2022-2023学年贵州省新高考“西南好卷”高一年级下册学期适应性月考数学试题（五）【含答案】

2022-2023学年贵州省新高考“西南好卷”高一下学期适应性月考数

学试题（五）

一、单选题

1.若复数Z满足zi=2-i,则复数Z的共拆复数在复平面上所对应点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】根据复数的除法可得z=T-2i,进而即得.

【详解】Vzi=2-i,

.∙.z-l+2i,所对应点在第二象限.

故选：B.

2.平面向量4=（八2）力=（小,加一4）,若卜上忖，且0工方，贝!］，"=（）

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】D

【分析】根据向量垂直的坐标表示可得相，然后结合Iabw可得.

【详解】*/671⅛.a=（m,2）,b=（m,m-4）,

•∙a∙b=m2+2/71-8=0，

解得/九=2或〃2=—4,

又V∣dr∣≠%,∙*∙m=-4.

故选：D.

3.如图所示，/3C的直观图是边长为2的等边则在原图中，BC边上的高为（）

A.2√6B.√6C.2√3D.√3

【答案】A

【分析】根据直观图与原图的关系求解即可.

“Sin45

在原图中，8C上的高AO=2#.

故选：A.

4.已知ɑ[ɪt专），且tanc=∙∣,则Sina=（）

【答案】A

【分析】利用同角三角函数关系，结合角的范围求正弦值即可.

.3_3

一

t<jf⅜×v-Si_n__a___—3_SIna=Sina=

LdIlCJC--------——5或.£又αeRE)

【详解】由•COSa4,则＜即Sina<0,

4

sin2a+cos2a=∖cosa=-COSa=

5~5

3

所以Sina=-g.

故选:A

5.下列关于空间几何体结构特征的描述错误的是（）

A.棱柱的侧棱互相平行

B.以直角三角形的一边为轴旋转一周得到的几何体不一定是圆锥

C.正三棱锥的各个面都是正三角形

D.棱台各侧棱所在直线会交于一点

【答案】C

【分析】根据相应几何体的定义和性质判断即可.

【详解】根据棱柱的性质可知A正确；

当以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴时.，所得几何体为两个圆锥的组合体，故B正确;

正三棱锥的底面是正三角形，其余侧面是全等的等腰三角形，故C错误；

棱台是用平行于底面的平面截棱锥而得，故侧棱所在直线必交于一点，D正确.

故选：C

6.已知非零向量α,b，H=2H>&bl（a-b）,则向量a,人的夹角大小为（）

、2π

bcD.—

ʌ-τ∙7∙τ3

【答案】B

【分析】根据向量垂直其数量积为0,可得然后由向量夹角公式可得.

Pr

2

【详解】V⅛l(。一人)，.∖b'[a-b^=d'b-b=0,:,a`b=|/?p

又同=2卜|,.∙,cosα,⅛=-^∣=-^L=

2时2

因为,力）e[0,兀]

故选：B

7.已知4（3,2）,鸟（9/1）,点P（5,y）分所成的比为;I,则）与；I的值分别为（）

A.y=8,λ=2BC.y=—13,λ.=一1

22

C,尸身乂」D.y=5,∕l=;

42

【答案】D

【分析】由向量数乘的坐标运算求解即可.

【详解】∙.∙田3,2),6(9,11),P(5,y),

Λf↑P=[2,y-2),Pg=(4,ll-y),

；户分66所成的比为4，∙∙∙6P=2P6,即(2,y-2)="4,ll-y)=(4∕MUTy),

2=42λ=-

；•有

,y-2=lU-Λ√解得2.

7=5

故选：D.

-sinx,-π<x≤0,、,、,、,、

8.函数f(x)=∙IIgUX>0'若X尸NF≠w,有/(%)=/(W)=/(W)=/(王)，则

X∣+∙r2+∙γ3+工4的取值范围是（）

.πIOlπ

L2102.

^101'

D.2-π,------π

10

【分析】根据正弦函数的对称性和对数函数的性质求解.

依题意作函数/(x)的图象如图，和内关于x=-∙^轴对称，所以占+Λ⅛=-π,

又由IlgNTlgXJigw=-IgX4,igw=电:,xixi=1,

1

.∙.西+&+占+茏|=—兀+七+巧=—兀+ɪɜH,

「IrT1CIISlOl

x∈[-π,0]时，-SlnX∈[0,l],/.—<x<1,Λ2<x+—<—+10=-—,

ljlj33

10X31010

(CIOl

..X]+w+玉+*4£[2—兀,-ɪð—7t

故选：C.

