高中数学课程标准与教材研究

高中数学课程标准与教材研究西华师大数学与信息学院一、高中数学课程的性质、地位和作用高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，包含了数学中最根本的内容，是培养公民素质的根底课程。

高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，开展智力和创新意识具有根底性的作用。

高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。

高中数学课程是学习高中物理、化学、技术等课程和进一步学习的根底。同时，它为学生的终身开展，形成科学的世界观、价值观奠定根底，对提高全民族素质具有重要意义。二、课程的十大理念

1．构建共同根底，提供开展平台2．提供多样课程，适应个性选择3．倡导积极主动、勇于探索的学习方式4．注重提高学生的数学思维能力6．与时俱进地认识“双基”7．强调本质，注意适度形式化8．表达数学的文化价值10．建立合理、科学的评价体系三、课程目标总目标：使学生在九年义务教育数学课程的根底上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人开展与社会进步的需要。具体目标：1.获得“双基”。2.提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等根本能力。3.提高数学的提出、分析和解决问题〔包括简单的实际问题〕的能力，数学表达和交流的能力，开展独立获取数学知识的能力。4.开展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。5.提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。6.具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。四：教材的整体情况㈠、教材编写的几个根本观点㈡、教材总体结构㈢、主編寄語㈣、教材编写指导思想㈤、教材改革重点㈥、教材实验的根本成绩和问题㈦、初高中衔接问题㈧、整体把握新课程结构与主线㈨、准确把握教学要求㈩、配套资源简介㈠、教材编写的几个根本观点1．坚持我国数学教育的优良传统课程教材体系结构严谨，逻辑性强，语言表达条理清晰，文字简洁、流畅，有利于教师组织教学，注重对学生进行根底训练等；教学强调概念理解和根本技能训练，强调为学生铺设合理的认知台阶，强调变式训练等；学生学习刻苦，根底扎实，运算能力和逻辑推理能力强等。2.针对问题进行改革数学教学“不自然”，强加于人，对学生数学学习兴趣与内部动机都有不利影响；缺乏问题意识，对学生的创新精神和实践能力培养不利；重结果轻过程，“掐头去尾烧中段”，关注知识背景和应用不够，导致学习过程不完整；重解题技能、技巧，轻普适性思考方法的概括，方法论层次的内容渗透不够，机械模仿多独立思考少，数学思维层次不高；讲逻辑而不讲思想，关注数学思想、理性精神不够，对学生整体数学素养的提高不利。3．走中庸之道，不走极端而到达光辉顶点学生主体与教师主导接受学习与发现学习根底与创新数学知识、能力与情感态度数学化与情境化独立思考与合作交流过程与结果面向全体与因材施教书本知识与数学应用……㈡、教材总体结构必修课程5个模块，各36课时数学1：集合与函数概念、根本初等函数I〔指数函数、对数函数、幂函数〕、函数的应用；数学2：立体几何初步〔空间几何体、点直线平面之间的位置关系〕、平面解析几何初步〔直线与方程、圆与方程〕；数学3：算法初步、统计、概率；数学4：根本初等函数II〔三角函数〕、平面向量、三角恒等变换；数学5：解三角形、数列、不等式。4个选修系列系列1：文科必选选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用；选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。系列2：理科必选选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何；选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入；选修2-3：计数原理、统计案例、概率。系列3：1.数学史选讲；2.信息平安与密码；3.球面上的几何；4.对称与群；5.欧拉公式与闭曲面分类；6.三等分角与数域扩充。注：要求修得学分，不作为高考科目；第2、5、6三个专题不再列入备选专题。系列4：1.几何证明选讲；2.矩阵与变换；3.数列与差分；4.坐标系与参数方程；5.不等式选讲；6.初等数论初步；7.优选法与试验设计初步；8.统筹法与图论初步；9.风险与决策；10.开关电路与布尔代数。注：作为高考科目；第3、8、10三个专题不再列入备选专题，只作为课外读物出版。高中数学新课程框架㈢、主編寄語数学是自然的；数学是清楚的。数学是有用的；学数学对于提高个体能力是至关重要的。学数学要摸索自己的学习方法；学数学趁年轻。数学教学要讲背景，讲数学，讲应用；讲历史，讲思想，讲文化。

