2022-2023学年江苏省盐城市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省盐城市高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如果随机变量X〜B（3,g,那么E（X）等于（）

A.1B.1C.2D.3

2.为了解双减政策的执行情况，某地教育主管部门安排甲、乙、丙三个人到两所学校进行

调研，每个学校至少安排一人，则不同的安排方法有（）

A.6种B.8种C.9种D.12种

3.把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙2个人，每个人分得2张，事件“甲分得红牌

和蓝牌”与“乙分得红牌和黑牌”是（）

A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上均不对

4.若（依+；＞的二项展开式中常数项为（）

A.1B.2C.4D.6

5.若抛物线y2=4x上的一点M到坐标原点。的距离为占，则点M到该抛物线焦点的距离为

（）

9

A./B.1C.2D.3

6.某班经典阅读小组有5名成员，暑假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3、5、4、2、

1,则这组数据的上四分位数为（）

A.2B.3C.3.5D,4

7.在坐标平面内，与点4（1,2）距离为3,且与点B（3,2）距离为1的直线共有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

8.如图所示，在矩形力BCD中，AB=2BC=4,动点M在以点C为圆心且与BD相切的圆上,

则丽•前的最大值是（）

A.-4B.-1C.1D.12

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列关于双曲线1一y2=ι的判断，正确的是（）

4J

A.顶点坐标为（±2,0）B.焦点坐标为（土√^3,0）

C.实轴长为4D.渐近线方程为X±2y=0

10.已知函数∕∙（x）=（χ2-4x+l）e',则函数/（x）在下列区间上单调递增的有（）

A.(-1,0)B.(-2,-1)C.(-1,3)D.(3,4)

11.如图，已知正三角形ABC的边长为3,取正三角形4BC各

边的三等分点D,E,F作第二个正三角形，然后再取正三角

形OEF的各边的三等分点M,N,P作正三角形，以此方法一

直循环下去.设正三角形ABC的边长为的,后续各正三角形的

边长依次为。2,a3,∙∙∙,an∙,设△4EF的面积为瓦，AEMP的

面积为⑦，后续各三角形的面积依次为打，…，bn,则下列选

项正确的是（）

A.数列｛/l｝是以3为首项，?为公比的等比数列

B.从正三角形4BC开始，连续3个正三角形面积之和为罕

4

C.使得不等式%>表成立的n最大值为3

D.数列｛%｝的前n项和Sn<I

12.如图，已知二面角α-I-/?的棱，上有4B两点，C∈α,

AC11,DEβ,BD1I,且AC=AB=BD=1,则下列说

法正确的是（）

A.当二面角α-2-0的大小为60。时，直线AB与CD所成角

为45。

B.当二面角α-1一夕的大小为60。时，直线CD与平面S所成角的正弦值为?

C.若CD=。，则二面角C-BO-4的余弦值为零

D.若CD=C，则四面体ABCO外接球的表面积为ITr

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.己知x、y的取值如下表所示，从散点图分析可知y与X线性相关，如果线性回归方程为

y=0.95x+2.6，那么表格中的数据m的值为

X0134

ym4.34.86.7

2

14∙设双曲线”23=1，焦点为％%，坐标原点为。，P为C上任意一点，则制可=

15.已知函数/"(x)=ɑe*∈R),若函数/(x)有两个极值点均，冷且不≥3匕，则实

数ɑ取值范围为.

某射手射击三次，记事件"第次命中目标”(

16.4=ii=1,2,3),P(A1)=ɪ,P霁,。=3,

p(4+ι∣4)=*=1,2)，则Pal3)=----------

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知数列｛c⅛｝中,a1=l,an+1=∣⅛(n∈JV*).

(1)求数列｛arl｝的通项公式；

(2)设bn=2n-kwW，数列｛；｝的前n项和Sn，求证：S71<1.

on

18.(本小题12.0分)

某中学对50名学生的性别与主动预习的情况进行调查，得到的统计数据如表所示:

主动预习不太主动预习总计

男18725

女61925

总计242650

(1)判断是否有99%的把握认为“主动预习”与性别有关？

(2)现从抽取的“主动预习”的学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取4人参加奥数闯关比

赛，己知其中男、女学生独立闯关成功的概率分别为2(，在恰有两人闯关成功的条件下，求

有女生闯关成功的概率.