二、多选题

9.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）

2023425

A.i+i+i=l

B.复数z=l+2i的虚部为2i

C.z=a+bi,Z?为纯虚数的充要条件是α=bHθ

D.已知复数Z满足∣z+l∣=∣z+i∣,则Z在复平面内对应的点的轨迹为直线

【答案】AD

【分析】根据i的周期性可判断A,根据虚部概念判断B,根据复数乘方运算及纯虚数概念判断C,

根据复数模的运算即可得到点的轨迹判断D.

【详解】对选项A：i23+i，+产=i3+ι+i=τ+ι+i=ι,正确；

对选项B：复数z=l+2i的虚部为2,而不是2i,错误；

222li

对选项C：z=a+bi,aeR,beR,则z=(a+bi)=a+2ab∖+bV=ci-tr+2ab∖,

°2°2°,所以a=±),α≠O,∕7Wθ,错误;

若Z?为纯虚数，则

2ab≠0

对选项D：设Z=X+yi,xeR,y∈R,由∣z+l∣=∣z+i∣可得，∣x+l+yi∣=∣x+(y+l)i∣,

所以J(x+lf+y2=JX2+(y+])2,平方化简得：y=χ,

所以Z在复平面内对应的点的轨迹为直线y=χ,正确.

故选：AD

10.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么下列选项中的两条直线是异面直线

的是()

C.AB与GHD.EF与GH

【分析】由正方体的展开图还原成正方体，根据异面直线概念对选项逐一判断即可.

【详解】将正方体的展开图折起还原成正方体，折起以后各点的位置，如图所示,

由正方体的性质知，选项中成异面直线关系的有AB与C£>,AB马EF,EF与GH,

又点8与点”重合，AB与G”相交于B点,

故选：ABD

11.已知函数F(X)=Sincosx,g(x)=Cossinx,则下列说法正确的是()

A.函数y=∕(χ)和y=g(χ)的最大值分别为/(χ)miκ和g(χ)nms,则“打M>g(χ)n≡

B.函数y=∕(χ)和函数y=g(χ)都是偶函数

C.函数y=∕(χ)在区间(0,兀)上单调，函数y=g(χ)在区间(O,π)上不单调

D.兀既是函数y=∕(χ)的周期，也是函数y=g(χ)的周期

【答案】BC

【分析】对于A,因为-l≤cosx≤l,T≤sinx≤l,再由正弦、余弦函数的性质求出/(x)3,g(x)max

即可判断；对于B,由偶函数的定义及正弦、余弦函数的性质判断即可；对于C,由正弦、余弦函

数的单调性及复合函数的单调性判断即可；对于D,由周期函数的定义及正弦、余弦函数的性质判

断即可.

【详解】解：函数/(x)=SinCOsx,T≤cosx≤I,/(XkX=Sinl<sin^=亭，

,

而g(x)=cossinx,-l<sinx≤l,..g(x)ιnaχ=cosO=1,：.f(x)ιmχ<g(x)nm,故A不正确；

/(x)=SinCOSX的定义域为R,/(-x)=sincos(-x)=sincosx=/(x),所以/(x)为偶函数，

g(x)=cossinx的定义域为R,g(-x)=cossin(-x)=cos(-sinx)=cossinx=g(x),

所以g(x)为偶函数，故B正确：

x∈(0,τι)时，COSX单调递减，由复合函数的单调性可知f(x)=SinCOSX在(0,π)单调递减，

Xe(O,兀)时，SinX先单调递增再单调递减，由复合函数的单调性可知g(x)=Cossinx在(0,兀)上不单

调，故C正确；

/(x+π)=sincos(x+兀)=sin(—CoSX)=—SinXCOSXH/(x),故兀不是f(x)的周期，所以D不正确.

故选：BC

12.在直角梯形ABC。中，AB1AD.AB=2DC,E为AB中点，M,N分别为线段OE的两个三等

分点，点尸为线段8。上任意一点，若AP=ZUM+〃4V,则2+〃的值可能是()

A.IbC.2D.-

∙I2

【答案】ABC

【分析】建立平面直角坐标系，设8P=xBE>,0≤x≤l,用坐标表示出AP,AM,AN,再根据

AP=/IAM+/MN歹l∣方程可得2+〃=2-x,然后可得.

【详解】如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

不妨设A8=6,AO=3加,，〃>0,则A(0,0),B(6,0),f>(0,3"z),E(3,0),Λ∕(2,m),N(l,2m),

则AM=(2,m),AN=(1,2m),BD=(-6,3∕π),AB=(6,0)

设BP=xBD,0<x≤l,则AP=A8+xBO=(6-6x,3∕ΠΛ)

∙/AP=AAM+μAN,

.∙.(6-6x,3wzr)=A(2,〃?)+//(1,2ni)=(2>l+μ,ιnλ+2mμ),

f>-6x=2λ+μ

整理得2+〃=2—X,

3ιnx=mλ+2mμ

因为xe[O,l],所以2+"=2-xe[l,2]

故选：ABC

三、填空题

13.轴截面为正方形的圆柱形容器，其底面半径为R,在该容器内放入一个半径为R的钢球后，该

容器最多还能盛水的体积是18兀，则R=.

