同济第3版-高数-(35) 第五节 函数的极值与最大值最小值

中国药科大学数学教研室杨访第五节函数极值与最大值最小值本节概要实际应用中，函数的最值问题会以多种不同形式出现，但都可归结为两个基本问题：最值的存在性问题。若已知函数最值存在，如何求出其最值。

极值概念源于最值问题的讨论，函数的最值必在极值点处取得，为求最值需先确定极值点，而对极值点的计算可建立一套由效的方法。

一.函数的极值极值概念产生于最值问题的讨论。函数最值不仅和各种实际应用问题密切相关，数学本身的应用也很多，最值是函数研究的一类重要问题。由于已部分地解决了最值存在性问题，因而最值的讨论便归结为最值的计算问题，即在已知最值存在的条件下，如何求出最值。

求函数最值关键是确定最值点。

确定最值点首先要弄清最值点所满足的条件，为弄清最值点的条件可先从直观分析考察。1.函数极值概念的产生函数可能取得最值的点图示从直观上看，函数最值除了可能在区间端点取到外，还可能在区间内部的这样一些点处取到：

这些点对应于曲线的波峰或波谷，它们虽不一定是函数最值点，但这些点的函数值较其邻近点的函数值要大或小，它们是函数的局部最大或最小值，这就是函数极值的概念。由于函数最值必在这些点取到，这样的点通常为有限个，只要求出这些点处的函数值，便可确定最值，于是最值计算问题归结为这些特殊点的函数值计算。(1)

函数极值的定义设函数

f(

x

)区间(

a

,b

)内有定义,

x

0

是区间(

a

,b

)内的一个点，如果存在点

x

0的一个去心邻域，使得对该去心邻域内的任何一个点

x，都有

f(

x

)<f(

x

0

)，就称

f(

x

0

)是

f(

x

)的一个极大值；

如果存在点

x

0

的一个去心邻域，使得对该去心邻域内的任何一个点

x，都有

f(

x

)>

f(

x

0

)就称

f(

x

0

)是

f(

x

)的一个极小值。极大值和极小值统称为函数的极值，使得函数取得极值的点称为极值点。(2)

极值和最值的区别和联系极值与最值是密切相关的两个概念，但二者的意义却不同，最值是对区间而言的，极值是对邻域而言的。函数的最大值总不小于最小值，但函数的某个极大值可以小于另一个极小值。最值不在区间端点取得，就必在区间内部的某个极值点处取得。为求函数最值应先求出其全部极值点。为求极值点可先分析极值点的特征，确定取得极值的条件。(1)

函数在极值点处的特征由于极值具有局部最大或最小的特征，故函数在其极值点的两侧的单调性应发生改变，即函数

y

=f(

x

)在极值点

x

0

的两侧的导数符号应变号，于是可知极值点的分析特征是导数变号的临界点。因此，若函数在极值点

x

0

处可导，则应有

f

(

x

0

)=

0.2.极值的判别与计算设函数

y

=f(

x

)在极值点

x

0

处可导，且在点

x

0

处取得极值，则有

f

(

x

0

)=

0.

由直观容易看出，该条件仅是函数在一点

x

0取得极值的必要条件。根据这一条件虽不能确定函数在一点

x

0

处是否取得极值，却给出了一种搜寻极值点的方法，即对给定函数

y

=f(

x

)，设法求方程

f

(

x

)=

0的根。由于方程根的个数通常是有限的，这样便大大缩小了寻找极值点的范围。定理

1函数取得极值的必要条件(2)

可疑点极值性的判别

驻点的概念

使得函数

y

=f(

x

)导数为零的点，即导数方程

f

(

x

)=

0的根称为函数

y

=f(

x

)的驻点。

函数可能取得极值的“可疑点”有两类，一类是驻点，一类是导数不存在的点。由定理

1

不仅可求得函数的驻点，且由导数计算还可判别出导数不存在的点。因此，通过定理

1

的应用实际可确定所有函数可能取得极值的可疑点。极值点的判别由极值点的特征分析知，函数在某点取得极值的本质原因是函数在该点两侧的单调性发生改变，因此可通过导数符号的考察判别可疑点是否为极值点。通过对导数符号的考察不仅判别驻点是否为极值点，亦可判别导数不存在的点的极值性。定理

