同济第三版-高数-(23)第三节反函数和复合的求导法则同济第三版-高数-

中国药科大学数学教研室杨访第三节反函数和复合函数的求导法则本节概要由导数定义及函数的四则运算的求导规则求得了几个基本初等函数的导数，为便于求出全部基本初等函数的导数还需讨论反函数的求导规则。由于初等函数由基本初等函数经由四则运算和复合运算构成，故求得了基本初等函数的导数，再能建立复合运算的求导规则就可解决所有初等函数的导数计算问题。一．反函数的导数(1)

几何直观的分析由于反函数与直接函数有着密切联系，所以反函数的导数与直接函数的导数也应有相应的关系。从几何上看，若直接函数以

x

=

(

y

)的形式表出，其反函数以

y

=f

(

x

)的形式表出，则二者的图形为同一条曲线。因此，若曲线

x

=

(

y

)在某点

M(

x

,y

)具有切线，则曲线

y

=f

(

x

)在该点也具有切线。从而可猜测，若直接函数可导，其反函数也可导。反函数与直接函数导数的关系直接函数曲线有切线对应反函数曲线有切线(2)

直接函数导数与反函数导数的关系设

x

=

(

y

)为直接函数，y

=

f(

x

)为其反函数，且直接函数

x

=

(

y

)在某区间

I

y内单调，相应反函数

y

=

f(

x

)的单调区间为

I

x.

对任意的

x

I

x，给

x

以增量

x

0，x

+

x

I

x

,由反函数

y

=

f(

x

)的单调性知，其相应的增量满足

y

=

f(

x

+

x

)-

f(

x

)0

，于是在点

M(

x

,y

)处，直接函数

x

=

(

y

)的变化率与其反函数y

=

f(

x

)相应的变化率满足关系

若假设

x

=

(

y

)

在点

y

处连续，则由反函数的连续性知，y

=

f(

x

)在对应点

x

处连续，即当

x→

0

时,

y→

0

.

若进一步假设

x

=

(

y

)在点

y

处可导，且于是由复合函数取极限定理有由上讨论有如下结果：

如果函数

x=

(

x

)在区间

I

y内单调、可导，且

(

y

)0，则它的反函数

y

=

f(

x

)在区间

I

x={

x

x=

(

y

),

y

I

y}内也可导，且反函数求导法则关系式

是按“点”叙述的:

此关系左边[

f(

x

)]

是关于

x的表达式，右边是关于

y的表达式，二者相等的意义是在点

M(

x

,y

)处对应的“函数值”相等。这种表述形式对于导出结果是方便的，但对于应用却显得不便。因此，在应用时常需将等式两边换成相同的变量，即此关系式的应用形式应是

结果说明例：设

y=arccos

x，求:

y

.

对此基本初等函数求导问题，容易想到根据定义计算，但按定义求此反三角函数导数却不方便。注意到余弦函数

cos

x的导数已求得，故考虑利用直接函数与反函数导数间的关系求此反三角函数导数。取

x

=

(

y

)=

cos

y,y

I

y=(

0

,

)为直接函数，则

f(

x

)=arccos

x为其反函数。解用反函数求导法则计算

(3)

反函数求导法则的应用分析由于

x

=

(

y

)=

cos

y在I

y=(

0

,

)内单调可导，且

(

y

)=(

cos

y

)

=-

sin

y<0

,y

I

y=(

0

,

)，故由直接函数与反函数的导数关系：

当x

I

x=(

-1

,1

)时有

为应用的方便，应将上式右边写成

x的函数。因为当

y

I

y=(

0

,

)时有故求得例：设

y

=arccot

x，求:

y

.

取

x

=

(

y

)=

cot

y,y

I

y=(

0

,

)为直接函数，则

f(

x

)=arccot

x为其反函数。由于

x

=

(

y

)=cot

y在

I

y=(

0

,

)内单调可导，且

(

cot

y)

=-

csc

2y

，y

I

y=(

0

,

).故由直接函数与反函数的导数关系：

当x

I

x=(

-

,+

)时有解用反函数求导法则计算

为应用方便，应将上式右边写成

x的函数。因为当

y

I

y=(

0

,

)时有故求得同理可求得例：设

y=

a

x，求:

y

.

对此基本初等函数求导问题，容易想到根据导数定义计算。同时由于

log

ax的导数已求得，故也可利直接函数与反函数导数关系求此指数函数导数。取

x=

(

y

)=log

a

y

,y

I

y=(

0

,+

),(

a

>

0

,

a

1

),为直接函数，则

y

=f(

x

)=a

x为其反函数。由于

(

y

)=log

a

y

在

I

y=(

0

,+

)内单调可导，且当

y

I

y=(

0

,+

)时

分析解用反函数求导法则计算

故由直接函数与反函数的导数关系：

当x

I

x=(

-

,+

)时有为应用的方便，应将上式右边写成

x的函数。因为当

y

I

y=(

0

,+

)时,y

=

a

x，故有

特例(

a

x

)

=a

x

ln

a，x

(-

,+

)(

e

x

)

