（江苏专用）高三数学 必过关题 立体几何

高三必过关题9立体几何一，填空题例1．将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了________．[解析]每个小正方体的表面积是eq\f(1,9)a2×6＝eq\f(2,3)a2，故表面积增加了eq\f(2,3)a2×27－6a2＝12a2.例2．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是________．[解析]设圆锥的底面半径为r，则eq\f(2π,3)l＝2πr，∴l＝3r，∴eq\f(S表,S侧)＝eq\f(πr2＋πrl,πrl)＝eq\f(πr2＋3πr2,3πr2)＝eq\f(4,3).例3．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12.则球O的半径为.[解析]由题意将直三棱柱ABC－A1B1C1还原为长方体ABDC－A1B1D1C1，则球的直径即为长方体ABDC－A1B1D1C1的体对角线AD1，所以球的直径AD1＝eq\r(AB2＋AC2＋AAeq\o\al(2,1))＝eq\r(32＋42＋122)＝13，则球的半径为eq\f(13,2).例4．已知正的边长为,则到三个顶点的距离都为1的平面有_____个.[答案]8个例5．与空间不共面的四个点距离相等的平面有个.[解析]有两类:一类是三个点确定一个平面,另一个点在平面的一侧,过该点作平面的垂线段,过垂线段中点作与已知平面平行的平面,即符合条件,这样的平面可作4个;另一类是两个点在平面一侧,其他两点在平面另一侧,可作3个平面,共7个.例6．对于空间中的三条直线，有以下四个条件：①三条直线两两相交；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④两直线相交，第三条平行于其中一条与另个一条相交，其中使这三条直线共面的充分条件有个. [答案]1个例7．设为平面，为直线，以下四组条件：①②；③；④；可以作为的一个充分条件是．[解析]题中线面关系既复杂又抽象，注意到其中包含大量的垂直关系，故可以在正方体内ABCDD1A1B1C1观察：①记面AD1为，面AC为，则AD为，若视AB为，⊥，但在面内；②若两两垂直，则可以得到，但该条件中没有⊥，故反例只可能存在于此处，记面AD1为，面BB1D1D为，面AC为，则AD为，但与成450角；③注意到⊥，只要、不平行，就得不到，记面AD1为，面BB1D1D为，面AC为，视AB为，但与成450角；④由⊥，⊥得∥，再由⊥得；故只有④．ABCDD1A1B1C1例8．如图，ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面有对.[解析]本题考查图形的翻折，和面面垂直的判定，显然面ABD⊥面BCD，面ABC⊥面BCD，面ABD⊥面ACD，所以答案3对例9．正方体，分别是，的中点，P是上的动点（包括端点）过E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是．[解析]本题考查几何体中的线面关系，∥平面∴平面DEC与平面的交线CM∥ED连结EM，易证MC=ED∴，则M到达时，仍可构成四边形，即P到F，P在之间则满足要求P到仍可构成四边形，故P的轨迹为线段CF和点.例10．设是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若，且”为真命题的是（填所有正确条件的代号）.①x为直线，y，z为平面 ②x，y，z为平面③x，y为直线，z为平面 ④x，y为平面，z为直线⑤x，y，z为直线[答案]①③④例11．已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为eq\f(9,4)，底面是边长为eq\r(3)的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为．[解析]设侧棱长为a，△ABC的中心为Q，联结PQ，由于侧棱与底面垂直，∴PQ⊥平面ABC，即∠PAQ为PA与平面ABC所成的角．又∵VABC－A1B1C1＝eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)))eq\s\up12(2)×a＝eq\f(9,4)，解得a＝eq\r(3)，∴tan∠PAQ＝eq\f(PQ,AQ)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2)×\r(3)×\f(2,3))＝eq\r(3)，故∠PAQ＝eq\f(π,3).例12．如图1所示，正四面体A－BCD中，AO⊥平面BCD，垂足为O，设M是线段AO上一点，且∠BMC是直角，则eq\f(AM,MO)＝________．图1图2[解析]如图2，联结OB，设正四面体的棱长为1，则OB＝eq\f(\r(3),3)，MB＝eq\f(\r(2),2)，故OM＝eq\f(\r(6),6)＝eq\f(1,2)OA＝AM，则eq\f(AM,MO)＝1.例13．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为eq\f(4,3)π，半径为18cm的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为________．[答案]eq\f(2,3)例14．如图，在四面体P－ABC中，PA＝PB＝PC＝2，∠APB＝∠BPC＝∠APC＝30°，一只蚂蚁从A点出发沿着四面体的表面绕一周，再回到A点，问：蚂蚁沿着怎样的路径爬行时路程最短，最短路径是________．[解析]如右图，将四面体沿PA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，连接AA′分别交PB，PC于E，F两点，则当蚂蚁沿着A刘E刘F刘A′路径爬行时，路程最短．在△APA′中，∠APA′＝90°，PA＝PA′＝2，∴AA′＝2eq\r(2)，即最短路程AA′的长为2eq\r(2).例15．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线有________条．[解析]在A1D1上任取一点P.过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设α∩CD＝Q，连结PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与A1D1、EF、CD都相交．[答案]无数例16．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)[解析]因为PA⊂平面MOB，不可能PA∥平面MOB，故①错误；因为M、O分别为PB，AB的中点，所以MO∥PA，得MO∥面PAC，故②正确．