2函数取得极值的第一充分条件设函数

y=f(

x

)在点

x

0

的某个邻域

U(

x

0

,

)内可导，且

f

(

x

0

)=

0，则有如下极值判别法：若当

x

(

x

0

-

,x

0

)时，f

(

x

)>

0

，而当

x

(

x

0

,x

0

+

)时，f

(

x

)<

0

，则

f(

x

)在点

x

0

处取得极大值。若当

x

(

x

0

-

,x

0

)时，f

(

x

)<

0

，而当

x

(

x

0

,x

0

+

)时，f

(

x

)>

0

，则

f(

x

)在点

x

0

处取得极小值。若当

x

(

x

0

-

,x

0

+

)时，f

(

x

)保持定号

，则

f(

x

)在点

x

0

处不取得极值。例：求函数

由导数表达式还可求出导数不存在的点

x

2

=

0.先确定可疑点再逐一判别

解求导数确定可疑点

写成乘积形式求得驻点判别可疑点是否为极值点

为讨论导数符号，将求得的可疑点按大小排列，并用可疑点分割

f(

x

)的定义域，再列表讨论确定

f

(

x

)的保号区间。不存在极大值极小值应极值的第一充分条件既可判别驻点的极值性也可判别导数不存在的点的极值性。

应用第一充分条件判别极值性时，需将导数化为因子连乘积形式，而当导数为多个因子乘积时，确定其在各保号区间上的符号较为麻烦。

优点第一充分条件优劣评判

缺点

结果说明从几何直观看，函数的极大值对应于曲线凸弧的最高点，极小值对应于曲线凹弧的最低点。由于曲线弧的凹向可通过二阶导数的符来表达，因而也可通过曲线弧的凹向的考察来判别驻点的极值性。设函数

y

=f(

x

)在点

x

0

的处具有二阶导数，且

f

(

x

0

)=

0

，f

(

x

0

)

0，则有如下极值判别法：当

f

(

x

0

)<

0

时，f(

x

)在点

x

0

取得极大值；

当

f

(

x

0

)>

0

时，f(

x

)在点

x

0

取得极小值。定理

3函数取得极值的第二充分条件极值第二判别法图示应用极值的第二充分条件的好处是应用简便，只需通过驻点处的二阶导数值

f

(

x

0

)的符号便可确定可疑点的极值性。

第二充分条件仅能用于判别驻点是否为极值点，而不能用于判别导数不存在的点的极值性。此外，对于

f

(

x

0

)=

0的点，由第二充分条件也不能判别其极值性，此时还需回归第一充分条件来判别。

优点第二充分条件优劣评判

缺点

结果说明例：求函数

f(

x

)=(

x

-

1

)2(

x

-

2

)3的极值。

f

(

x

)=[(

x

-

1

)2(

x-

2

)3]

=2(

x

-

1

)2(

x-

2

)3+3(

x

-

1

)2(

x-

2

)2

=(

x

-

1

)(

x-

2

)2[

2(

x-

2

)+

3(

x-

1

)]

=(

x

-

1

)(

x-

2

)2(

5x-

7),

令：f

(

x

)=(

x

-

1

)(

x

-

2

)2(

5

x

-

7)=

0,

求得驻点求导数确定可疑点

先确定可疑点再逐一判别

解判别可疑点是否为极值点

由于本例极值可疑点均为驻点，故考虑用第二判别法考察可疑点的极值性。

f

(

x

)=[(

x

-

1

)(

x-

2

)2(5

x

-

7

)]

,

=(

x

-

2

)2(

5

x

-

7

)

+2(

x

-

1

)(

x-

2

)(

5

x-

7

)

+5(

x

-

1

)(

x

-

2

)2,

下考察各驻点处的二阶导数符号：因为f

(

1

)=

-2

<0

，故

f(

x

)在驻点

x

1

=

1

处取得极大值。极大值为：

f(

1

)