参考数据与公式：

P(K2≥fc)0.100.050.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

2

*南黑就E其中.二α+ð÷c+d

19.(本小题12.0分)

己知正方形ABCD的边长为，将△4DC沿对角线4C翻折，使得平面D4C_L平面4BC,得到

三棱锥D-4BC.

(1)求48与CD所成角的余弦值；

(2)求二面角A-DB-C的余弦值.

20.(本小题12.0分)

在学校校本研究活动中，数学兴趣小组开展了一个特别的投骰子游戏.如果学生投中1或6得2

分，并且可以继续下一次投骰子；如果投中2或5得1分，也可以继续下一次投骰子；如果投

中3或4得0分且游戏结束.但投骰子的次数最多不超过3次.用X表示游戏结束时学生累计获得

的分数.

(1)求该学生获得2分的概率；

(2)求X的分布列及数学期望.

21.(本小题12.0分)

已知椭圆E；今+《=l(a>b>0)的离心率为?，记E的右顶点和上顶点分别为4、B,Δ

OAB的面积为1(。为坐标原点).

(1)求E的方程；

(2)点P在线段AB上运动，过点P垂直于y轴的直线I交E于点M(点M在第一象限)，且丽=PQ,

设直线BQ与E的另一个交点为N,证明：直线MN过定点.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=αZn(x-≡)+smx,其中a为实数.

(1)若/Q)在区间(5当)上单调递增，求ɑ的取值范围;

(2)求证：对任意的实数α,方程f(x)=COSX均有解.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因为X〜B(3,g),

所以E(X)=3x4=1.

故选：B.

利用二项分布数学期望的公式计算即可.

本题考查二项分布数学期望的公式，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：由题意，将3人分成2组，其中一组2人，有4种，

再分配到两所学校，有房种，

故共有戏掰=6种安排方法.

故选：A.

先分组，再分配即可.

本题考查了排列组合的简单计数问题，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：事件“甲分得红牌和蓝牌”与“乙分得红牌和黑牌”，显然两个事件不可能同时发

生，

但两者可能同时不发生，如“甲分得红牌和白牌”与“乙分得蓝牌和黑牌”，

综上，这两个事件为互斥但不对立事件.

故选：C.

根据互斥事件和对立事件的概念，选出正确选项.

本题考查互斥事件、对立事件等基础知识，是基础题.

4.【答案】C

1_14—4r

【解析】解：二项式(正+工尸展开式的通项为T「+i=CJ^(Vx)4-r⅛r=CIX一1(O≤r≤4且r∈N),

令Ir=0,解得r=ι,所以△=Cpo=4,故展开式中常数项为4.

故选：C.

写出展开式的通项，再令空=0,解得r,最后代入计算可得.

本题考查了二项式定理的应用，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：设点M(q,y)，•；∣MO∣=√^^5,

2

∙∙∙(v⅜-0)2+(y-0)2=5.

∙∙∙y2=4或y2=—20(舍去),

2

.∙.X=iy-=1,

4

.∙.M到抛物线y2=4x的准线X=-I的距离d=1-(-1)=2,

•・•点M到该抛物线焦点的距离等于点M到抛物线f=4x的准线的距离，

•••点M到该抛物线焦点的距离为2.

故选：C.

求得点M的坐标，将点M到该抛物线焦点的距离转化为点M到抛物线y2=4x的准线的距离即可.

本题主要考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：将样本数据由小到大排列依次为：1、2、3、4、5,

因为5X,=^=3.75,因此，这组数据的上四分位数为4.

故选：D.

将样本数据由小到大排列，结合上四分位数的定义可求得这组数据的上四分位数.

本题主要考查百分位数的定义，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：当直线的斜率不存在时，直线％=4满足与点4(1,2)距离为3,且与点B(3,2)距离为1,

22

以点A(L2)为圆心，r1=3为半径的圆的方程为(X-I)+(y-2)=9,

以点B(3,2)为圆心，方=1为半径的圆的方程为(X-3)2+(y-2)2=1,

因为IABl=2=ηl—万，则两圆相内切，

故两圆的公切线有且仅有1条，即％=4,

故在坐标平面内，与点A(L2)距离为3,且与点B(3,2)距离为1的直线共有1条.

故选：A.

判断以点4(1,2)为圆心，巳=3为半径的圆与以点B(3,2)为圆心，上=1为半径的圆的位置关系，

即可判断.

