新教材人教A版高中数学必修第二册平面向量极化恒等式和矩形大法 同步讲义

5、平面向量极化恒等式和矩形大法

【考点分析】

考点一：极化恒等式

极化恒等式:4∙Z=([(α+Z)—

(--*∖2-2一一一2(一一Y-2一-一2

证明：∖a^-bj=a+2α∙b+b①；∖a-bj=a-2a∙b+b②

两式相减得：Q∙g=J[(α+B)2-(α-

特别地，如图在ZVLBC中，若“为BC的中点，AB∙AC=∖AMf--∖βcf.

考点二：平面向量的矩形大法

-----►22，2，2

如图：若四边形ABCD为矩形，。为矩形所在平面内任一点，则。4+OC=OB+OD。

证明:

——-2-2——-2»2——-2——*2-2(~►——-V~►——Λ(——►-V——►

OA+OC-OB-OD=OA-OB+OC-OD=∖OA+OB∣OA-OB)÷∖OC+OD}pC-OD

=丽.你+0B]+DC0C+0D)

=BA∙(04+δβ)-βA(δc+δB)=βA(δA+δβ-δc-δB)

=就原+国=O

..—*2►2►22

所以OA+OC=OB+OD。

【题型目录】

题型一：极化恒等式的应用

题型二：极化恒等式之矩形大法

【典型例题】

题型一：平面向量的坐标运算

【例1】已知向量。，b满足∣α+M=JI5∖∖a-b∖=y∕β,则α∙）二（)

A.1B.2C.3D.5

【答案】A

Tf“一→22

【详解】由平行四边形模拟得αZ=j（α+bα-b∣‰i(10-6)=l

【例2】如图，在Z∖A3C中，ZC=90o.AC=4,BC=3,。是AB的中点，E、尸分别是

边BC、AC上的动点，且EF=1,则丽•丽的最小值等.

【答案】—

4

---*2

...2FF.2j

【详解】DEDF=DH_^—=DH--（〃为石尸的中点），因CH+DH≥CD,所

44

51--—∙--21115

以DH≥CD-CH=3—一=2,所以DEDF=DH-±≥4--=-

22444

【例3】边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点?为正方形四条边上的动

点，当弦MN的长度最大时，PM.尸N的取值范围是.

【答案】［oɪ

4

【解析】

【分析】

设正方形43CD的内切圆为圆。，当弦MN的长度最大时，MN为圆。的一条直径，计算可得

出PM-PN=pO『-；,计算出IPOl的取值范围，即可得解.

【详解】

如下图所示：

设正方形ABCQ的内切圆为圆。，当弦MN的长度最大时，MN为圆。的一条直径,

PMPN=^P0+0M)-^P0-0M)=^P0^-∖θM^=Po，

当P为正方形ABCr)的某边的中点时，∣oPl=-,

IImin2

当P与正方形ABC。的顶点重合时，I。Pl=立，即L≤∣OP归走，

IImax22II2

I∣21「1-

因此，PMPN=∖pa一一∈o,-,

4[_4_

故答案为：∣^o,1.

_4_

【例4】四边形ABC。为菱形，ZBAC=30o,A8=6,P是菱形438所在平面的任意一点,

则PA-PC的最小值为.

【答案】-27

【解析】

【分析】

取Ae的中点0,连接。4,OC,OP,应用向量加减法的几何意义及数量积的运算律可得

PAPC-PO2-OA2`即可求最小值•

【详解】

由题设，AC=6√3.取AC的中点。，连接。4,0C,OP,

则PA=Po+OA，PC=PO+OC=PO-OA^

所以Λ4.尸C=(P0+0A)•(P0-0A)=P02-0A。=尸0；!-27≥-27.

