广东省2021年中考真题数学试卷(原卷和解析版)

2021年广东省中考数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的

1.下列实数中，最大的数是（）

A.万B.√2C.∣-2∣D.3

2.据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生

产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学记数

法表示为（）

A.0.510858×109B.51.0858×IO7C.5.10858×IO4D.5.10858×IO8

3.同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（）

A.—B.~C.—D.—

12632

4.已知9"'=3,27"=4,则B?",=（）

A.1B.6C.7D.12

5,若卜-W+j9Y-12"+4后=0,则他=（）

Q

A.√3B.-C.4√3D.9

6.下列图形是正方体展开图的个数为（）

∏η,,,∏η,

Al个B.2个C.3个D.4个

7.如图，A3是。。直径，点C为圆上一点，AC=3,ZABC的平分线交AC于点O,8=1,

则。。的直径为（）

1/33

C

D，

A.√3B.26C.1D.2

8.设6-√IU的整数部分为Q,小数部分为4贝∣j（2α+M）h的值是（）

A.6B.2√iθC.12D.9√i0

9.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形三边求面积的公式，此公式与古希

腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为。，儿c,记P=”|汇，

贝IJ其面积S=JM〃一α）（〃一份（〃一c）.这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.若"=5,C=4,

则此三角形面积的最大值为（）

A.√5B.4C.2√5D.5

10.设O为坐标原点，点A、3为抛物线y=χ2上的两个动点，且OA_LO8.连接点4、B,

过O作。CJ_AB于点C,则点C到y轴距离的最大值（）

A.；B.亚C.正D.1

222

二、填空题：本大题7小题

11.二元一次方程组；的解为—.

2x+y=2

12.把抛物线y=2χ2+ι向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物

线的解析式为

13.如图，等腰直角三角形ABC中，ZA=90o,βC=4.分别以点以点。为圆心，线段BC

长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点。、£、F,则图中阴影部分的面积为____.

BEC

2/33

14.若一元二次方程/+"+C=O（b,C为常数）的两根片，w满足-3<玉<-l,l<%<3,则

符合条件的一个方程为.

11Q1

15.若x+—=三且0<χ<l,则f---=.

X6X

4

16.如图，在,ABC。中，AD=5,AB=12,sinA=-.过点。作DnA3,垂足E,贝IJ

17.在八49C中，NABC=9（）。,AB=2,BC=3.点。为平面上一个动点，ZΛDβ=45o,则线

段CO长度的最小值为.

三、解答题（一）：本大题共3小题

2x-4»3（x-2）

18.解不等式组，x-i.

4%>----

I2

19.某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛.用简单随机抽样的方法，从该年级

（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数.

20.如图，在MABC中，ZA≈90o,作BC的垂直平分线交AC于点。，延长AC至点E,

使CE=4?.

3/33

B

(1)若AE=I,求AABO的周长；

(2)若A。=/。，求tanZABC的值.

四、解答题(二)：本大题共3小题

21.在平面直角坐标系χQy中，一次函数y=履+妙＞0)的图象与％轴、y轴分别交于A、

B两点，且与反比例函数y=,图象的一个交点为P(l,∕")∙

X

(1)求加的值；

(2)若B4=2AB,求上的值.

22.端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传

统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进

的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价

50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒.

(1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；

(2)设猪肉粽每盒售价％元(50Wx≤65),y表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单位:元),

求y关于X的函数解析式并求最大利润.

23.如图，边长为1的正方形ABC。中，点E为AD的中点.连接5E,将ZXABE沿班折

叠得到.EBgM交AC于点G,求CG的长.

4/33

五、解答题(三)：本大题共2小题

24.如图，在四边形ABCz)中，ABHCD,AB≠CD,ZABC=90。，点后、尸分别在线段BC、

AO上，ɪEFHCD,AB=AF,CD=DF.

BA

(1)求证：CFA.FB-

(2)求证：以为直径的圆与BC相切；

(3)若E∕=2,NoFE=I20。，求.∙.ADE面积.