数学教学要自然、生动、活泼，不强加于人；要激发学生的兴趣和美感，引发学生的学习激情；要引导学生提问，使学生“看过问题三百个，不会解题也会问”；要强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用。㈣、教材编写指导思想1.讲背景，讲思想，讲应用2.强调问题性、启发性，引导教学方式变革3.强调根底性4.突出数学思考方法的引导5.适当使用信息技术1.讲背景，讲思想，讲应用知识的引入强调背景，使教材生动活泼、自然而亲切，让学生感到知识的开展水到渠成而不是强加于人。螺旋上升地安排核心数学概念和重要数学思想；把握数学本质，保证科学性；强调数学形式下的思考和推理训练。通过解决具有真实背景的问题，引导学生体会数学的作用与力量，开展应用意识。〔1〕从典型实例出发引出函数概念目的：加强背景，表达“函数模型”思想；加强概念形成过程；在学生头脑中形成丰富的函数例证。抽象概念的学习要从具体例证开始理解抽象概念需要具体例证的支持案例一：函数概念的处理函数概念背景实例归纳、概括获得定义细节：实例的选择形成正确的函数概念目的：加强背景，表达“函数模型思想”；加强概念形成过程；在学生头脑中形成丰富的函数例证。〔2〕实例的选择解析式、图象、表格目的——形成正确的函数概念：函数是刻画变量间依赖关系的法那么；不一定都有解析式，即y=f(x)可以是解析式，也可以是图，还可以是表格；强调函数的三要素——集合对应语言。例题呈现方式的改变——为理解概念效劳某种笔记本的单价是每个5元，买x〔x=1，2，3，4，5〕个笔记本需要y元。试用三种表示法表示函数y=f〔x〕。(大纲教材〕某种笔记本的单价是每个5元，买x〔x=1，2，3，4，5〕个笔记本需要y元。试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图象。〔3〕函数性质的讨论

——加强研究方法的引导变化之中保持的“不变性”就是性质；变化过程中出现的规律性就是性质。现实世界中的某些变化会随着时间的推移而有增有减、有快有慢，有时到达最大值有时处于最小值……这些现象反映到数学中，就是函数值随自变量的增加而增加还是减少、什么时候函数值最大、什么时候函数值最小……这就是我们要研究的函数性质——“单调性”“最大值”“最小值”……。高中阶段接触的函数性质：函数的增与减〔单调性〕——重点函数的最大值、最小值函数的增长率、衰减率函数增长〔减少〕的快与慢函数的零点函数〔图象〕的对称性〔奇偶性〕函数值的循环往复〔周期性〕〔4〕函数性质的讨论——加强几何直观、数形结合“三步曲”观察图象，描述变化规律〔上升、下降〕结合图、表，用自然语言描述变化规律〔y随x的增大而增大或减小〕用数学符号语言描述变化规律学生活动分析教材〔必修一：函数的概念〕中心发言参考2.强调问题性、启发性，引导教学方式变革遵循认知规律，以问题引导学习，表达数学知识、学生认知的过程性，促使学生主动探究，培养学生的创新意识和应用意识，引导教、学方式的改进。案例二：必3统计一章中的问题章导言中的问题“观察”“思考”“探究”中的问题实习作业中的问题小结中的问题3.强调根底性坚持“双基”不动摇，为学生终身开展打好数学根底——对新增内容的定位：教师易上手，学生好接受。——对传统内容的定位：在继承传统教材优点的根底上，“削枝强干”，加强教材的根底性和可接受性。案例三：“三角函数”的处理突出三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质内容以“实际问题——定义——诱导公式、图象与性质——实际应用”为开展线索减少函数类型〔根本且重要的三类〕三角变换的目标定位在培养学生的推理和运算能力〔突出根本变换公式的推导过程〕4.突出数学思考方法的引导

推广

类比当前内容类比

特殊化案例四：向量中的类比向量及其运算与数及其运算的类比向量的线性运算及运算律与数的加减及其运算律的类比；向量的坐标表示与数轴上点表示数的类比；向量数量积的运算律与数的乘法运算律(?应与物理中的力或功)的类比等。

