2021-2022学年湖南省长沙市长沙县高二（下）期末数学试卷

2021-2022学年湖南省长沙市长沙县高二（下）期末数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（5分）对变量X,y有观测数据（Xi,9）Q=I,2,…，10）,得散点图（1）；对变量"，

V,有观测数据（劭，力）（i=l,2,…，10）,得散点图（2）,由这两个散点图可以判断

(

>:

3060r

「

2550r•・

20••40r•

.・

15•30"r二

150二

J-I-10rI-

。215X.

34O—3

(I)Q)

A.变量X与y正相关，〃与U正相关

B.变量X与y正相关，〃与V负相关

C.变量X与y负相关，”与U正相关

D.变量X与y负相关，〃与U负相关

2.（5分）从数字1,2,3,4中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和

等于6,这样的三位数的个数为（）

A.7B.9C.10D.13

3.（5分）设随机变量X的分布列如表所示，且EX=1.6,则〃-〃等于（）

XOI23

P0.1ab0.1

A.0.2B.OJC.-0.2D.-0.4

4.（5分）已知函数/'（久）=9—4出工，在下列区间中，包含/（x）零点的区间是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

5.（5分）已知直线。在平面β上，则“直线此心是“直线LLβ”的（）条件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.非充分非必要

TC1

6.(5分)设Sin(-+θ)=⅛,则Sin2。=()

43

7.（5分）设向量N=（√3,1）,b=（ɪ,-3）,且自，则向量联一力与友的夹角为（）

A.30°B.60oC.I20oD.150°

11

8.（5分）已知”,6为正实数，函数y=2αα'+6的图象经过点（0,1）,则/+1的最小值

为（）

A.3+2√2B.3-2√2C.4D.2

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

（多选）9.（5分）在aABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且”=2、b=3、C

=4,下面说法错误的是（）

A.sinA：sinB：sinC=2:3：4

B.ZsABC是锐角三角形

C.AABC的最大内角是最小内角的2倍

1

D.AABC内切圆半径为一

2

（多选）10.（5分）下列命题正确的是（）

A.若向量噌b满足；=一36则2b为平行向量

B.已知平面内的一组基底3，a2,则向量3+届，A-g也能作为一组基底

C.模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等

TTOTT

D.若△力BC是等边三角形，则V4B,8C>=竽

（多选）11.（5分）如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）

A.BM与E。平行B.A尸与CN垂直

C.CN与BE是异面直线D.CN与8M成60°角

（多选）12.（5分）已知X,y∈R且4x-4yVy5-则（）

A.x<yB./3Vy-3

C.Ig（y-χ）>0D.（i）y<3-x

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学

生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙

专业抽取的学生人数为.

14.（5分）己知（1+2%）”的展开式的各项系数之和为81,则〃=.

15.（5分）在一次期末考试中某学校高三全部学生的数学成绩X服从正态分布N（μ,。2）,

若P（X>90）=0.5,且P（XNllO）=0.2,则P（70≤X≤90）=.

16.（5分）若tan（2x—≤1,则X的取值范围为：.

O

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）在二项式（义-x）"的展开式中，若展开式前三项的二项式系数的和等于46,

求展开式的三次项.

18.（12分）在北京冬奥会期间，某项比赛中有7名志愿者，其中女志愿者3名，男志愿者

4名.

（1）从中选2名志愿者代表，必须有女志愿者代表的不同的选法有多少种？

（2）从中选4人分别从事四个不同岗位的服务，每个岗位一人，且男志愿者甲与女志愿

者乙至少有1人在内，有多少种不同的安排方法？

19.（12分）已知a,b,c分别为锐角三角形ABC三个内角4,B,C的对边，且次C=2asinC.

（1）求A；

（2）若Q=√7,b=2,求c；

（3）若CoSB二求Sin（23-A）的值.

20.（12分）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机

抽取3道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题便可通过.已知6

道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概

率都是右且每题正确完成与否互不影响.

（1）求甲恰好正确完成两个面试题的概率;

(II)求乙正确完成面试题数η的分布列及其期望.

21.(12分)很多人都爱好抖音，为了调查手机用户每天使用抖音的时间，某通讯公司在一

广场随机采访男性，女性用户各50名，将男性，女性平均每天使用抖音的时间(单位,

h)分成5组：(0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10]分别加以统计，得到如图所示

的频率分布直方图.

频率

W

2468IO时间/h

男性女性

(1)根据频率分布直方图估计男性平均每天使用抖音的时间；(同一组中的数据用该组

区间的中点值为代表)

(2)若每天玩抖音超过4〃的用户称为“抖音控”，否则称为“非抖音控”，完成如下列

联表，判断是否有95%的把握认为是否是“抖音控”与性别有关.