25.已知二次函数y=以2+bx+c的图象过点(TO),且对任意实数了,都有

4x-12≤ax2+bx+c≤2X2-8X+6.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)若(1)中二次函数图象与％轴的正半轴交点为A,与y轴交点为C；点〃是(1)

中二次函数图象上的动点.问在％轴上是否存在点N,使得以A、GM、N为顶点的

四边形是平行四边形.若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明

理由.

5/33

2021年广东省中考数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的

1.下列实数中，最大的数是（）

A.万B.√2C.∣-2∣D.3

【答案】A

【解析】

【分析】直接根据实数大小比较法则比较数的大小即可.

【详解】解：*3.14,√2≈1.414,∣-2∣=2,

>/2<I-2∣<3<TT,

故选：A.

【点睛】本题考查了实数的大小比较，关键要熟记：正实数都大于0,负实数都小于0,

正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小.

2.据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生

产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学记数

法表示为（）

A.0.510858×IO9B.51.0858×IO7C.5.10858×IO4D.5.10858×IO8

【答案】D

【解析】

【分析】根据科学记数法的表示形式“10",其中l≤∣αK10,〃为整数，一定要将题目

中的“51085.8万”转化为数字510858000,即可将题目中的数据用科学记数法表示出

来.

详解】51085.8万=510858000=5.10858?IO®,

故选：D.

6/33

【点睛】本题主要考察科学计数法的表示形式，科学记数法的表示形式αxlθ",其中

∣≤∣αK10,〃为整数，此题容易将题目中的“万”遗漏，掌握科学记数法的表示形式是

解题关键.

3.同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（）

ʌ-⅛B-Ic∙ʒD-2

【答案】B

【解析】

【分析】利用列表法，可求得两枚骰子向上的点数之和所有可能的结果数及两枚骰子

向上的点数之和为7的结果数，根据概率计算公式即可求得所求的概率.

【详解】列表如下：

123456

1234567

2345678

3456789

45678910

5678910II

6789101112

由表知，两枚骰子向上的点数之和所有可能的结果数为36种，两枚骰子向上的点数之

和为7的结果数为6,故两枚骰子向上的点数之和为7的概率是：

3。O

故选：B.

【点睛】本题考查了用列表法或树状图求等可能事件的概率，用列表法或树状图可以

不重不漏地把事件所有可能的结果数及某一事件的结果数表示出来，具有直观的特点.

4.已知9"'=3,27"=4,则S?",=()

7/33

A.1B.6C.7D.12

【答案】D

【解析】

【分析】利用同底数塞乘法逆用转换求解即可.

【详解】解：：9"=3,27"=4,

...32m+3n=X=©21X03)"=夕"X27"=3×4=12,

二.故选：D.

【点睛】本题主要考查同底数幕乘法的逆用，熟练掌握其运算法则即表现形式是解题

关键.

5.若卜-刊+的后-12"+46=O,则曲=()

9

A.√3B.-C.4√3D.9

【答案】B

【解析】

【分析】根据一个实数的绝对值非负，一个非负实数的算术平方根非负，且其和为零,

则它们都为零，从而可求得服。的值，从而可求得外的值.

【详解】V∣a-√3∣≥0,，9层一12而+4从≥0,ɪ∣α-√3∣+√‰2-12α⅛+4⅛2ɪ0

Λ∣π-√3∣=0,yj9a2-∖2ab+4b2=-2bf=0

即a-6=0,且3a-2⅛=0

.,.a=√3,b=当

.∙.ab=6x空△

22

故选：B.

【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，一般地，几个非负数的和为零，

则这几个非负数都为零.

8/33

6.下列图形是正方体展开图的个数为（）

一∏~∏,∏~1,,,Γ∏~l

A.1个B.2个C.3个D.4个

>【答案】C

【解析】

【分析】根据正方体的展开图的特征，11种不同情况进行判断即可.

【详解】解：根据正方体的展开图的特征，只有第2个图不是正方体的展开图，故四

个图中有3个图是正方体的展开图.

故选：C.

【点睛】考查正方体的展开图的特征，“一线不过四，田凹应弃之''应用比较广泛简洁.