5.适当使用信息技术贯彻“必要性”、“平衡性”、“广泛性”、“实践性”、“实效性”等原那么，根据学习内容需要选择恰当的信息技术工具，充分使用科学型计算器；对有条件的地区，大力提倡各种数学软件的使用。㈤、教材改革重点1．亲和力以自然、亲切、生动活泼的呈现方式，激发学生的兴趣和美感，引发学习激情。在表达知识归纳概括过程中的数学思想、解决各种问题中数学的力量、数学探究和论证方法的优美和精彩之处、数学的科学和文化价值等地方，将作者的感受用“旁批”等方式呈现，与学生交流，以增加亲和力。〔如向量没有运算就是一个路标。〕2．问题性以恰时恰点的问题引导数学活动，培养问题意识，孕育创新精神。通过“观察”“思考”“探究”等栏目，提出恰当的、对学生数学思维有适度启发的问题，引导学生思考和探索，经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维的根本过程，切实改进学生的学习方式。提问题的境界度君子之教喻也：道而弗牵；强而弗抑；开而弗达。道而弗牵那么和，强而弗抑那么易，开而弗达那么思。和、易、以思，可谓善喻矣。优秀教师的教学，善于诱导。他对学生引导但不牵着走；严格要求但不过分施压；开导但不和盘托出。导而弗牵就使教与学的关系和谐；强而弗抑就使学生对学习感到快易而不产生畏难情绪；开而弗达就可培养学生独立思考而自求答案。使学生做到了不畏难，感到快、易而又能独立思考，就可以说是善于诱导了。案例五：三角函数诱导公式的推导你能利用圆的几何性质推导出三角函数的诱导公式吗？〔问题过分笼统〕α的终边、α+180°的终边与单位圆交点有什么关系？你能由此得出sinα与sin〔α+180°〕之间的关系吗？〔问题的思维含量太低〕我们可以通过查表求锐角三角函数值，那么，如何求任意角的三角函数值呢？能否将任意角的三角函数转化为锐角三角函数？〔问题没有提在点子上〕问题情境三角函数与〔单位〕圆有紧密联系，它的根本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的根本关系说明了圆中的某些线段之间的关系。圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径为对称轴的轴对称图形。你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论一下终边与角α的终边关于原点、x轴、y轴以及直线y=x对称的角与角α的关系以及它们的三角函数之间的关系？3．思想性加强过程与联系，以数学概念的开展过程、逻辑关系组织教科书的内容，保持思想方法的前后一致性；以核心概念和根本思想〔数及其运算、函数、空间观念、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等〕为贯穿整套教科书的“灵魂”，提高教科书的“思想性”。没有“过程”=没有“思想”案例六：向量法为核心的思想目标：理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学、物理中的一些问题。定位：沟通代数、几何与三角函数的一种工具——“工具性”。向量方法的内核利用向量表示根本几何元素，将平面几何根本性质和根本定理的运用转化成为向量运算律的系统运用：点——〔以确定点为始点的〕向量。直线——一个点A、一个方向a定性刻画；引进数乘向量ka，可以实际控制直线。平面——一个点A、两个不平行的〔非0〕向量a，b在“原那么”上确定了平面〔定性刻画〕；引入向量的加法a+b，平面上的点X就可以表示为λa+μb〔以及定点A〕，而成为可操纵的对象。距离和角是刻画几何元素之间度量关系的根本量——引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosα，作为反映向量的长度和两个向量间夹角的关系。用向量解决问题的“三步曲”〔1〕建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；〔2〕通过向量运算研究几何元素之间的关系及其度量，如平行、垂直、距离、夹角等；〔3〕把运算结果“翻译”成几何关系。向量内容的结构顺序向量的实际背景及根本概念→向量的线性运算→平面向量根本定理及坐标表示→向量的数量积→向量应用举例4．联系性〔整体性、结构性〕内容的呈现力求做到脉络清晰，重点突出，体系简约，在学生原有认知结构根底上，依据数学学习规律、相关内容在不同模块中的要求以及数学内在的逻辑联系，以核心知识〔根本概念和原理，重要的数学思想方法〕为支撑和联结点，循序渐进、螺旋上升地组织学习内容，形成结构化的教材体系。联系的方式横向联系；纵向联系内部联系；外部联系事件的魅力往往不在事件本身，而在事件背后那千丝万缕的联系。案例七三角函数中的联系定义：任意角与单位圆的交点为P(x，y)，那么x=cos，y=sin，对应关系明确，函数的意义直观而具体；三角函数性质：正弦、余弦函数的根本性质就是圆的几何性质〔主要是对称性〕的解析表述，例如：〔1〕P(x，y)在单位圆上,|x|≤1，|y|≤1，即正弦、余弦函数的值域为[－1，1]；〔2〕一个周角=2π周期为2π；〔3〕|OP|2=1即sin2+cos2=1；〔4〕对于圆心的中心对称性sin(π+)=－sin，cos(π+)=－cos；〔5〕对于x轴的轴对称性sin(－)=－sin，cos(－)=cos；〔6〕对于y轴的轴对称性sin(π－)=sin，cos(π－)=－cos；〔7〕对于直线y=x的轴对称性sin(－)=cos，cos(－)=sin；〔8〕sin的单调性：－0πy：－1010－1〔9〕圆的旋转对称性：和〔差〕角公式圆的反射对称性：和〔差〕化积公式㈥、教材实验的根本成绩和问题1．教材的主要创新点：设置观察、思考、探究等，以问题引导学习，加强“问题性”；使用“先行组织者”等，加强类比、特殊化、推广等逻辑思考方法，加强“思想性”；强调数学知识之间、数学与现实之间的联系以及数学应用，加强“联系性”。教师对这些创新给予了较高评价，认为在改进教材呈现方式、学生学习方式、教师教学方式等方面都发挥了较好作用。2．“课标”及教材存在的主要问题〔1〕“模块化”的课程结构体系，存在整体结构逻辑性差、知识不连贯性、螺旋设置不合理等问题；〔2〕内容太多，课时不够；〔3〕螺旋上升导致教学要求难把握；〔4〕对信息技术要求太高，使用过多；〔5〕没有对农村学校的需求给予必要的考虑；〔6〕有些表达不简洁；〔7〕有些变化与当前实际不符合，例如概率、统计内容增加太多；〔8〕知识衔接问题——初高中衔接、各模块之间的衔接。师生负担加重了。造成课业负担加重的原因是多方面的，课程设置、教材内容、教师教学、高考评价、配套资源等等都在其中起作用，其中最主要的原因是高考问题。