【例5】已知下图中正六边形48CDE/的边长为4,圆。的圆心为正六边形的中心，直径为2,

若点P在正六边形的边上运动，MN为圆。的直径，则/W∙/W的取值范围是()

CD

A.[11,16]B.[11,15]

C.[12,15]D.[11,14]

【答案】B

【解析】

根正六边形的性质，求得内切圆和外接圆的半径，再化简得到PM∙PN=/Y/_0M二结合

r≤∖P0∖≤R,即可求解.

【详解】

由正六边形ABCDEk的边长为4,圆。的圆心为正六边形的中心，半径为1,

所以正六边形ABCDE尸的内切圆的半径为r=O4sin60=4sin60=2√3,

外接圆的半径为R=4,

又由PMPN=(PO+OM)(PO+ON)=(PO+OM)(PO-OM)

22)

=PO-OM=PO-X，

因为r4∣P0∣≤K,即M。k[26,4],可得PO°—1印1,15]，

所以nW∙PN的取值范围是[11,15].

【题型专练】

L如图直角梯形ABC。中,EF是C。边上长为6的可移动的线段，AO=4,AB=8遂，BC=12,

则BE-BF的取值范围为.

【答案】[99,148]

【解析】

【分析】

首先在BC上取一点G,使得5G=4,取M的中点P,连接。G,BP,根据题意得到

BEBF=1[(B£+BF)2-(B£-BF)2]=BP2-9,再根据网的最值求解即可.

【详解】

在BC上取一点G,使得8G=4,取EF的中点P,连接。G,BP,

如图所示：

则OG=8√J,GC=8,CD=^82+（8∙^）^=16.

tanZBCD=-=∙χ^.即NBeo=60.

8

BE-BF=^BE+BF^-^BE-BF^=^2BP^-FE2=BP，-9,

当BP_LC。时，I此取得最小值,此时网=12xsin60=66

所以（8E∙8尸）=（6√jj-9=99.

当尸与。重合时，CP=13,BC=U,

贝Ij网2=122+132-2X12X13X；=157,

当E与C重合时，CP=3,BC=∖2,

贝IJ网2=12?+32-2x12x3Xg=II7,

所以（"∙BFL=I57-9=148,即BE3尸的取值范围为[99,148].

2.如图，在；ABC中,NABC=90,A8=2,BC=20,M点是线段AC上一动点.若以M为圆心

、半径为1的圆与线段AC交于P,。两点，则BP∙BQ的最小值为（）

【答案】B

【解析】

根据M为P。的中点，将BP,BQ用BM,MQ表示出来，然后利用向量运算法则，即可将问题转

化为IBMj的最小值，即B到线段AC的距离的平方.

【详解】

解：由题意，MQ=-MP,且∣Λ∕P∣=1,IACl=JAM2+忸Cf=4,

所以BP=BM+MP，BQ=BM+MQ=BM-MP,

所以BP∙8Q=(BM+Λ∕P)∙(BΛ∕-Λ∕P)=∣8MF-I,

易知，当BMLAC时，BM最小，

所以IBAMBa=IACHBMnlM,Bp2×2√3=4χ∣B<to,解得忸ML=√3,

故BP∙BQ的最小值为-1=2.

3.已知P是边长为4的正三角形ABC所在平面内一点，S,AP=ΛAB+(2-2λ)AC{λ∈R),则

PA∙PC的最小值为()

A.16B.12C.5D.4

【答案】C

【解析】

延长AC到。,使得AD=2AC，可得点P在直线BDk,化简可得PA∙PC=IP。FT,求l⅛∣PO\

最小值即可.

【详解】

如图，延长AC到。，使得AD=2AC∙

因为AP=AAB+(2-2λ)AC=λAB+(1-λ)AD,所以点P在直线BDk.

取线段AC的中点。，连接OP,

贝IJPA-PC=(PO+OA)(PO-QA)=∣PO-∖()A∣2=∣PO|2-4.

显然当OPj_B。时，I尸。I取得最小值，

因为80=26,。。=6,则8。=4后，所以IPOlmm=2史6=3,

4y∣3

所以P4PC的最小值为32-4=5.