7.如图，AB是。。的直径,点C为圆上一点，AC=3,ZΛBC的平分线交AC于点0,CD=I,

则。。的直径为（）

A.√3B,2√3C.1D.2

【答案】B

【解析】

【分析】过。作DELAB垂足为E,先利用圆周角的性质和角平分线的性质得到

DE=DC=I,再说明放△OEB也放△OCB得到BE=BC,然后再利用勾股定理求得AE,

设BE=BC=X,AB=AE+BE=x+√3,最后根据勾股定理列式求出工,进而求得Aβ.

【详解】解：如图：过。作DELA8,垂足为E

•「AB是直径

9/33

.,.NAC3=90°

∖∙NABC的角平分线80

：,DE=DC=X

在RtLDEB和RtLDCB中

DE=DC、BD=BD

：.RtkDEBQRtADCB(HL)

JBE=BC

在R柩ADE中，A。=AC-QC=3-1=2

AE=√AD2-DE2=√22-l2=√3

BE=BC=x,AB=AE+BE=x+^3

在心ZkABC中，AB2=AC2+BC2

则(％+√5)2=32+/,解得产百

ΛAB=√3+√3=2√3

故填：2G.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、角平分线的性质以及勾股定理等知识点，灵活

应用相关知识成为解答本题的关键.

8.设6-加的整数部分为m小数部分为6则伽+如必的值是（）

A.6B.2√10C.12D.9√10

【答案】A

【解析】

10/33

【分析】首先根据质的整数部分可确定。的值，进而确定人的值，然后将。与6的值代

入计算即可得到所求代数式的值.

【详解】V3<√iθ<4,

2<6-√10<3,

•*.6-√Tθ的整数部分α=2,

，小数部分。=6-√i^-2=4-√Γδ,

.∙.(26z+√i0)⅛=(2×2+√i0)(4-√i0)=(4+√i0)(4-√i0)=16-10=6.

故选：A.

【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定6-如的整数部分。与小数部分〃的值

是解题关键.

9.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希

腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记P=生黄，

贝其面积S=J/(，一/)(。一与(P-C).这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.若。=5,c=4,

则此三角形面积的最大值为()

A.√5B.4C.2√5D.5

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可得。+b=6,S=J5(5-α)(5-勿=石.Ja,把。=6-Q代入S的表达式中

得：

S=A/-Y+6α-5,由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值.

【详解】∙.∙p=5,c=4,P="+：+C

.*.a+b=2p-c=6

：.S=λ∕5(5-a)(5-份(5-4)=√5.√0^-5

2

由α+h=6,得b=6-a,代入上式，得：S=y∕5.y∣a(6-a)-5=V5.V-a+6«-5

11/33

设y=-/+6a_5,当y=-∕+6α-5取得最大值时，S也取得最大值

二・y=-a2+6a-5=-(a-3)2+4

，当。二3时，丁取得最大值4

.∙.S的最大值为√5×√4=2√5

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出α+h=6,把面积最大值问题转

化为二次函数的最大值问题.

10.设。为坐标原点，点A、3为抛物线y=尤2上的两个动点，且OA_LOB.连接点4、B,

过O作。C_LAB于点C,则点C到y轴距离的最大值()

A.ɪB.也C.—D.1

222

【答案】A

【解析】

【分析】设A(a,d),B(b,b2),求出AB的解析式为y=(α-')x+l,进而得到OZ)=1,

a

由NoCB=90。可知，C点在以OQ的中点E为圆心，以尸=；。。=3为半径的圆上运动，

当C”为圆E半径时最大，由此即可求解.

【详解】解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为“，AB与％轴的交点为。，

设A(α,a2),BS，b2),其中α≠0,b≠0,

12/33

∖'OA±OB,

•k.k——1

•∙^OAAOB-19

•a∖b21

ab

即Ob=-I,

设AB的解析式为：y=(a--)x+m,代入A(α,a2),

a

解得：加=1,

.∙.OD=X,

VOCLAB,即NOCB=90,

.∙.C点在以OZ)的中点E为圆心，以r=；。。=；为半径的圆上运动，

当C”为圆E的半径时，此时C”的长度最大，

故CH的最大值为

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出A3与y轴

交点的纵坐标始终为1,结合NOa=90,由此确定点E的轨迹为圆进而求解.

二、填空题：本大题7小题

11.二元一次方程组一：的解为.