——依靠高难度、高强度的机械化训练，已经难以奏效。㈦、初高中衔接问题1．主要问题〔1〕初中内容的不适当删减、降低要求，导致学生“双基”无法到达高中教学要求；〔2〕高中不顾学生的根底，任意拔高教学要求，繁琐的、高难度的运算充满课堂。2．初中课标与高中教学要求的差异初中不讲但高中教师认为应掌握的知识举例：〔1〕十字相乘法、分组分解法；〔2〕含有字母的方程；〔3〕三元一次方程组；〔4〕根式的分母有理化、最简根式，根式化简；〔5〕可化为一元二次方程的分式方程(只要求化为一元一次方程的分式方程)，分式乘方；〔6〕简单的无理方程；〔7〕简单的高次方程；〔8〕简单的二元二次方程组；〔9〕一元二次不等式的解法；〔10〕一元二次方程根的判别式；〔11〕韦达定理；〔12〕换元法；〔13〕平行线等分线段定理，平行的传递性；〔14〕平行线分线段成比例定理，梯形中位线；〔15〕截三角形两边或延长线的直线平行于第三边的判定定理；〔16〕圆内接四边形的性质；〔17〕轨迹定义；〔18〕圆的有关定理：垂径定理及逆定理，弦切角定理，相交弦定理，切割弦定理，两圆连心线性质定理，两圆公切线性质定理等；〔19〕相切作图，正多边形的有关计算，等分圆周，三角形的内切圆；等。降低要求的内容举例〔1〕有理数混合运算强调最多三步，学生习惯性使用计算器，笔算、口算、心算能力弱；〔2〕多项式相乘仅要求一次式相乘，无除法；〔3〕因式分解只要求提取公因式法、公式法〔平方差、完全平方〕，直接用公式法不超过两次；〔4〕根式的运算要求低；〔5〕绝对值符号内不能含有字母；〔6〕配方法要求低，只在解一元二次方程中有简单的要求，在二次函数中不要求用配方法，只要求用公式求顶点、最值，且不要求记忆公式和推导过程〔中考试卷中会给出公式〕；〔7〕几何中大大减少定理的数量，删除繁难的几何证明，淡化几何证明的技巧；〔8〕只要求通过实例体会反证法的含义，了解即可；〔9〕辅助线，中考只要求添加一条辅助线。㈧、整体把握高中数学

新课程结构与主线必修课程知识结构1.课程结构2.高中数学课程内容的六条主线(1)——函数(2)——几何(3)——运算(4)——算法(5)—统计概率(6)—应用㈨、研究教学内容的变化,准确把握教学要求1.高中数学课程在以下七个方面发生了变化：〔1〕在课程目标上的新变化——强调三维教学目标〔2〕在课程理念上的新变化——强调人文探究应用〔3〕在教学结构上的新变化——模块、专题〔4〕在教学时数的新变化——高中毕业底线180课时三维教学目标〔5〕在教学内容上的新变化——通过增、删、升、降，重新整合〔6〕在教学方式的变化——“螺旋上升”的原那么〔7〕在课程评价上的变化——学分管理制课程教学内容增加知识点删减知识点数学1函数概念与基本初等函数I幂函数数学2立体几何初步三垂线定理及其逆定理数学2平面解析几何初步空间直角坐标系数学3概率几何概型数学3统计茎叶图