【答案】3

【分析】根据圆柱与球的体积公式，即可求解.

42

【详解】依题意可知，πR1-2R一一万R'=187n-R'=18nR=3.

33

故答案为：3

14.向量”在向量8=(2相,2)上的投影向量的坐标为(√J,1),则a.。=.

【答案】8

【分析】根据数量积的几何意义直接计算可得.

【详解】由数量积的几何意义可知，“不等于向量α在向量8上的投影向量与向量b的数量积，

因为向量α在向量匕=(26,2)上的投影向量的坐标为(6,1),

所以α∙>=(2√J,2)∙(6,l)=2√Jx√5^+2xl=8

.故答案为：8

14

15.点P是线段AB上的任意一点(不包括端点AB),对任意点。都有OP=XOA+yOB,则一+一的

Xy

最小值为.

【答案】9

【分析】由点？是线段A8上一点及向量共线的推论得χ+y=l,由基本不等式“1”的妙用求最值即可.

【详解】因为点P是线段AB上的任意一点(不包括端点AB),

所以AP=4A8=/I(OB-O4),O<Λ<1,

所以OP=(I-λ)OA+AOB,

5LGP=xOA+yOB,

所以x>O,y>O,且x+y=l,

所以l+百=ɪ+-l(x+y)=l+4+^+-≥5+2ʃɪ-=9.

Xy∖χy)XyYXy

故答案为：9

四、双空题

16.在.ABC中，A8,C的对边分别为4,6,c,若acos8+bcosA+2ccosC=0,则C=；

cosAcos3的范围.

【_答λv案.】_T2π匕(1q3]

12加TT

【分析】根据余弦定理可得cosC=-],从而可得。=可；把8=§-A代入CoSACOsB,结合三角

变换可化为JsinbA+g]+J,再借助正弦函数的性质即可求解.

2<6；4

【详解】^cosβ+Z;cosA+2rcosC=0,

22»2»222I

由余弦定理可知α"+'------+b—————+2ccosC=0<≠>2ccosC=-c=>cosC=——，

2ac2bc2

又C∈(0,π),所以C=,,

Dλ(兀八Sɪ46∙A112AG∙AA

cosAλcosB=cosAcos——A=cosA-cosA+——sinA=-CoSA+——SInACoSA

∣k3)(22J22

l÷cos2A√3I(OAJLl

44216j4

VO<Λ<-,

3

.兀ʌ.π5π

..-<2A+-<—,

666

.1.fθ4兀I」1.11.fɔʌπ}1^3

2I6)22I6)44

(13^

.∖cosAcosθ∈—.

124J

故答案为：.

五、解答题

17.在平面直角坐标系Xoy中，已知点A(I2),8(2,3),C(-2,-1).

⑴求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(2)若实数Z，4满足(AB-fOC)=/IAC,求f,∕l的值.

【答案】(l)2√iθ>f∏4√2

f=156

2)9

c.-

IA=5

【分析】(1)根据平面向量的坐标运算及模的坐标公式分别求出卜^+人ɑ，∣A8-4C∣,即可得解;

(2)先分别求出(A8T0C),/UC,再根据向量相等的坐标表示即可得解.

【详解】(1)由A(l,-2),3(2,3),C(-2,T),

AB=(1,5),AC=(-3,1),

2222

IAB+AC∖=A∕(-2)+6=2√10,∣AB-AC∣=√4+4=4√2,

所以以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别为2加和4√Σ;

(2)VOC=(-2,-1),

Λ(ΛB-rOC)=ΛAC<≠>(l,5)-r(-2,-l)=Λ(-3,l)<≠>(2r+l√+5)=(-3Λ,Λ),

_16

⑵+ι=√uf=_y

所以<3=ɑ.

[f+5=a/=9

5

C/—∖Z

18.若定义一种运算：伍为）d=αc+，.已知Z为复数，且仅,z）4=6-4i.

⑴求复数z；

,.1.sinx

⑵设f,X为实数，若（r+cosx,i）2-（zU）,为纯虚数，将，表示为X的函数并求该函数的单调递

增区间.

【答案】（l）l+2i;

(2)/=∙V2sin--+2kπ,-+2lat,keZ

44

【分析】（1）根据新定义运算可得2z+4l=6-4i,设z="+bi（α力eR）,根据共钝复数的概念及复

数相等即可求解；

（2）根据新定义运算可得及纯虚数的概念可得f=sinx-cosx=√∑sin（x-;）,再根据正弦型的图象

与性质即可求解.