本题主要考查两圆之间的位置关系，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解：由题意知I而I=I而I=2，弓，

设C到BD的距离为d,则由等面积法得d=煞=容，则I而I=警，

故而JD=(BC+CM)JD=BC-'BD+CM-'BD>

其中睨-BD=BC-(AD-AB)=BC-AD-BC-AB=4>

设而,乔的夹角为仇

则而rM=∖CM∖∖^BD∖cosθ≤∖^CM∖∖^BD∖=8,

当且仅当石，与前同向时，等号成立，

则丽•南的最大值是4+8=12.

故选：D.

先求出C到Bo的距离，可得IEM由丽.前=(沆s+而).前，结合数量积的运算进一步求解

即可.

本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于中档题.

9.【答案】ACD

【解析1解：对于双曲线r,a=2,b=l,则C=√a?+炉=CTT=屋,

对于4选项，双曲线r的顶点坐标为(±2,0),4对；

对于B选项，双曲线r的焦点坐标为(±0)，B错；

对于C选项，双曲线r的实轴长为2a=4,C对;

对于。选项，双曲线r的渐近线方程为y=尤，即x±2y=0,。对.

故选:ACD.

确定a、氏C的值，利用双曲线的几何性质可判断各项的正误.

本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题.

10.【答案】BD

【解析】解：f'(x)=(2x—4)ex+(x2—4x+l~)ex=(x2—7.x—3)ex,

令尸(X)>0,可得%2—2x—3>0,解得％<-1或%>3,

所以f(x)的单调递增区间是(—8,—1),(3,+∞),

所以f(x)在(一2,-1)与(3,4)上单调递增.

故选：BD.

求解尸(乃>0,再对比选项即可求解.

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题.

11.【答案】ABD

【解析】解：设正三角形力BC的边长为由,后续各正三角形的边长依次为a?，ɑɜ.........an,

由题意知的=3,an=JGanT)2+(IanT)2-2XganTXIan-ICOS60。=?an-ι>

.∙.W=孕，所以｛a7l｝为以3为首项，孕为公比的等比数列，

an-lɔ3

所以厮=3X(?)“T，故A正确；

2

又a2=3X(-ʃ)ɪ=>J_3<a3=3×(ry^)=1,

所以从正三角形4BC开始，连续3个正三角形面积之和为甲，故B正确；

4

T7f112.,coV32I112—co、32

ʌði=-×-ɑɪ×-ɑɪsmðθ=-T-ɑɪ»…，b=ɔ××ɔ¾sιn60=—τ-»

ZɔɔIonZɔɔIo

所以瓦=?，“•，bn=普［3X(?产产Xe)"-1,

显然数列也｝单调递减，与=孕X(I)1=孕=>当

2363636

坛=GXd)2=W=出›。，∕=Wχd)3=G=2>2=。，故C错误；

32W18363642W5410810836

数列｛九｝的前n项和Sn=邕=普=∣×^[l-φn]<手<£故。正确.

1-3

故选：ABD.

利用余弦定理得到α7l=∙αnγ,即可得到数列｛an｝是以3为首项，?为公比的等比数列，即可判

断4、B；再由bn=<x<αnx4ɑllsin60o=2w,求出｛九｝的通项，即可判断C;利用等比数列

23ɔIo

求和公式判断D.

本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：对于力、B选项，如图，过4作AE〃BD,且AE=BD,连接ED,EC,