又圆的直径可知BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，所以BC⊥PA，所以BC⊥平面PAC，在空间过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以OC不可能与平面PAC垂直，故③错误；由③可知BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC，故④正确．[答案]②④第17题例17．如图,在三棱锥中,、、两两垂直,且．设是底面内一点,定义,其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积．若,且恒成立,则正实数的最小值为________．第17题[答案]1例18.如图所示,在直三棱柱ABC—中,点M,N分别在上,且给出以下四个结论:①;②AC∥MN;③MN∥平面ABC;④MN与AC是异面直线.其中正确的有.[解析]如图所示,在上取一点P,使则MP∥AB,NP∥∥CB,∴MP∥平面ABC,NP∥平面ABC.∴平面PMN∥平面ABC.∴MN∥平面ABC,即③正确.又∵平面ABC,∴平面PMN.∴即①正确.当时,M,N分别是的中点,此时有AC∥MN,当时,连结CN,用反证法易知MN与AC是异面直线,故结论②④欠严密性.综上,四个结论中正确的有①③.例19．水管或煤气管的外部经常需要包扎,以便对管道起保护作用,包扎时用很长的带子缠绕在管道外部.若需要使带子全部包住管道且没有重叠的部分(不考虑管子两端的情况,如图所示),这就要精确计算带子的”缠绕角度”α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的其中AB为管道侧面母线的一部分).若带子宽度为1,水管直径为2,则”缠绕角度”的余弦值为.[解析]如图,展开绕在管子外部一周的带子,若符合条件,则AC=2r=2,且°.所以cos.例20．已知正四棱锥中，，当该棱锥的体积最大时，它的高为_____.[解析]本试题主要考察椎体的体积，考察函数的最值问题.设底面边长为a，则高所以体积，设，则，当y取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时.二，解答题例21.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如图）求证：⑴EG∥平面BB1D1D；⑵平面BDF∥平面B1D1H；⑶A1O⊥平面BDF；⑷平面BDF⊥平面AA1C.[解析]（1）欲证EG∥平面BB1D1D，须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线，构造辅助平面BEGO’及辅助直线BO’，显然BO’即是.（2）按线线平行线面平行面面平行的思路，在平面B1D1H内寻找B1D1和O’H两条关键的相交直线，转化为证明：B1D1∥平面BDF，O’H∥平面BDF．⑶为证A1O⊥平面BDF，由三垂线定理，易得BD⊥A1O，再寻A1O垂直于平面BDF内的另一条直线．猜想A1O⊥OF.借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A1O2+OF2=A1F2A1O⊥OF.（4）∵CC1⊥平面AC∴CC1⊥BD又BD⊥AC∴BD⊥平面AA1C又BD平面BDF∴平面BDF⊥平面AA1CD例22．右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．D若点是的中点，证明：平面.[解析]取A1B1中点，连．则．．∴四边形是平行四边形，因此有．又平面且平面，∴面．注：在找“线”与面内的一条直线平行时，常用到一些平面图形的性质，如：三角形的中位线、梯形中位线、平行四边形、平行线分线段成比例定理的逆定理等．例23．如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.（1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD.[解析]本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.证明：（1）连结AC,AC交BD于O,连结EO.∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点在中,EO是中位线,∴PA//EO而平面EDB且平面EDB,所以,PA//平面EDB（2）∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD,∴∵PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,∴.①同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC.而平面PDC,∴.②由①和②推得平面PBC.而平面PBC,∴又且,所以PB⊥平面EFD.例24．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=2．（1）证明：面BDD1B1⊥面ACD1；（2）若E是BC1的中点，P是AC的中点，F是A1C1上的点，C1F=mFA1，试求m的值，使得EF∥D1P．EABEABCDA1B1C1D1FP证明（1）：在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=2，故四边形ABCD是正方形，AP⊥DP，又∵D1D⊥面ABCD，AP面ABCD∴D1D⊥AP，D1D∩DP=D∴AP⊥面BDD1B1∵AP面AD1C∴面BDB1D1⊥面ACD1（2）：记A1C1与B1D1的交点为Q，连BQ，∵P是AC的中点，∴D1P∥BQ，要使得EF∥D1P，则必有EF∥BQ在△QBC1中，E是BC1的中点，F是QC1上的点，EF∥BQ∴F是QC1的中点，即3C1F=FA1，故所求m的值是．例25．如图，已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．（1）求证：DM∥平面APC；（2）求证：平面ABC⊥平面APC；（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D—BCM的体积．[解析]本题考查线面平行的证明，面面垂直的证明以及三棱锥体积的计算证明：（1）∵M为AB中点，D为PB中点，∴MD//AP，又∴MD平面ABC∴DM//平面APC．（2）∵△PMB为正三角形，且D为PB中点．∴MD⊥PB．又由（1）∴知MD//AP，∴AP⊥PB．又已知AP⊥PC∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC．∴BC⊥平面APC，∴平面ABC⊥平面PAC，（3）∵AB=20∴MB=10∴PB=10又BC=4，∴又MD∴VD-BCM=VM-BCD=例26．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