教学内容的变化数学4基本初等函数II（三角函数）已知三角函数值求角数学4平面上的向量线段定比分点、平移公式数学5不等式分式不等式数学1—1数学2—1常用逻辑用语全称量词与存在量词数学2—2导数及其应用定积分与微积分基本定理数学4—4坐标系与参数方程柱坐标系、球坐标系课程教学内容提高要求降低要求数学1函数概念与基本初等函数1分段函数要求能简单应用反函数的处理，只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数数学2立体几何初步仅要求认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；对棱柱，正棱锥、球的性质由掌握降为不作要求

数学3 统计知道最小二乘法的思想选修1—1常用逻辑用语不要求使用真值表选修2—1选修1—1圆锥曲线与方程对双曲线的定义、几何图形和标准方程的要求由掌握降为了解，对其有关性质由掌握降为知道选修2—1选修1—1选修2—2导数及其应用要求通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用选修2—3计数原理对组合数的两个性质不作要求选修4—4坐标与参数方程对原大纲未作要求的直线、双曲线、抛物线提出了同样的写出参数方程的要求原大纲理解圆与椭圆的参数方程降为选择适当的参数写出它们的参数方程不搞“一步到位”；删减的内容不要随意补充；某些内容不要随意调整顺序；教辅材料不能作为教学的依据；把更多的注意力放在核心概念、根本数学思想方法上；注重通性通法，不追求“特技”从宏观层面看2.教学要求把握对重点的传统知识作适当拓广。例如，二次函数，它一直是高(初)中的重点根底知识，在高中数学中二次函数可以与其它许多数学知识相联系，因此拓广和加深二次函数是必要的，又如在高中数学中如闭区间上二次函数的最值；二次函数含参数讨论最值；利用二次函数判断方程根的分布等，这些内容可作适当拓广。对新增加的知识内容加强根底训练。新课标中增加了一局部新的数学知识，特别是选修系列中新内容较多，有些新内容与高等数学有关，对这些内容在教学中不宜当作高等数学知识来讲，只要让学生认识根本思想即可。拓广数学知识的背景。数学教学中应该讲背景、讲联系、讲思想，要通过背景知识的介绍，使学生感悟其中的数学思想方法。根据新课标控制知识的拓广。新课标删去的内容，如果在所有版本教材中都未出现，教学中一般不要再捡回。如三垂线定理，反三角函数与三角方程，指数方程和对数方程的解法，指数不等式和对数不等式的解法，线段的定比分点，三角函数值求角，极限等。新课标淡化的知识内容不宜拓广。例如，集合、简单的幂函数、函数定义域、值域、奇偶性。对重点知识要屡次呈现，逐步拓广。新课标对一些重点知识的安排是屡次呈现逐步深入。例如函数教学就分了屡次呈现并逐步加深。切忌在教学中按照总复习那样一步到位。

从微观层面看

强调对函数概念本质的理解

〔2〕削弱对定义域、值域过于繁、难的，尤其是人为的过于技巧化的训练〔3〕在高中阶段，屡次反复、螺旋上升式地帮助学生逐步加深理解函数概念〔1〕先讲函数后讲映射函数模块教学的定位

强调函数是刻画现实世界

变化规律的模型

选取大量背景实例和应用实例；专门安排第3章“函数的应用”。注重与信息技术的整合把集合作为一种语言来学习在训练时，要把握好难度，防止偏题、怪题；不要求补充集合运算的性质及证明。函数教学应基于具体的函数，有关抽象函数内容不宜涉及；函数值域的教学应控制难度，可在今后的教学中进一步深入；变量代换不宜太难。研究函数性质的例题和训练不宜太难，应局限于具体的函数；奇〔偶〕函数的图象对称性在本节教学时不要求证明。有关根式的复杂运算及繁琐的根式化简不必多练。不必去讨论形式化的反函数定义，也不要求求函数的反函数。不必在一般的幂函数上作引伸和作过多的介绍。连续函数在某个区间上存在零点的判定方法，只要求学生理解并会应用，教学中不需要给出证明。三角函数——定义、图象性质、应用平面向量——背景、概念、表示运算和运算律、应用三角恒等变换——两角差的余弦根本公式的