由4C_U,BD11,AC=AB=BD=1,所以4E1I,贝IJABZ)E为正方形，

则力B〃DE,NCCE即为直线力B与CD所成角，NcaE为二面角α-/一夕的平面角,

当∕C4E=60。时，易得CE=DE=1,

又BD11,ACCtAE=A,AC,4Eu平面4EC,所以21平面AEC,

∙∙.DElffi√lEC,又ECU面4EC,

所以DEIEC,所以ADEC为等腰直角三角形，

所以NCDE=45。，即直线4B与CD所成角为45。，故A正确；

取AE的中点G,连接CG,DG,因为AAEC为等边三角形,

所以CGIAE,

又OEI面AEC,CGU面4EC,所以OEICG,

且力EnDE=E,AE,DEUB，所以CG10,

所以NCDG即为CD与0所成角，

因为CD=√CE2+DE2=√-2,CG=√CA2-AG2=?，

所以SikCCG="=口，即直线CD与平面6所成角的正弦值为“，故B正确；

CD44

对于c,HAWAE//BD,且AE=BD,连接EO,EC,

由ACII,BD1I,AC=AB=BD=1,所以AE_U,则ABDE为正方形，^∖AB∕∕DE,

又4C∙L2,BDɪI,ACQAE=A,AC,4Eu平面4EC,所以11平面4EC,

所以。E_L平面4EC,NSE为二面角a-，-/7的平面角，

若CD=H，则CE=√C"一。E2=1,所以4C=AE=CE=1,即△/!EC为等边三角形，

所以4C4E=60°,即二面角a—-口的大小为60。，

取BD的中点F,连接GF,CF,则GF〃4B,所以GFIDB,

由三垂线法可知4CFG即为二面角C-BD-4的平面角，又GF=1,所以CF=√CG2+GF2=?，

所以COSNCFG=奈=言=学，所以二面角C-BD-A的余弦值为空工故C错误；

-ɔ-7

对于。，四面体ABCD的外接球即为四棱锥C-4BZ)E的外接球，

又DEI平面4EC,DEU平面4BDE,所以平面ABOEJ_平面4EC,

所以将四棱锥C-4BDE补全为直三棱柱BDH-AEC,

则四棱锥C-ABDE的外接球即为直三棱柱BDH-AEC的外接球,

CH

设△4EC外接圆的半径为r,则根据正弦定理可得：

CCEl2>Γ3“C

2r=痂3=苧=-y^,所以r=亍，

设四棱锥C-ABDE的外接球的半径为R,

则(2R)2=(2r)2+AB2=^+l=^~,

所以四棱锥C-4BDE的外接球的表面积S=4πR2=lπ,

故四面体ABeD外接球的表面积为(兀，故。正确.

故选：ABD.

HA^AE//BD,且AE=BD,连接ED,EC,即可得到NCDE即为直线ZB与CD所成角，ZCaE为

二面角α-1-S的平面角，由NCAE=60。，即可求出CE、CD,即可判断4；

取4E的中点G,连接CG,DG,即可得到CGI平面S，从而得到NCDG即为直线CD与平面/?所成角，

即可判断8；

由4、B中CO=√~∑取BD的中点F,连接GF,CF,即可得到NCFG即为二面角C-BD-4的平

面角，即可判断C;

四面体ABCD的外接球即为四棱锥C-力BDE的外接球，求出外接球的半径，即可判断D.

本题考查二面角的概念，线线角的求解，异面直线所成角的求解，四面体的外接球问题，化归转

化思想，属中档题.

13.【答案】2.2

【解析】解：由表格中的数据可得短组产=2,ym+4.3+4.8+6.7m+15.8

44

将点6/)的坐标代入回归直线方程可得0.95×2+2.6_τn÷15.8

4

解得?n=2.2.

故答案为：2.2.

求出样本中心点的坐标，将样本中心点的坐标代入回归直线方程，可求得实数Tn的值.

本题考查线性回归相关知识，属于基础题.

14.【答案】1

【解析】解：由双曲线C：X2—y2=1,得α=1,b=1,c=√a2+b2=y∕~2>

所以左右焦点的坐标为C,O),F2”,O).

设点P(XOJo)，

2

由双曲线的定义得IlPFIl-∣PF2∣∣=2,平方得|P&|2+∣PF2∣-2∣PF11∙∖PF2∖=4,

22

IPFll∙∣PF2∣=|(∣PF11+∣PF2∣2-4)=；[(x0+√^2)+y^+(殉一+%—4]=琮+说,

又IPoI2=瑶+必,所以IPFll∙∣PF2I=∖P0∖2,

所以IPO『=1

w-

IPF1IIPF2I'

故答案为：1.

设点P(Xo,Vo),由双曲线的定义得IIPFII-IPF2∣∣=2,平方整理得IPFlI∙|PF2|=瑶+光,又

IPoI2=娜+羽，所以IPFIl∙∣PFz∣=∣P0∣2,即可得出结果.

本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题.