=

e

x

ln

e=

e

x，x

(-

,+

)设有复合函数

y

=

f[

g(

x

)]，其求导问题的一般提法为：若内层函数

u

=g(

x

)在点

x

处可导，

外层函数

y=f

(

u

)在对应点

u

=g(

x

)处可导,

考虑复合函数

y=f[

g(

x

)]在点

x

处是否可导，是否存在？若存在，其导数形式如何？二．复合函数求导法则(1)

复合函数求导问题的提法由于复合函数

y=f

[g(

x

)]的因变量

y

通过中间变量

u

=

g(

x

)间接地与自变量

x

产生联系，直接讨论复合函数的变化率

y/

x

的极限不便。为此将复合函数的变化率改写成

于是复合函数的变化率

y/

x可归结为因变量对中间变量的变化率

y/

u和中间变量对自变量的变化率

u/

x考察。分析对复合函数

y

=

f[g(

x

)]，设自变量在点

x处有增量

x

0

，则相应地有

x

:x

→

x

+

x

，

x

0

，

u

:u

→

u

+

u，u

=

g(

x

)，

u

=

g(

x

+

x

)-

g(

x

),y

:y

→

y

+

y

，y

=

f(

u

)，

y

=f(

u

+

u

)-

f(

u

).

考察复合函数变化率

，首先需考虑在上述变化过程中，该变化率是否总有意义，即考察

是否有

u

0

？

当

u

=

0时，

y/

x是否仍有意义？(2)

复合函数求导规则的讨论当自变量在点

x

处有增量

x

0

时，若

u

=

g(

x

+

x

)-

g(

x

)

0

，则相应的因变量对中间变量的变化率

y/

u

有意义。由于

y

=

f(

u

)在对应点

u

处可导，即于是由极限与无穷小的关系有

用

u

0乘该式两边可得因变量增量

y

的表达式

y

=f

(

u

)

u

+

(

u

)

u

.当自变量在点

x

处有增量

x

0

时，若

u

=g(

x

+

x

)-

g(

x

)=

0

，即中间变量

u

在对应点

u

=

g(

x

)处没有发生改变，于是有

y

=f(

u

+

u

)-

f(

u

)=

f(

u

)-

f(

u

)=

0.因而式子

y

=f

(

u

)

u

+

(

u

)

u依然成立。为严谨见，补充定义

于是对给定的

x

0，不论是否有

u

0

，都有

y

=f

(

u

)

u

+

*(

u

).用

x除式子

y

=f

(

u

)

u

+

*(

u

)两边得

由于

u

=

g(

x

)在点

x

处可导，故其在该点处连续，于是当

x→

0时有，

u

→

0

，

*(

u

)→

0

.

前式两边取极限

x→

0便得

若函数

u

=

g(

x

)在点

x处可导，而函数

y

=

f(

u

)在对应点

u

=

g(

x

)处可导，则复合函数

y

=f[

g(

x

)]在点

x处可导，且其导数为

复合函数求导法则C.P.U.Math.Dept.·杨访(3)

复合函数求导规则的说明

复合函数的导函数

上述复合函数求导规则是按点叙述的，若改为按区间叙述则更适合应用，即若函数

u=g(

x

)在开区间

I

x

内可导，函数

y=f

(

u

)在开区间

I

y内可导，且当

x

I

x时，u

I

y

，则复合函数

y=f[g(

x

)]在

I

x内可导，且其导数为

复合函数求导法则的分析意义

─

还原规则

复合函数求导法则的意义在于将复杂函数的导数转化为构成它的各元素(简单函数)的导数计算，这一特点可理解为一种还原规则，它使导数计算变得简单方便。对初等函数而言，这种还原规则可将由基本初等函数复合而成的函数的导数计算还原为构成它的元素(基本初等函数)的导数计算。加上导数的四则运算规则，一般初等函数的导数计算都可还原为基本初等函数的导数计算。上述复合函数求导法则是对复合函数仅含一次复合过程的情形导出的，由归纳法原理，这一法则可推广到含有多次复合过程的情形。例如，对含两次复合过程的复合函数

y=f{

g[h(

x

)]}，即若y=f

(

u

)，u=g(

v

)，v=h(

x

)，相应导数规则为

复合函数求导法则的推广

─

链式规则

复合函数的导数记号

在复合函数求导特别是抽象复合函数求导时，应注意导数记号“

”的不同意义。例如，记号{

f

[

g(

x

)]}

表示复合函数

y

=f[

g(

x

)]对自变量

x

的导数，而记号

f

[

g(

x

)]则表示复合函数

y=f[

g(

x

)]对中间变量

u

=

g(

x

)的导数。

复合函数的可导条件

复合函数求导法则所要求的条件是，若

u

=

g(

x

)