2x+y=2---

_..、_犬=2

【答案】ɔ

Iy=-2

【解析】

【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解.

x+2y=-2①

【详解】解:

2x+y=2②

由①式得：x=-2-2y,代入②式,

13/33

得：2(-2-2y)+y=2,

解得＞=-2,

再将V=-2代入①式，

X-2?2-2,

解得了=2,

x-1

ʌ(y=-2'

故填：［"=2

Iy=-2

【点睛】本题考查的是二元一次方程组的基本解法，本题属于基础题，比较简单.

12.把抛物线y=2/+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物

线的解析式为—.

【答案】y=2f+4x

【解析】

【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可.

【详解】解:抛物线y=2d+ι向左平移1个单位长度，

再向下平移3个单位长度，

得到的抛物线的解析式为：y=2(x+iy+J3,

即：y=Ix2+4x

故答案为：y=2f+4χ∙

【点睛】本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式”上加下减，左加

右减”是解题的关键.

13.如图，等腰直角三角形ABC中，ZA=90。,BC=4.分别以点3、点C为圆心，线段BC

长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点。、E、F,则图中阴影部分的面积为.

14/33

A

BEC

【答案】4-4

【解析】

【分析】根据等腰直角三角形的性质可求出AC的长，根据S阴影=SAABC-2S扇形CEF即可得

答案.

【详解】•••等腰直角三角形ABC中，ZA=900,3C=4,

：.AC=AB=丝BC=2血,NJB=NC=45。，

2

45»X2?

∙∙S阴影二S△ABC-25扇形CEF=-ACAB-2×=4-π,

2360

故答案为：4-4

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质及扇形面积，熟练掌握面积公式是解题关键.

14.若一元二次方程/+云+C=OQb,C为常数）的两根片T满足-3<x∣<3,则

符合条件的一个方程为.

【答案】X2-4=0（答案不唯一）

【解析】

【分析】设y=∕+⅛r+c与y=o交点为χ∣,w,根据题意-3<%<-1,1<%2<3关于）轴对称和

二次函数的对称性，可找到不々的值（不々只需满足互为相反数且满足IVXl<3即可）

即可写出一个符合条件的方程

【详解】设y=f+>χ+c与产。交点为不，々，

I艮据题意一3<%<一1,1<々<3

贝ljl<∣x∣<3

y=x2+bx+c的对称轴为X=O

15/33

故设x∣=-2,/=2

则方程为：X2-4=0

故答案为：X2-4=0

【点睛】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，熟悉二次

函数的性质和找到两根的对称性类比二次函数的对称性是解题的关键

11Q1

15.若x+—=u且0<χ<l,则x?—7=

X6x^

【答案】嗤

【解析】

【分析】根据X+L?利用完全平方公式可得(x-*=II,根据X的取值范围可得X」

X6X36X

的值，利用平方差公式即可得答案.

【详解】∙∙∙x+∖1芳13,

XO

∙*∙(X----)2=(ɪ+-)2-4x∙-=——,

XXX36

V0<Λ<1,

∙*∙XV—,

X

15

X-___二_______

X6

1

.∙.%2=—)

故答案为：嗤

【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键.

4

16.如图，在「ABC。中，AZ)=5,AB=12,SinA=-.过点。作OEJLΛB,垂足为区则

EH

16/33

9√10

【答案】行

【解析】

【分析】首先根据题目中的SinA,求出ED的长度，再用勾股定理求出AE即可求出

EB,利用平行四边形的性质，求出CD,在心Z∖DEC中，用勾股定理求出EC,再作

BFLCE,在ABEC中，利用等面积法求出RF的长，即可求出SinNBCE.

【详解】VDEYAB,

...△AQE为直角三角形,

一4

又β.∙AD=5,sinA=~,

..A4DEDE

..sinA=—==.

