高中数学北师大版选修2-2测评第一章1归纳与类比

第一章DIYIZHANG推理与证明§1归纳与类比课后篇巩固提升A组1.下列图形都是由同样大小的正方形按一定的规律组成,其中第1个图形由1个小正方形组成,第2个图形由3个小正方形组成,第3个图形由7个小正方形组成,第4个图形由13个小正方形组成,……,那么第8个图形中小正方形的个数是()A.72 B.73 C.57 D.58解析因为第1个图形中的小正方形个数为1;第2个图形中的小正方形个数为1+2=3;第3个图形中的小正方形个数为1+2+4=7;第4个图形中的小正方形个数为1+2+4+6=13;所以第8个图形中的小正方形个数为1+2+4+6+8+10+12+14=57.故选C.答案C2.下列几种推理中是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质.②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和均为180°,归纳出所有三角形的内角和均为180°.③教室内有一把椅子坏了,猜想该教室内所有的椅子都坏了.④由a1=1,a2=3,a3=5,a4=7,归纳出数列{an}的通项公式为an=2n1.A.①② B.①③④ C.①②④ D.②④解析①是类比推理,②④是归纳推理,故①②④都是合情推理.答案C3.下面使用类比推理恰当的是()A.“若a·3=b·3,则a=b”类比推出“若a·0=b·0,则a=b”B.“(a+b)c=ac+bc”类比推出“(a·b)c=ac·bc”C.“(a+b)c=ac+bc”类比推出“a+bc=aD.“(ab)n=anbn”类比推出“(a+b)n=an+bn”答案C4.已知数对如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,则第60个数对是()A.(3,8) B.(4,7) C.(4,8) D.(5,7)解析由前面的几个数对不难发现,数对中两数之和为2的有1个,为3的有2个,为4的有3个,…,为11的有10个,则根据数对规律可推出第56个数对为(1,11),往下的数对依次为(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),(6,6),….故选D.答案D5.在平面直角坐标系中,点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=|Ax0+By0+C|A2+B2,类比可得在空间直角坐标系中,A.4 B.5 C.163 D.解析类比可得,点(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d=|A故点(2,3,4)到平面x+2y+2z4=0的距离d=|2+2×3+2×4-答案A6.若数列{an}是等差数列,则数列bn=an+1+an+2+…+an+mm(m∈N*)也为等差数列,类比上述性质,相应地,若正项数列答案m7.观察下列等式:sin30°+sin照此规律,对于一般的角α,β,有等式.

解析根据等式的特点,发现tan30°+90°2=3,tan15°+75°2=1,tan20°答案sinα+sinβ8.阅读以下求1+2+3+…+n(n∈N+)的过程:因为(n+1)2n2=2n+1,n2(n1)2=2(n1)+1,…,2212=2×1+1,以上各式相加得(n+1)212=2(1+2+…+n)+n,所以1+2+3+…+n=n2类比上述过程,可得12+22+32+…+n2=(n∈N+).