15.【答案】(0,[仇3]

【解析】解：函数/(%)有两个极值点%1，X2»

.•・∕'(X)=Qe”一％有两个零点％i，X2Tα≠0,

X1x2,x2x1

：•ae=x1,ae=x2»∙∙∣τγ==e~f

令&一/，则犯=%ι+t①，则有言=e*②,

t

・・.X2=χ1e,代入①可得Xl=*Y，

又由②得言=-≥3,.・.t≥∕∏3,

令g(t)=*∙,t≥)3,则g'(t)=e'~1~⅛,

令九(£)=et-1—tet,则∕ι'(t)=-tet<0,

・・・九(£)单调递减，・・・h(t)≤∕ι(Zn3)=2-3)3<0,

∙∙∙g(t)单调递减，∙∙∙g(t)≤g0n3)=芋，即勺≤等,

而α=爵，令U(X)=W'x≤等，

则优(X)=M>0,…⑴在％≤竽时单调递增，

・•・u(%)≤u(ɪ)=ʃ/nɜ,即a≤PLn3,

x

又，(x)=ae-%有两个零点工ι,χ2,

则直线y=Q与〃(X)的图象有两个交点，

而优(X)=令“'(%)=0,则％=1,

当％Vl时,√(x)>0,g(x)单调递增，

当%>1时，u,(x)<0,g(x)单调递减，

所以U(X)JnaX=U(I)=I且当X<0时，u(x)<0,当x>0时，u(x)>0,U(O)=0,

a(x)大致图象为：

y="(x)

由图可知,

又.,35=243=等<等

6464

∙∙∙gn3<gne忆W

OO5

V3e2<3×2.82=23.52<25,

.∙.p<L则?伍3<工，

5e6e

综上，OVQ≤q①3∙

6

故答案为：(0,pbι3]∙

x2x2xι

由题意可得ae*ι=%i，ae=X2,两式作比得到*==e~f令小一打=3结合条件将勺

转化为关于t的函数，求导，得到修的范围，再结合Q=*得到。的范围，再与函数/(%)有两个极

值点时a的范围取交集即可.

本题考查了函数的单调性，极值点问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题.

16.【答案】ɪ

【解析】解：由题意，P(,A2∖A1^)=3P(½1)=3×ɪ=ɪ,P(Zl2Mi)=I-

一一Ilql7

则PG42)=P(PI)PG42%)+pμ1)P(Λ2μ1)=∣×∣+≥×i=⅛

771

P{A3∖A2)=3P(4)=3X五=§，pμ3μ2)=；，

77

则P(4)=P(A)P(AIA)+P(Zl)P(TlM)8-

23223224

故答案为：黑

由题意，计算条件概率，利用全概率公式，求得答案.

本题主要考查条件概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题.

17.【答案】解：(1)因为Ql=1,αn+ι=fs(n∈N*),

所以乎=(⅛rι(neN*),

anɔ

=φn-1∙Φn-2••…Φ1-1=0)1+2++(n-i)=G)中,

当？I=1时，α1=1满足条件,

所以即=(滑A

(2)证明：因为bn=2n-log3an=n(n+1),

所以工=11___1

,

物^hnn(n÷l)?i~n+T

所以Sn=I-T+；―g-焉=1一冷，

因为Ai>°,

所以无<1.

【解析】(1)由。„+1=号，5€7*),得到竽l=(⅛)n(n∈N*),再利用累乘法求解;

ɔUJIɔ

(2)由(1)易缄=1ɪ-ɪ,再利用裂项相消法求解.

本题考查数列递推关系的运用以及数列的求和，考查裂项相消法的运用，考查运算求解能力，属

于中档题.

2

18.【答案】解：⑴因为K?=5要型造祟.,U538>10,828.

24×26×25×25

所以有99%的把握认为“主动预习”与性别有关；

(2)根据分层抽样，抽取4人中，有男生3人，女生1人，

设“恰有两人闯关成功”为事件4“有女生闯关成功”为事件B,

因为参加奥数闯关比赛，已知其中男、女学生独立闯关成功的概率分别为

所以P(A)=废X@2x(1》+玛XgX(I屋¥XR号,

P(^)=ci×∣×(i-∣)2×∣=⅛

9

所以P(BM)=需=暨3

4

J125

【解析】(1)利用列联表中的数据，求得K2的值，再与临界值表对照下结论;

(2)根据分层抽样，得到抽取4人中，有男生3人,女生1人，设“恰有两人闯关成功”为事件4

“有女生闯关成功”为事件B,分别求得其概率,再利用条件概率求解.

本题主要考查独立性检验公式，属于基础题.