5AD5

解得DE=4,

在心ZVlQE中，由勾股定理得:

AE=y∣AD2-DE2=√52-42=3,

XVAB=12,

：.BE=AB-AE=12-3=9,

又•••四边形ABCO为平行四边形，

.∙.CD=AB=12,AD=BC=5

在mZkQEC中，由勾股定理得：

EC=yJCD2+DE2=√122+42=4√10,

过点3作BRLCE,垂足为E如图

在△骸C中：

5ΔEBC=^BgPE=4=18；

17/33

又VSMEBC=-^JEgβF=ɪ?4√10gβF=2√K)βF

.,.2√10BF=18,

解得BF=噜，

在RtABFC中,

BF9√10_.9√10

sin?BCF----=-------75

BCIO50

9√10

故填:

50

【点睛】本题考查解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理，三角形的等面积法

求一边上的高线，解题关键在于熟练掌握解直角三角形的计算，平行四边形的性质，

勾股定理的计算和等面积法求一边上的高.

17.在AABC中，ZABC=90t3,AB=2,BC=3.点Q为平面上一个动点，NAZM=45。，则线

段8长度的最小值为.

【答案】6-后

【解析】

【分析】由已知ZAZM=45。，AB=2,根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆

周角等于圆心角的一半可知，点。在以。为圆心OB为半径的圆上，线段CO长度的最小

值为Co-OD•

【详解】如图：以;AB为半径作圆，过圆心。作ONLAB,OM_LBC,

以。为圆心。B为半径作圆，则点。在圆。上，

NAr)B=45°

.∖ZAOB=90°

AB=2

AN=BN=I

.*.AO=Λ∕12+12=V2

18/33

ON=OM=LAB=I、BC=3

2

.∙.OC=√12+(3-1)2=√5

.∙.CO-OD=√5-√2

线段Co长度的最小值为：石-亚.

故答案为：√5-√2.

【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股

定理，正确的作出图形是解题的关键.

三、解答题(一)：本大题共3小题

2%-4≥3(x-2)

18.解不等式组,χ-7.

4Λ>------

I2

【答案】-l<x≤2.

【解析】

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可.

，2x-4≥3(x-2)①

【详解】解：，x—7®

4x>---②

I2

由①得：％<2；

由②得：％>T,

则不等式组的解集为-1VxW2.

19/33

【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

19.某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛.用简单随机抽样的方法，从该年级

（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数.

【答案】（1）众数：90,中位数：90,平均数：90.5；（2）450人

【解析】

【分析】（1）根据条形统计图，计算众数、中位数和平均数；

（2）利用样本估计总体思想求解可得.

【详解】解：（1）由列表中90分对应的人数最多，因此这组数据的众数应该是90,

由于人数总和是20人为偶数，将数据从小到大排列后，第10个和第11个数据都是90

分，因此这组数据的中位数应该是90,

众数：90,中位数：90,

80×2+85×3+90×8+95×5+100×2

平均数==90.5.

20

答：这20名学生成绩的众数90,中位数90,和平均数90.5；

（2）20名中有8+5+2=15人为优秀，

二•优秀等级占比：=

该年级优秀等级学生人数为：6θ0×∣=450（人）

答：该年级优秀等级学生人数450人.

20/33

【点睛】本题考查中位数、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解题的关键

是明确题意，利用数形结合的思想解答问题.

20.如图，在M二ABC中，ZA=90。，作BC的垂直平分线交AC于点。，延长AC至点E,

使CE=AB.

(1)若AE=I,求AABQ的周长；

(2)若Ao=求tanZA6C的值.

【答案】(1)1;(2)√2

【解析】

【分析】(1)作出BC的垂直平分线，连接B0,由垂直平分线上的点到线段的两个端点

的距离相等得到DB=DC,由此即可求出△48D的周长；

(2)设Ap=%,BD=3x,进而求出AC=AD+CD=4x,在Rt△ABD中使用勾股定理求得

AB=2√2x,由此即可求出tanZABC的值.

【详解】解：(D如图，连接30,设BC垂直平分线交BC于点尸，

CARDDri—AB+AD+BD

=AB+AD+DC=AB+AC

∙/AB=CE9

21/33

.*.CABD=AC+CE=AE=1.

(2)设AD=x,：.BD=3x,

又,：BD=CD,：.AC=AD+CD=4x,

1222

Rt∆A8。中，AB=4BD-AD=λ∕(3x)-x=2y∣2x.

：.tanZABC=-=-‰=y∕2

AB2√2x

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角函数的定义及勾股定理等知识，熟

练掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等是解决本题的关键.

