与123或y=6x+]49∙

/V2

20.已知双曲线c∕-}=l(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到一条渐近线的距离为万

⑴求双曲线C的方程；

(2)若过双曲线的左焦点F的直线/交双曲线于A,8两点，交》轴于P,设PF=WIFA="F8,证明:

8

mΛ-n-——.

3

【答案】⑴/-《=1

3

(2)证明见详解

【分析】(1)由双曲线的离心率，焦点到一条渐近线的距离建立等量关系，求解即可；

(2)设出直线的方程，联立方程组，得到韦达定理，由PF=mE4="F8,解得加，〃，证明即可.

22

【详解】⑴因为已知双曲线C:二-与=l(a>0力>0)的离心率为2,

a~b~

所以£=2,又因为焦点到一条渐近线的距离为√J,设焦点坐标为(c,0),

a

hbe

到渐近线y=±χ的距离为：d1=],=b1.

所以b=√L又/="+〃，解得：a2=∖,b2=3.

所以双曲线C的方程为：X2-^=

1.

3

(2)证明：如图

由题意可知b(-2,0),由于过双曲线的左焦点尸的直线/交双曲线于A,B两点,交y轴于P,

所以可知直线/的斜率存在，故设直线方程为：)，=&(x+2).A(x,,yJ,β(x2,y2),则P(O,2G).

y=⅛(x+2)

联立2得：(3-k2)x2-4k2x-4k2-3=O.

X2--=1

3

△=16左4+4(3-公)(3+4公)=36公+36>0恒成立.

4k2-4k2-3

所以x∣+X?=3→τ,卯"FT

PF=(-2,-2k),FA=(xl+2,y,),FB=(x2+2,y2),

因为PF=mFA=nFB，所以Ua+2)=π(x2+2)=-2,

-2

所以，”=言n=------,

,

X2+2

2-2(々+2)-2(X]+2)

所以〃?+〃=

X1+2X2+2(Xl+2)(占+2)

-8k°

-8

—2(入[+々)一8—2(x∣+x2)—83-公

(X+2)(x>+2)X[X>+2(x+x>)+4-4左~-3Sk2

+2+4

3-k23-⅛

-24

二3-&2二-24二8

993

3-k2

21.已知抛物线U