抽象函数(教师)(难)

课题抽象函数教学目标教学内容：y=f(x)(x∈R，x≠0)对任意的非零实数，，恒有f()=f()+f(),试判断f(x)的奇偶性。解：令=-1，=x，得f(-x)=f(-1)+f(x)……①为了求f(-1)的值，令=1，=-1，那么f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令==-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)∴f(-1)=0代入①式得f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。2定义在[-2，2]上的偶函数，f(x)在区间[0，2]上单调递减，假设f(1-m)<f(m),求实数m取值范围分析：根据函数的定义域，-m，m∈[-2,2]，但是1-m和m分别在[-2，0]和[0，2]的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，那么f(x)有性质f〔-x)=f(x)=f(|x|)，就可防止一场大规模讨论。解：∵f(x)是偶函数，f(1-m)<f(m)可得，∴f(x)在[0，2]上是单调递减的，于是，即化简得-1≤m<。3.设f(x)是R上的奇函数，且f(x+3)=-f(x)，求f(1998)的值。解：因为f(x+3)=-f(x)，所以f(x+6)=f((x+3)+3)=-f(x+3)=f(x)，故6是函数f(x)的一个周期。又f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，所以f(x)=0从而f(1998)=f(6×333)=f(0)=0。对任意,都有,，，求,的值.解：由f〔=f〔，知f〔x〕=f〔≥0，x，f〔1〕=2，同理可得5f〔x〕是定义在R上的函数，且满足：f〔x+2〕[1－f〔x〕]=1+f〔x〕，f〔1〕=1997，求f〔2001〕的值。解：从自变量值2001和1进行比拟及根据条件来看，易联想到函数f〔x〕是周期函数。由条件得f〔x〕≠1，故f〔x+2〕=f〔x+4〕=.所以f〔x+8〕=.所以f〔x〕是以8为周期的周期函数，从而f〔2001〕=f〔1〕=1997说明：这类问题出现应紧扣条件，需用数值或变量来迭代变换，经过有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。6.设f〔x〕是定义R在上的函数，对任意x，y∈R，有f〔x+y〕+f〔x-y〕=2f〔x〕f〔y〕且f〔0〕≠0.〔1〕求证f〔0〕=1；〔2〕求证：y=f〔x〕为偶函数.证明：〔1〕问题为求函数值，只需令x=y=0即可得。〔2〕问题中令x=0即得f〔y〕+f〔-y〕=2f〔0〕f〔y〕，且f〔0〕=1.所以f〔y〕+f〔-y〕=2f〔y〕，因此y=f〔x〕为偶函数.7.定义在R上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为〔2，6〕，试判断〔4，8〕是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？解：由y=f(x)是偶函数且在〔2，6〕上递增可知，y=f(x)在〔－6，－2〕上递减。令u=2-x，那么当x∈(4,8)时，u是减函数且u∈(-6,-2)，而f(u)在〔－6，－2〕上递减，故y=f(2-x)在〔4，8〕上递增。所以〔4，8〕是y=f(2-x)的单调递增区间。8.设f〔x〕是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当a+b≠0，都有＞0〔1〕假设a＞b，试比拟f〔a〕与f〔b〕的大小；〔2〕假设f〔k＜0对x∈[－1，1]恒成立，求实数k的取值范围。解：〔1〕.因为a＞b，所以a-b＞0，由题意得＞0，所以f〔a〕+f〔－b〕＞0，又f〔x〕是定义在R上的奇函数，所以f〔－b〕=－f〔b〕，f〔a〕－f〔b〕＞0，即f〔a〕＞f〔b〕〔2〕.由〔1〕知f〔x〕在R上是单调递增函数，又f＋f＜0，得f＜f，故＜，所以k＜令t＝,所以k＜t+，而t+≥2，即k＜2－1是定义在〔-∞，3]上的减函数，对恒成立，求实数的取值范围。解：等价于10．函数当时，恒有.〔1〕求证:是奇函数;〔2〕假设.(1〕证明：令，得令，那么∴∴是奇函数。〔2〕∵又∵11．是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足:.〔1〕求的值;〔2〕判断的奇偶性，并证明你的结论;〔3〕假设,，求数列{}的前项和.〔1〕解：令，那么令，那么〔2〕证明：令，那么，∵，∴令，那么∴是奇函数。〔3〕当时，，令，那么故，所以∴∵∴，故∴12．定义域为R的函数满足.〔1〕假设〔2〕设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式.解：(1)∵对任意，函数满足，且∴∵，∴=f(a)=a(2)∵对任意，函数满足,有且仅有一个实数,使得∴对任意，有上式中，令，那么∵，故假设，那么，那么，但方程有两个不相同的实根与题设茅盾，故假设，那么，那么，此时方程有两个相等的实根，即有且仅有一个实数,使得∴13．函数的定义域为R，对任意实数都有，且，当时,>0.〔1〕求;〔2〕求和;〔3〕判断函数的单调性，并证明.(1〕解：令，那么〔2〕∵∴∴数列是以为首项,1为公差的等差数列,故==(3)任取,那么=∴∴函数是R上的单调增函数.14．函数的定义域为R，并满足以下条件：①对任意,有>0；②对任意,有；③.〔1〕求的值;〔2〕求证:在R上是单调减函数;〔3〕假设且，求证：.(1)解:∵对任意,有>0,∴令得,(2)任取任取,那么令,故∵函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有>0;②对任意,有;③∴∴∴函数是R上的单调减函数.(3)由〔1〕〔2〕知，，∴∵∴，而∴∴15．函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,.〔1〕证明:;〔2〕证明:在R上单调递减;〔3〕设A=,B={},假设=,试确定的取值范围.(1)证明:令,那么∵当时,,故,∴,∵当时,∴当时,,那么(2)证明:任取,那么∵,∴0<,故<0,又∵∴,故∴函数是R上的单调减函数.(3)∵由〔2〕知，是R上的减函数，∴∵B={}=又∵，∴方程组无解，即直线的内部无公共点∴，故的取值范围是-16．函数是定义在R上的增函数,设F.〔1〕用函数单调性的定义证明:是R上的增函数;〔2〕证明:函数=的图象关于点(成中心对称图形..(1)任取,那么F=[∵,∴∴又∵函数是定义在R上的增函数,∴,故∴>0∴是R上的增函数;(2)设为函数=的图象上任一点,那么点关于点(的对称点为N(),那么,故∵把代入F得,=-∴函数=的图象关于点(成中心对称图形.17．函数对于x>0有意义，且满足条件减函数。〔1〕证明：；〔2〕假设成立，求x的取值范围。(1)证明：令，那么，故〔2〕∵，令，那么，∴∴成立的x的取值范围是。18．设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．〔1〕试判断函数的奇偶性； 〔2〕试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．解:〔1〕由f(2-x)=f(2+x),f(