四、解答题(二)：本大题共3小题

21.在平面直角坐标系My中，一次函数尸履+力(％>0)的图象与入轴、y轴分别交于A、

B两点，且与反比例函数y=3图象的一个交点为P(Lm).

(1)求根的值；

(2)若∕¾=2AB,求人的值.

【答案】(1)4；(2)2=2或4=6

【解析】

【分析】(1)将尸点的坐标代入反比例函数解析式y=d,计算即可求得加；

X

(2)分两种情况讨论，当一次函数过一、二、三象限时，画出图像，将尸A=2AB转化

为两个三角形相似，过过P作P"∙Lx轴交％轴于点"，证明VABO:VAP”，即可求出女

和力的值；当一次函数过一、三、四象限时，画出图像，将PA=2AB转化为两个三角形

相似，过点P作PQLV轴于点。，证明VBAO:VBPQ即可求出女和人的值.

【详解】解：(1)•••尸为反比例函数》,上一点,

X

4

，代入得m=1=4,

.∖m=4.

22/33

(2)令y=o,§Pkx+h=O,

.b.(bΛ

..x=--,Al一7，°，

kVkJ

令X=O,y=b,Λβ(0,⅛),

,∙,PA=2AB.

由图象得，可分为以下两种情况,

①3在y轴正半轴时，b>Q,

'：PA=2AB,

过P作/>HJ_x轴交％轴于点“，又B0LA,H,NPAo/耳Ao,

.∙.4OgSA1HP,

A1B1AiOBiO

~∖P~~∖H~~PH~2

AB=4。」

：.B.O=-PH=4×-=2,

22B1POHT

即AA=4尸，4。=OH,

:•Z?=2,

/.Ao=OH=1,

②8在y轴负半轴时,⅛<o,过产作PQJ∙y轴,

∙.∙PQ±B2Q,A2O±B2Q,ZA2B2O=ZA2B2Q,

23/33

.∙.A2OB2^PQB2,

.A2B2A1OB2O

B2O=^B2Q=^OQ=∖b∖=2,

Vb<0,

S八代入MJ

：.k=6,

综上，A=2或左=6.

【点睛】本题考查了反比例函数，一次函数的图像与性质和相似三角形，添加辅助线

构造相似三角形，将题目中线段的倍数关系转化为相似三角形的相似比是解题关键.

22.端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传

统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进

的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价

50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒.

（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；

（2）设猪肉粽每盒售价％元（50≤x≤65）,y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位:元）,

求了关于%的函数解析式并求最大利润.

【答案】（1）猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；（2）

>∙=-2x2+280X-8000（50≤x≤65）,最大利润为1750元

【解析】

【分析】（1）设猪肉粽每盒进价。元，则豆沙粽每盒进价（αT0）元，根据某商家用8000

元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列方程计算即可；

24/33

(2)根据题意当x=5()时,每天可售IOO盒,猪肉粽每盒售工元时,每天可售[100-2(x-50)]

盒，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质计算最大值即可.

【详解】解：(1)设猪肉粽每盒进价。元，则豆沙粽每盒进价元.

解得：«=40,经检验α=40是方程的解.

•••猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元.

答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元.

(2)由题意得，当x=50时，每天可售100盒.

当猪肉粽每盒售工元时，每天可售[100-2(x70)]盒.每盒的利润为(x-40)

.∙.y=(x_40).[lOO_2(x_50)],

=-2X2+280Λ-8000

配方得：y=-2(x-70)2+1800

当x=65时，y取最大值为1750元.

.∙.ʃ=-2X2+280x-8000(50≤x≤65),最大利润为1750元.

答：y关于％的函数解析式为y=—2f+280x-8000(50≤x≤65),且最大利润为1750元.

【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出

相应的函数解析式是解决本题的关键.

23.如图，边长为1的正方形ABC。中，点E为AO的中点.连接把，将A4BE沿跳折

叠得至UE5E,5E交AC于点G,求CG的长.

25/33

【答案】CG=∣√2

【解析】

【分析】根据题意，延长所交8于H连EH,通过证明&..E。H会RJEF”(乩)、

33

DHEs..AEB得到CH="再由.HGCs：3GA得至IJCG=-(AC-CG),进而即可求得CG的

长.