抖音控非抖音控总计

男性

女性

总计

附表:

P(x2≥⅛)0.150.100.050.0250.010

k2.0722.7063.8415.0246.635

2

(参考公式：Z2=(α+b)及⅞谓?C)S+d),其中“="+Hc+d∙)

22.(12分)己知函数f(X)=1ogα(α”-1)(。>0,且α≠l).

(1)当Q=；时，求函数f(x)的定义域；

(2)当。>1时，求关于X的不等式/CO</(1)的解集；

(3)当〃=2时，若不等式/(%)-Zog2(l+2")>m对任意实数x∈[l,3]恒成立，求实数

m的取值范围.

2021∙2022学年湖南省长沙市长沙县高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

I.（5分）对变量X,y有观测数据（的，9）（z=l,2,10）,得散点图（1）；对变量〃，

V,有观测数据（的，vz）Ci=If2,10）,得散点图（2）,由这两个散点图可以判断

（）

>4

30-60

25-50

20-.∙40

15■30

10-20

10

5-

161X41234567”

(1)(2)

A.变量X与y正相关，“与V正相关

B.变量X与y正相关，"与V负相关

C.变量X与y负相关，"与V正相关

D.变量X与y负相关，〃与U负相关

【解答】解：由题图1可知，），随X的增大而减小，各点整体呈下降趋势，*与y负相关,

由题图2可知，“随V的增大而增大，各点整体呈上升趋势，“与V正相关.

故选：C.

2.（5分）从数字1,2,3,4中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和

等于6,这样的三位数的个数为（）

A.7B.9C.10D.13

【解答】解：从1,2,3,4中，随机抽取3个数字（允许重复）,

其中各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形:

①由1,1,4三个数字组成的三位数：114,141,411共3个;

②由1,2,3三个数字组成的三位数：123,132,213,231,312,321共6个;

③由2,2,2三个数字可以组成1个三位数，即222.

，共有3+6+1=10个,

故选：C.

3.(5分)设随机变量X的分布列如表所示，且EX=1.6,则6-α等于()

X0123

P0.1ab0.1

A.0.2B.0.1C.-0.2D.-0.4

【解答】解：由题意得：

Q+b+0.2=1

E(X)=α÷26+3×0,1=1.6

0≤α≤1'

{0≤h≤l

解得α=0.3,6=0.5,

:∙b-α=0.2.

故选：A.

4.(5分)已知函数/(X)=2-1。比刈在下列区间中，包含/(x)零点的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【解答】解：f(1)=6-log2∣=6>0,/(2)=3-log22=2>0,/(3)=2-log23>0,

3

f(4)=^-2<0,

j2

：.f(3)f(4)<0,

.∙.函数/(x)在(3,4)内存在零点.

故选：D.

5.(5分)已知直线a在平面β上，则“直线/_L/'是"直线/_L0”的()条件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.非充分非必要

【解答】解：直线α在平面β上，

则“直线此优'成立时，"直线Uβ”不一定成立；

“直线/Lβ"=>"直线

.∙.直线“在平面β上，则"直线L/'是"直线Lβ”的必要非充分条件.

故选：B.

711

6.(5分)设Sin(―+θ)=亍，则sin2θ=()

7117

----C--

A.9B.99D.9

Tl71Tl/71

【解答】解：⅛sin(―+θ)=sin-cosθ+cos-sinθ=-ɔ-(sinθ+cosθ)=ɔ,

444Zɔ

ɔ7

两边平方得：1+2SineCOSe=可即2sinθcosθ=—

7

则sin2e=2sinθcosB=-g.

故选：A.

7.(5分)设向量展=(√3,1),ð=(x,-3),且或_Lb,则向量3-b与之的夹角为()

A.30oB.60oC.120oD.150°

【解答】解：向量Q=(V3,1),b=(x,-3),且a_Lb,

Λ√3χ-3=0,

解得X=√3,

.∖a-b=(√3,1)-(√3,-3)=(0,4),

TT→TTT

Λ∣α—b∖=4,∣Q∣=2,(Q—b)∙Q=4,

设向量I-Z与之的夹角为。，

.∙.cosO=⅛⅛4_1

4×2=2J

∣α-b∣∣α∣

V0o≤θ≤180o,

.∙.θ=60o.

故选：B.

11

8.(5分)已知小6为正实数，函数y=2o∕+b的图象经过点(0,1),则一+二的最小值

”ab

为()

A.3+2√2B.3-2√2C.4D.2

【解答】解：：函数y=2α/+b的图象经过点（O,1）,

.∖∖=2a∙e0+h,BP2a+h=1(a>0,ft>0).