解析因为(n+1)3n3=3n2+3n+1,n3(n1)3=3(n1)2+3(n1)+1,…,2313=3×12+3×1+1,以上各式相加得(n+1)313=3(12+22+…+n2)+3(1+2+…+n)+n,所以12+22+32+…+n2=n(答案n9.已知数列{an}满足a1=1,anan+1=nn(1)求a2,a3,a4,a5,并猜想通项公式an;(2)根据(1)中的猜想,有下面的数阵:S1=a1S2=a2+a3S3=a4+a5+a6S4=a7+a8+a9+a10S5=a11+a12+a13+a14+a15试求S1,S1+S3,S1+S3+S5,并猜想S1+S3+S5+…+S2n1的值.解(1)因为a1=1,由anan+1=nn+1,知an+1=n+1nan,故a2=2,a3=3,a4=4,a5=5,可归纳猜想出(2)根据(1)中的猜想,数阵为:S1=1S2=2+3=5S3=4+5+6=15S4=7+8+9+10=34S5=11+12+13+14+15=65故S1=1=14S1+S3=1+15=16=24S1+S3+S5=1+15+65=81=34可猜想S1+S3+S5+…+S2n1=n4.10.在Rt△ABC中,∠C=90°,当n>2时,有cn>an+bn成立,请你类比直角三角形的这个性质,猜想一下空间四面体的性质.解如图,与Rt△ABC对应的是四面体PDEF;与Rt△ABC的两条边交成一个直角相对应的是四面体PDEF的三个面在一个顶点D处构成3个直二面角;与Rt△ABC直角边a,b相对应的是四面体PDEF的平面△DEF,△FPD,△DPE的面积S1,S2,S3;与Rt△ABC的斜边c相对应的是四面体PDEF的平面△PEF的面积S.由此猜想:当n>2时,Sn>S1B组1.已知点P(10,3)在椭圆C:x2a2+y299=1上.若点N(x0,y0)在圆M:x2+y2=r2上,则圆M过点N的切线方程为x0x+y0y=r2.由此类比得椭圆A.x33+y11=1 BC.x11+y33=1 D解析因为点P(10,3)在椭圆C:x2a2+故可得100a2+999=1,解得由类比可得椭圆C在点P处的切线方程为10x110+3y99=1,整理可得x答案C2.如图,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}{n∈N+}的前12项(即横坐标为奇数项,纵坐标为偶数项),按如此规律下去,则a2013+a2014+a2015=()A.1006 B.1007 C.1008 D.2015解析观察点的坐标可知,偶数项的值等于其项数的一半,则a4n3=n,a4n1=n,a2n=n,∵2013=4×5043,2015=4×5041,∴a2013=504,a2015=504,a2014=1007.∴a2013+a2014+a2015=1007.答案B3.记等差数列{an}的前n项和为Sn,利用倒序求和法,可将Sn表示成首项a1,末项an与项数n的一个关系式,即Sn=n(a1+an)2;类似地,记等比数列{bn}的前n项积为Tn,且bn>0(n∈N+),试类比等差数列求和的方法,可将Tn表示成首项b,末项bn与项数n的一个关系式A.n(b1C.nb1bn D.(b解析利用等比数列的性质,若m+n=p+q,则bm·bn=bp·bq,利用倒序求积法可得Tn=b1·b2·…·bn,Tn=bn·bn-答案D4.观察下列式子:1+122<32,1+122+132<53,1+12解析由已知的式子:1+122<32,1+122+132<5故可得1+122+13答案40415.在长方形ABCD中,对角线AC与两邻边所成的角分别为α,β,则cos2α+cos2β=1,请在立体几何中,给出类比猜想.分析由平面几何中的长方形可联想到立体几何中的长方体,如图.解在长方形ABCD中,cos2α+cos2β=ac2+于是类比到长方体中,猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=1.证明如下:cos2α+cos2β+cos2γ=ml2+6.一种十字绣作品由相同的小正方形构成,图①②③④分别是制作该作品前四步所对应的图案,按照如此规律,第n步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f(n).(1)求出f(2),f(3),f(4),f(5)的值;(2)利用归纳推理,归纳出f(n+1)与f(n)的关系式;(3)猜想f(n)的表达式,并写出推导过程.解(1)图①中只有一个小正方形,得f(1)=1;图②中有3层,以第2层为对称轴,有1+3+1=5(个)小正方形,得f(2)=5;图③中有5层,以第3层为对称轴,有1+3+5+3+1=13(个)小正方形,得f(3)=13;图④中有7层,以第4层为对称轴,有1+3+5+7+5+3+1=25(个)小正方形,得f(4)=25;第五步所对应的图案中有9层,以第5层为对称轴,有1+3+5+7+9+7+5+3+1=41(个)小正方形,得f(5)=41.(2)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,f(5)=41,∴f(2)f(1)=4=4×1,f(3)f(2)=8=4×2,f(4)f(3)=12=4×3,f(5)f(4)=16=4×4,∴f(n+1)f(n)=4n.∴f(n+1)与f(n