【详解】⑴（2工）j=6-4i,.∙.2z+6=6-4i,

设z=α+⅛i（a,∕∈R）,

则2（。+历）+4（α-bi）=6-4i,6a-2bi=6-4i,

J60=6a=1

∖-2b=-4^0=2'zT+2'∙

1SinX

(2)(/+eosɪ,i)=∕÷cosx+2i-sinx-i=∕÷cosx-sinx+i,

2i

若(f+cosx,i)；-(1,1)

为纯虚数，则/+cosx-sinx=0,

Z=Sinx-Cosx=>∕2sin

—+2Aπ≤X--≤—÷2Aπ,⅛∈Z,解得一2+2Aπ≤x≤型+2Aπ,Z∈Z,

24244

Tr3π

的增区间为--+2Aπ,-+2⅛π,keZ.

19.在一ABC中，内角A8,C所对的边分别为α,6,c,SinA=CosgC,。在BC上，且

ABAC

AD=λ,M+H,

⑴求A;

(2)当方=5,c=3时,求AO长.

【答案】（1）专

喈

【分析】（1）根据三角恒等变换化简已知等式，结合角度范围求解即可;

（2）由已知确定40为484。的角平分线，设AO=X,根据面积公式列式求解即可.

πA.A

【详解】(1)VsinA=cos,/.sinA=cos=sin—

22^2^2

.AA.A

..2sιn-cos-=sin—,

222

VA∈(θ,π),ʌ^2-e,则SinT≠O

A1

cos-=—

22

・AπB∏2兀

..—,BJaA=—.

233

ΔRAΓ

(2)VAD=λ=÷=,所以40为NBAC的角平分线,

1网∖ac∖)

设AD=Xf由S=S4ABD+4^∆ΛCD,得

LcSinA=ɪtesinZCAD+-cxsinZBAD,

222

7JrTTTr

由于b=5,C=3、带入数据，t⅜15sin-ʒ-=5xsin—+3xsinʒ-,

则8x=15nx="，

8

故AZ)=号

O

20.如图一，将边长为2的正方形A88剪去四个全等的等腰三角形后，折成如图二所示的正四棱

锥.记该正四棱锥的斜高为九（侧面三角形的高），ZFAB=9.

(1)求证：(=0+内叫

2

(2)将折起来后所得正四棱锥的表面积记为S,请将S表示为。的函数，并求S的范围.

【答案】⑴证明见解析

(2)S=4-4tan.,^∈lθ,ɪj;(0,4)

【分析】(1)作AM_LEEMVLAB,垂足分别为M,N,然后在RfAFN,RtAMF中利用三角函数

定义可得；

(2)用正方形面积减去4个全等的等腰三角形面积可得.

【详解】(1)作垂足分别为M,N,

由题可知，M,N分别为ERA8的中点，

所以在用一A/W中，AN=],NEAB=<9,

所以AF=-!二，

COS，

易知，在RfAMF中NΛMF=¥-6,

4

fit.rl....c.fπʌ1(√2z,√2.Jl7∑+7∑tane

所以AM=4Fcos∣——Ol=-------——cos。+——Sme=------------------,

U)CoSel22I2

即4=√Σ+6^tan”

③2

(2)在RLAFN中，易知婷V=4Vtan6=tan6,

所以S4"=gAB∙FN=tan6,

又正方形ABCD的面积为2x2=4,

所以正四棱锥的表面积记S=4-4tane,，e[o,：J

因为Oe(O所以Oetan，＜l,

所以Se(0,4)

rr2rrrr/s22

21.阅读以下材料，解决本题：我们知道①(z4+Bx)=a2+2a∙b+h2；②,-匕)-a-2a∙b+b.由①■②

、2(〃+b)-(a-b∖

得(a+b)a-bj=4a∙boa∙b=∖————L,我们把最后推出的式子称为“极化恒等式“，它

实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为"模''的运算.如图所示的四边形A5CQ中,

8力=8,A8∙AO=48,E为BD中点.

(2)若2AE=EC,求C8∙CD的值.

【答案】⑴10

(2)240

【分析】(1)利用数量积的定义求出,胤AE＞∣=52,根据同角关系求出SinN840=2,代入三角形

面积公式即可求解;

ɔ■Z

(2)先利用极化恒等式48∙=(2A£)--比＞得/后=8,由2AE=EC得EC=I6,代入极化恒等式

4

CBCD=生竺To求解即可.

4

【详解】(1)因为AB∙Aa=48，所以IA5,AqcosNBAD=48,

即,闻40卜^|=48,所以kqk4=52,

125

又cos∕3AZ)=-,所以sin/BAo=—，

所以SAω,=gkB∣AO卜inNBAQ=gx52x^=10；

(2)因为AB∙AD=48,BD=S,

2

由极化恒等式得A&AD=(A8+A02TAB-A0：(24E)、BD=AE、%=AE2.I6=48,

444

所以AE=8,

又