1111ɪɪb2QL-.r-

：.-+-=(-+-)•1=(-+-)<2a+b)=(2+l+-+5≡)23+2√Σ(T当且仅当6=√∑α=

abababQb

√2-I时取到“=”).

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

（多选）9.（5分）在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且a=2、b=3,C

=4,下面说法错误的是（

A.sinA：sinB：sinC=2:3：4

B.ZiABC是锐角三角形

C.AABC的最大内角是最小内角的2倍

D.BC内切圆半径为工

2

【解答】解：因为α=2,b=3,c=4,

ΛsinA：SinB：SinC=a：b：c=2：3：4,故A正确;

可得C为最大边，C为最大角,

由余弦定理可得cosC=的新=昔卦=-∣O'

可得C为钝角，即AABC的形状是钝角三角形.故8错误;

对于c,由CoSA=四塞包=巧Ia=5

71*71

由COSZ4=2COS2A-1=2X(-)2-1=⅞⅛≠-ɪ=cosC,故2A≠C,故C错误;

8324

_1・.回.1入.1OYaD回_3回

rLhUCOSC——~79∙∙SinC——-3,∙∙3cAABC—ʒz7/?SinC—与SXZ2X3x-τ~—3，

44NN44

设AABC内切圆半径为r,.弓(a+%+c)∙r=SA∕4BC,，r=丹旦故。错误；

故选：BCD.

（多选）10.（5分）下列命题正确的是（）

A.若向量Zb满足热=-3b,则2b为平行向量

B.已知平面内的一组基底3，苴，则向量3+扇，A-g也能作为一组基底

C.模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等

TT7TT

D.若AABC是等边三角形，则V4B,BO=

【解答】解：对于A,若向量：，1满足展=-31根据向量平行的充要条件，满足倍数

关系，则Zd一定平行，故A正确；

对于B,因为3,1为平面内的一组基底，所以丁居为非零向量，且不共线，所以向量

后+三，3-扇为一组非零且不共线向量，可以作为一组基底，故8正确;

对于C,向量有大小与方向，单位向量大小相等，方向不一定相同，所以单位向量不一

定相等，故C错误;

TT777

AB=BB',所以/82C=V4B,BC>==γ,故。正确.

故选：ABD.

（多选）11.（5分）如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）

A.BM与ED平行B.A尸与CN垂直

C.CNqBE是异面直线D.CN与BM成60°角

【解答】解：把平面展开图还原原几何体如图:

由正方体的性质可知，与ED异面且垂直，故A错误;

易得EB〃CN,XEBLAF,所以AElCN,故B正确.

CN与BE平行,故C错误;

连接BE,则BE//CN,ZEBM为CN与BM所成角，连接EM,可知48EM为正三角形,

则NEBM=60°,故。正确.

故选：BD.

（多选）12.（5分）己知X,y∈R且4x-4yVj-则（）

A.x<yB.%3Vy-3

C.Ig（y-χ）>0D.（^）y<3-x

【解答】解：根据题意,4x-4yVy3-/=4（x-y）+（x3-y3）Von（X-y）（4÷Λ2+xy+y2）

<0,

又由4+/+盯+J=（X+，）2+斗+4>o,必有冗-yVO,即x<y,则A正确；

对于8,当x=0、y=-l时，/没有意义，8错误；

对于C,当y=2,x=l时，y-x=1时，Ig（y-%）=0,C错误；

对于。，由指数函数的性质，当x<y时，有（3y<3r,。正确；

故选：AD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学

生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙

专业抽取的学生人数为16.

【解答】解：•∙•高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生

，本校共有学生150+150+400+300=1000,

•••用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查

401

・・・每个个体被抽到的概率是­=—，

IOOO25

T丙专业有400人，

二要抽取400X克=16

故答案为：16

14.（5分）已知（l+2r）”的展开式的各项系数之和为81,则n=4.

【解答］解:令x=l得各项系数和为（1+2）"=3"=81,

得n=4,

故答案为：4.

15.（5分）在一次期末考试中某学校高三全部学生的数学成绩X服从正态分布N（p,。2）,

若P(X>90)=0.5,且P(XNllO)=0.2,则P(70≤X≤90)=0.3.

【解答】解：由P(XN90)=0.5,知μ=90,

因为尸(X为110)=0.2,所以P(90WXVIlo)=0.5-0.2=03,

由对称性知，P(70≤X≤90)=P(90≤X<110)=0.3.

故答案为：0.3.