在点

x

可导，y

=

f

(

u

)在对应点

u

=

g(

x

)可导，则复合函数

y=f[

g(

x

)]在点

x

可导，但这两个条件仅是复合函数可导的充分条件而非必要条件。反例1：函数

u=g(

x

)=|

x

|在点

x

=0不可导，函数

y=f(

u

)=

u

2在点

u

=g(

0

)=0可导。这两个函数不满足复合函数在一点可导的充分条件,但复合函数

y=f[

g(

x

)]=x

2在点

x

=0处可导。反例

2：函数

u=g(

x

)=x

2在点

x

=0可导，函数

y=f(

u

)=

|u|在点

u

=g(

0

)=0不可导。这两个函数不满足复合函数在一点可导的充分条件,但复合函数

y=f[

g(

x

)]=x

2

在点

x

=0处可导。反例

3：函数

u=g(

x

)=x

+

|

x

|在点

x

=0可导，函数

y=f(

u

)=

u

-|

u|在点

u

=g(

0

)=0不可导。这两个函数不满足复合函数在一点可导的充分条件，但复合函数

y=f[g(

x

)]=x

+

|

x

|-

|

x

+

|

x

||

在点

x

=0处可导。掌握复合函数求导的关键是弄清函数的复合结构，即要能将给定的复合函数正确地分解为简单函数。弄清给定函数包含几次复合过程，每次复合的对应法则是什么。只有弄清函数的复合结构后，才能根据复合函数求导的链式规则进行计算。(4)

复合函数求导法则的应用例：设由给定函数的复合结构可对函数作如下分解，并设置中间变量：由函数的分解式，按链式规则有解根据函数的复合结构求导

对初学者而言，为便于正确应用链式规则，可适当设置中间变量。但由于导数计算的结果通常应表示为自变量的表达式，因而在完成导数计算后，需进行原变量回代。在计算熟练后一般不再写出中间变量，而直接以自变量表达形式行计算。方法说明关于中间变量的设置例：证明幂函数导数的一般公式

x

=

x

-

1,(

x>0，

R).

利用恒等式u

v=e

v

ln

u

，可将幂函数形式转化为指数函数形式。

由幂函数的定义及复合函数求导规则有

解化为复合函数计算导数

例：设

这是个包含多次复合过程的复合函数。应先弄清函数的复合过程及结构，并设置相应的中间变量，再按复合函数的链式规则求导。

给定函数的复合结构为于是相应的链式规则为

解根据函数的复合结构求导

y

=

a

uu=sinvv

=

w1/2w=1-

ln

x(4)(3)(2)(1)原变量回代

本题导数采用了记号而未用记号()

，其意义在于更清楚地表示链式求导过程中的每一步是对哪个变量求导。若采用导数记号()

，则需加上下标以指明求导的对象。例如，对本例链式规则，若用记号()

，则需写成y

x=y

u﹒u

v﹒v

w﹒w

x.方法说明关于导数记号的使用例：设

给定函数既含有四则运算又含有函数复合运算，故应先弄清函数的结构，再按相应导数规则计算。

给定函数为两因子乘积，由乘积求导规则有对第二项所含导数，由复合函数求导规则有分析解根据函数的复合结构求导

例:

设

f(

x

)=x

a

a+a

x

a+a

a

x,(

x

>

0

,a

>

0),

求:

f

(

x

).

本例求导的关键是弄清各项的复合结构，即区别幂函数与指数函数。第一项

x

a

a为

=

a

a

时的幂函数；第二项

a

x

a为指数函数

a

u与幂函数

x

a

的复合；第三项

a

a

x为指数函数

a

u与指数函数

a

x

的复合。由幂函数、指数函数及复合函数求导公式有幂函数求导指数函数幂函数求导指数函数指数函数求导分析解根据函数的复合结构求导

例:

已知

这是半抽象复合函数求导数值问题。复合函数求导需知因变量对中间变量的导数及中间变量对自变量导数，本题的求解首先应考察这两个条件是否满足，因此求解的关键是弄清已知条件的意义。函数是半抽象函数，其间中间变量

是已知的，而外层函数

f

是抽象的。由给定复合函数形式看出，条件

f

(

x

)=arcsin

x

2实际是抽象函数

f

对中间变量的导数。由于函数的对应法则与变量用什字母无关，故这一条件实际可写成

f

(

u

)=arcsin

u

2.分析由复合函数求导规则有于是求得解根据函数的复合结构求导

例:

设

记号

f

[

f(

x

)]的意义为导函数

f

(

u

)在

u

=

f(

x

)处的值，求此导数值关键是求出函数

f(

u

)的表达式。由条件想到可通过变量代换求之。令：则从而有

f

(

u

)=2

cos

2

u

,f(

x

)=sin

2

x

,f

[

f(

x

)]=

2

cos

[

2

f(

x

)]

=2

cos(

2

sin

2

x

).

求

f

[

f(

x

)]解理解各导数记号意义再依义求导

记号

f[

f

(

x

)]的意义为函数

f(

u

)在

u

=

f

(

x

)处的值。由于已求得

f(

u

)和

f

(

x

)，故只需代入即可。因为

f(

u

)=sin

2

u，f

(

x

)=2cos

2

x，故有

f[

f

(

x

)]=f(

u

)u

=

f

(

x

)=sin

2

u

u

=

2cos