【详解】解：延长6尸交8于“连E”，

D__H__________C

Ir∠ι

：EBE由∆ABE沿BE折叠得到，

二.EA=EF,ZEFB=ZEAB=90°,

YE为AD中点，正方形ABCz)边长为1,

.*.EA=ED=L

2

.∙.ED=EF=-,

2

∙.∙四边形ABCr)是正方形，

.∙.ZD=NEFB=NEFH=90°,

在RtAEDH和RtEFH中，

ED=EF

EH=EH'

/.RtEDH"RtEFH(HL),

.∙.ZDEH=NFEH,

XVZAEB=ZFEB,

：.NDEH+ZAEB=90°,

26/33

.,ZABE+ZAEB=90o,

.*.ZABE=/DEH,

：.DHEs.AEB,

.DHAE∖

''~DE~~AB~2,

：.DH=；,

4

13

.*.CH=CD—DH=I——=-,

44

,.φCH//AB,

：.HGCSBGA,

.CGCH3

,,AG-AS-4,

33

.∙.CG=-AG=-(AC-CG),

VAB=I,CB=I,NCBA=90。，

.∙.AC=√2,

/.CG=-(√2-CG),

ΛCG=-√2.

7

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质以及正

方形的性质，熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键.

五、解答题(三)：本大题共2小题

24.如图，在四边形ABCD中，ABHCD,AB≠CD,ZABC=90。，点石、尸分别在线段BC、

AD上，ɪEFHCD,AB=AF,CD=DF.

27/33

I)

(1)求证：ChFB；

(2)求证：以A。为直径的圆与BC相切；

(3)若EF=2,ZDFE=UQo,求ADE的面积.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)∣√3

【解析】

【分析】⑴设ΛDCF=ZDFC=a,进而求得ZABF=ZAFB=90°-a,再由

NCFB=180o-NCFD-NBFA=90。即可求得C/_LFB；

(2)取AD中点0,过点。作OMLBC,由梯形中位线定理得到OM=*A6+C0,利用

AFAB,。尸=OC得至IJAD=2Q4,进而QA=OM=OD,由此即可证明；

(3)过点。，点4分别向班'作垂线交"于点M,N,得至∣JSA"=SM0+S.,分别求出

EF2r-

BE=F=N，CE=EEE=2百再代入求解即可.

【详解】解：(I)VCD=DF,设"CE=ZZ)尸C=α,

/.NFDC=I80°—2c,

'：CD/∕∖B,

：.NBAF=I80-(180-2a)=2a,

又；AB=AF,

.∙.ZABF=ZAFB=财产=9"a,

/.ZCFB=180o-ZCFD-ZBFA=180o-^-(90o-a)=90°,

28/33

.*.CFtBF.

过点。作0MJ∙8C,

•；CD〃AB,ZBCD=90o,

.*.ZDCB=90o,

又∖∙OMlBC,

：.OM^AB,

.∙.M为BC中点,

/.OM=^AB+CD),

,.,AD^AF+DF,

又∙.∙AF=AB,DF=DC,

.*.AD=AB+CD=2OM,

又,：AD^2OA,

：.OA=OM=OD,

•••以AD为直径的圆与BC相切.

(3)VZDF£=120o,CD〃EF〃AB,

：.ZCDA=60o,ZBAD=120o,ZAFE=60o,

又,：DC=DF

_DCF为等边三角形，NDFC=NFCD=60°,

•：CD〃EF,

29/33

.*.NCFE=NFCD=60。,

由(2)得：NCFS=90。，

.∙.NEFB=30。,

：.ZBFA=ZFBA=30°,

VEF=2,在用ABFE中，三边之比为1:石:2,

3冷河

在用CE/中，三边之比为1:百:2,

/.CE=√3EF=2√3,

如图，过点。，点A分别向麻作垂线交必于点M,N,

'：?CEM?EMD?ECD90,

.∙.四边形CDWE为矩形,

.∙.CE=DM=26,

同理，四边形BENA矩形，

.,.BE=AN=,

SADE=S£FD+S.=gEF∙DM+；•EF∙AN

=g∙EF∙(DN+AN)

=1×2×^2√3+∣√3^∣

30/33

【点睛】本题考查了等