τrknπkn5兀

16.(5分)若tan(2x—‹匕则尤的取值范围为：(二一一，二+二|，kEz.

t>262Z2T

【解答】解：由Ian(2Λ-5)≤1,可得内r—3V2x—[≤Zm+],⅛∈Z>

OZOzF

,、…kππbSTr,,„—IkTTTrkτι5ττ

求得TT一:≤x≤方π-+/，∙∖x的取值氾围为(:一二，—+—]>⅛∈Z,

26乙乙什26224

,,,kττTrkTr5π

故答案为：(：-一二，—+—J,Z∈Z.

26224

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)在二项式(克-“广的展开式中，若展开式前三项的二项式系数的和等于46,

求展开式的三次项.

【解答】解：•••展开式前三项的二项式系数的和等于46,

ΛCθ÷C⅛+C2=46,Λ⅛-90=0,

；・〃=9或〃=-10(舍去)，

ʌ(ɪ-x)n=⅛-X)9的展开式的通项公式为：

TM=^⅛)9^k(-x)k=璘4)ZC1

令2k-9=3,则3=6,

展开式的三次项为球(如(-D6√=^χ3.

18.(12分)在北京冬奥会期间，某项比赛中有7名志愿者，其中女志愿者3名，男志愿者

4名.

(1)从中选2名志愿者代表，必须有女志愿者代表的不同的选法有多少种？

(2)从中选4人分别从事四个不同岗位的服务，每个岗位一人，且男志愿者甲与女志愿

者乙至少有1人在内，有多少种不同的安排方法？

【解答】解：(1)根据题意，从7人中选2名志愿者代表，有C界中选法，

从中选2名志愿者代表，没有女志愿者的选法有盘=6种，

所以从中选2名志愿者代表,必须有女志愿者的不同选法共有爵-以=21-6=15(种)

答：必须有女志愿者的不同选法有15种.

(2)根据题意，分3种情况讨论：

第一类男志愿者甲在内女志愿者乙不在内，有盘题=240种.

第二类女志愿者乙在内男志愿者甲不在内，有牖*=240种；

第三类男志愿者甲、女志愿者乙都在内，有量朗=240种；

由分类计数原理得/V=240+240+240=720种；

共有720种不同选法.

19.(12分)己知a,b,c分别为锐角三角形ABC三个内角A,B,C的对边，且√5c=2asinC.

(1)求A；

(2)若a=√7,b=2,求c；

(3)若COSB=求Sin(28-A)的值.

【解答】解：(1)因为√^∙=2asinC,则由正弦定理可得：

V3sinC=2sinAsinC,sinC≠0,所以SirIA=卓，又因为Ae(0,—),

22

所以A=*

(2)由余弦定理可得：02=⅛2+c2-2bccosA,则7=4+c2-2c,/.c2-2c-3=0,

「・解得(C-3)(c+∖)=0＞解得c=3或c=-1(舍去)；

22rl

(3)因为COsB=所以cos2B=2×(-)2-1=-⅞,又2B∈(0,π),所以sin2B=

339

竽,

一,TrTr4√51I√24Js÷x∕3

所以sin(28-A)=Sin2Bcos—-cos2Bsin-=-----×——(―ɑ)×-ʒ-=—∖.

3392921q8

20.(12分)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机

抽取3道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题便可通过.已知6

道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概

率都是白，且每题正确完成与否互不影响.

3

(I)求甲恰好正确完成两个面试题的概率；

(II)求乙正确完成面试题数η的分布列及其期望.

21

【解答】解：(I)甲恰好完成两道题的概率Pl=晔=|,

C6

(II)设乙正确完成面试的题数为η,则η取值分别为0,1,2,3,

P(η=0)=芸’P(η=l)=CJx&)2xR捺，P(η=2)=或χ(gXg=券，P

5=3)=(|)3=ɪ,

考生乙正确完成题数η的分布列为:

η0123

P16128

27272727

E(Tl)=OX2y+lx2γ+2Xɪy+3X=2.

21.(12分)很多人都爱好抖音，为了调查手机用户每天使用抖音的时间，某通讯公司在一

广场随机采访男性，女性用户各50名，将男性，女性平均每天使用抖音的时间(单位,

h)分成5组：(0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10]分别加以统计，得到如图所示

的频率分布直方图.

男性女性

(1)根据频率分布直方图估计男性平均每天使用抖音的时间；(同一组中的数据用该组

区间的中点值为代表)

(2)若每天玩抖音超过4/7的用户称为“抖音控”，否则称为“非抖音控”，完成如下列

联表，判断是否有95%的把握认为是否是“抖音控”与性别有关.

抖音控非抖音控总计

男性

女性

总计

附表:

P(x2≥⅛)0.150.100.050.0250.010

k2.072