4.设三角形ABC,凡是边回上的一定点‘满足POB<AB,且对于边AB上任一点P,恒有

PBPC≥PuBPuC,则三角形ABC形状为.

【答案】C为顶角的等腰三角形

【解析】

取BC的中点。,设。为AB的中点,根据PB-PC>P0B-P0C可得∖PD∖≥∣∕>D∣,从而可知P0DlAB,

再由中位线定理可知，OCLAB,即可解出.

【详解】

取8C的中点力，连接P。，PoD,如图所示：

PB-PC^PD+⅛C^PD-^BCy∖PD^-^∖BC^,同理兄=,

PB∙PC≥RB∙RC,

∣PD∣2-l∣4≥∣^∣2-i∣βc∣2

|尸4≥W4∙∙.∕>,D1AB,设O为A8的中点,

6B=gθBn6。//。CnOCLAB,.∙.AC=BC即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形.

5.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和

回纹构成的正六边形前纸窗花.图2中正六边形ABCDE尸的边长为4,圆。的圆心为该正六边

形的中心，圆。的半径为2,圆。的直径MN〃CD,点尸在正六边形的边上运动，则PMVN

的最小值为（）

图1

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】

计算得出PM∙PN=PoI2-4,求出卜4的取值范围，由此可求得PM∙PN的取值范围，从而

可得最小值.

【详解】

如下图所示，由正六边形的几何性质可知，..Q4B、OBC.&OCD、oODE、.0EF..OE4

均为边长为4的等边三角形，

当点尸位于正六边形ABCDEF的顶点时，IPOl取最大值4，

当点尸为正六边形各边的中点时，,4取最小值，即卜OLM=4sin(=2后,

所以，卜。上[20,4].

所以，PMPN=(PO+OM)(Po+0N)=(PO+OM)(尸O-OM)=P0，-4e[8,12].

FM∙PN的最小值为8.

6.ABC中，Aβ=3,BC=4,AC=5,PQ为,ABC内切圆的一条直径，M为；ABC边上的动

点，则MP∙MQ的取值范围为()

A.[0,4]B.[1,4]C.[0,9]D.[1,9]

【答案】C

【解析】

【分析】

易知a∙ABC是直角三角形，利用等面积法可得内切圆半径r=l,设内切圆圆心为O,根据PQ为

直径，可知IoPI=1,OQ=-OP,整理MPM2="O2-O/,进而根据M的运动情况来求解.

【详解】

由题可知，AB2+BC2=AC2,所以：ABC是直角三角形，/8=90°,

设内切圆半径为r,则SAec=gx3x4=gx(3+4+5)r,解得r=l,

设内切圆圆心为O,因为尸。是，ABC内切圆的一条直径,

所以网=1,OQ=-OP,

则Λ1P=MO+OP,MQ=MO+OQ=Mo-OP,

所以MP∙MQ=(M0+0P)(M0-0P)=M02-0P2,

因为何为ABC边上的动点，所以IMoI.=r=\；当M与C重合时，IMol=√W,

IImmIImax

所以MP∙MQ的取值范围是［0,9］,

题型二：极化恒等式之矩形大法

如图，在矩形ABCD中，若对角线AC和89交于点O,P为平面内任意一点，有以下两个重

要的向量关系：(I)PA2+PC2=PB2+PD2；②PAPC=PBPD.

+核.若画<；

［例1］在平面内,ABl1AB2,∣Oβ1∣=∣OB2∣=l,AP=ABl则Iod的取值范

【答案】D

【详解】由矩形大法知：瓦瓦『=|研2+而2,所以仔+］2=032+0^2=2,所

以J研2=2—］西I因为J研＜；,所以0≤∣西2＜；,所以\＜2—|西2≤2,所以

<04≤√2

【例2】(2015•四川预赛)在矩形45CD中，AB=3,AZ)=4,P为矩形ASCD所在平面上

一点，满足A4=2