19.【答案】解：⑴连接BO交4C于点0,

因为四边形48C。为正方形，

所以OBJ_AC,ODIAC,

翻折后，仍有OBIaC,ODLAC,

因为平面ACD_L平面力BC,平面ACDfl平面ABC=AC,ODU平面ACD,

所以。D工平面ABC,

以点。为坐标原点，OB、OC、。。所在直线分别为x、y、Z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

因为正方形ABCD的边长为。，贝IJac=BD=I∑4B=2,

则点。(0,0,0)、/1(0,-1,0).BQ,。,。)、C(0,1,0)、0(0,0,1),

所以，AB=(1,1,0).CD=(0,-1,1).

则3须，函=黯=缶7，

因此，4B与CD所成角的余弦值为今

(2)设平面48。的法向量为记=(x1,y1,z1),AD=(0,1,1)，

则g∙亚=0,gp[^+yι=θ则可取元=QT1),

(n∙AD=0(y1+z1=0

设平面BCD的法向量为沆=(久2，、2*2)，~CB=(1,-1,0),

贝嘿嚼U≡p{-yΓ÷2¾=o5则可取记=(LLi),

沅员_]_1

因为CoS〈沅,五〉∣zn∣∙∣n∣=√3×vn3=3,

由图可知，二面角4一BD-C的平面角为钝角，故二面角4一BD-C的余弦值为一提

【解析】(1)证明出ODl平面ABC,然后以点。为坐标原点，OB、OC,0。所在直线分别为x、y、

Z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线48与CD所成角的余弦值；

(2)利用空间向量法可求得二面角力-DB-C的余弦值.

本题考查空间向量在立体几何中的运用，考查运算求解能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)依题意，在单次投骰子中，投中1或者6的概率为"，投中2或5的概率为全投

而该学生获得2分的情况有：第一次投中投中1或者6,第二次投中3或4：第一次与第二次都投中2

或5,第三次投中3或4；共2种情况，

所以该学生获得2分的概率为：P=l×li×∣×∣=±

ɔɔ+ɔɔɔLl

(2)依题意，可知X的可能取值为0,1,2,3,4,5,6,

P(X=O)=3,P(X=I)=IXH,P(X=2)=点,

,

.,3、Γ,Λ1111111rt∕X7A\111.,ιIll4

Pr(zXz=3)=⅛×-×-×-+-×-×-=-,P(X=4)=-×-×-+Czi×-×-×-=-,

P(X=5)=Cjx∣×∣×i=iP(X=6)=∣×i×i=⅛

所以X的分布列为:

14141119

×9+2×27+3×9+4×27+5×9+6×27=^9^∙

【解析】(1)分析该学生获得22分的情况，从而利用独立事件与互斥事件的概率公式求解即可；

(2)先由题意得到X的可能取值，再依次求得X的取值对应的概率，从而得解.

本题主要考查离散型随机变量期望的求解，属于中档题.

21.【答案】解：(1)由题意可得|0*=a,∖OB∖=b,5.0A1OB,则SΔ0AB=∖∖0A∖-∖0B∖=Tab=1,

c√-3

e=α=-P=2

所以，Hαb=l,解得匕=1，

2(C=y∕~3

IQ2=匕2+¢2

2

所以，椭圆E的方程为菅+y2=1.

(2)证明：若直线MN与y轴重合，则直线MN与直线I重合，不合乎题意，

设直线MN的方程为X=Tny+n,设点MQl,%)、N(^x2,y2')>

易知点力(2,0)、8(0,1),则直线48的方程为5+y=1,

直线［的方程为y=%,联立g+y_y可得％=2(1—%),故点P(2(l-yι),yι),

因为点加=所，设点QQodo)，则尸为线段MQ的中点，

则可得燃Ui)『即点Q(4fiM,

联立直线MN与椭圆的方程得「2可得(z∏2+4)y2+2mny+n2-4=0,

(%十2⅜y=4

Δ=4m2n2—4(m2+4)(n2-4)=16(m2+4—n2)>0,

由韦达定理可得当+'2=-5翳，%丫2=常，

因为B(O,1)、Q(4-4y1-%ι,y1)>N(X2,，2)三点共线可得的〃前，

且丽=(4-4y1-x1,y1-1)>^BN-(x2,y2-1)，

所以，×ι(yι-1)=(4-4y1-x1Xy2-1),

⅛Wr∏-⅛-Λ--ɪɪɪ.-myι+w叫+n_m(y「l)+m+nm(y2T)+m+n

"'J倚~yi-ιy2-1~y1-ly2-l~(y1-l)(y2-i)'

=2m+(m+n)(yι+j⅞-