=[(

x

-

1

)2(

x

-

2

)3]

x=

1=0

.故

f(

x

)在驻点

x

2

=

7/5处取得极小值。极小值为：因为f

(

2

)=

0

，故不能由极值第二充分条件判别点

x

3=

2处的极值性，考虑改用第一充分条件判别。由于当

x

U(

2,

)时，恒有

f

(

x

)=(

x

-

1

)(

x

-

2

)2(

5

x

-

7

)>

0,即

f

(

x

)在驻点

x

3

=

2两侧不变号，故

f(

x

)在点

x

3

=

2处不取得极值。二.函数的最大、最小值由于闭区间上连续函数的最值总是存在的，因此讨论闭区间上连续函数最值问题关键就是如何求出最值。由极值问题的讨论知，函数可能取到最值的点是极值点和区间的端点，因此求闭区间上连续函数的最值可按如下步骤进行：求出给定函数

f(

x

)在所论闭区间[

a

,b

]上所有驻点及导不存在的点

x

1,x

2,…,x

n

.(2)计算

f(

x1

),

f(

x

2

),…,

f(

x

n

),

f(

a

),f(

b

)比较这些函数值确定函数最值。

1.闭区间上连续函数的最值问题例：求函数的最值。

显然，给定函数在指定闭区间上连续，故其最值存在。为求最值应先求出极值可疑点，再将在这些点的函数值与区间端点的函数值进行比较。求得函数在指定区间内的驻点：求导数确定极值可疑点

先确定极值可疑点，再逐一比较函数值

解分析比较极值可疑点及区间端点的函数值

比较函数极值可疑点与区间端点的函数值有：求得函数

f(

x

)在闭区间[0,b]上的最小值点为

x

=0，最小值f(

0

)=0，最大值点为

开区间内的连续函数也可能存在最值。确定开区间内连续函数最值的存在性一般有两种途径：

根据函数单调性及区间端点的极限确定最值存在性；根据问题的实际意义确定最值的存在性。如果开区间内的连续函数最值存在，则其最值一定在区间内部的极值点处取得，且如果函数在开区间内有唯一的驻点，则该驻点就是最值点。

2.开区间内连续函数的最值问题函数在开区间内取得最值开区间内存在最值且有唯一驻点例：设

a

>

0，求的最大值。易看出，函数

f(

x

)在其定义域(

-

,+

)内连续，故这是个开区间内的连续函数求最值问题。求开区间内函数的最值并不能预先知道最值的存在性，需通过极值可疑点及函数单调性的考察才能确定。由于

f(

x

)是含绝对值的函数，为求极值可疑点应先将其写成分段函数的形式，再分别考察其在各子段上的导数。分析通过极值可疑点及函数的单调性讨论最值

解将绝对值函数写成分段函数形式

求导数确定极值可疑点

由于

f(

x

)在各子段上均是初等函数，且没有分母零点，由绝对值函数的性质知，f(

x

)各子段上均可导,仅在其分段点

x

=

0,x

=

a处可能不可导，故只需按导数规则求出

f(

x

)在各子段上的导数及导数零点。若只考虑

f(

x

)在各子段上的导数则有：由导数计算可知：当

x

(

-

,

0

)时，f

(

x

)>0，故

f(

x

)单调增。当

x

(

a

,+

)时，f

(

x

)<0，故

f(

x

)单调减。因此可知：f(

x

)在[

0

,a

]上的最大值就是

f(

x

)在(

-

,+

)上的最大值。于是问题转化为求闭区间上连续函数的最大值问题。当

x

(

0

,

a

)时，

令：f

(

x

)=

0得：

(

1

+

a

-

x

)2-(

1

+

x

)2=(

a

-

2

x

)(

2

+

a

)=

0

.

求得

f(

x

)在[

0

,a

]内有唯一的驻点

驻点函数值：

区间端点函数值：比较f(

x

)在这些点的函数值有：求得

f(

x

)在(

-

,+

)上的最大值为比较驻点及区间端点的函数值

例：一银行的统计资料表明，存放在银行中的总存款量正比于银行付给储户的利率的平方。假设银行可以用12%的利率再投资这笔钱，试问：为得到最大利润，银行所支付的年利率应定为多少？

这是个实际应用的最佳方案的问题，它常和函数的最值问题密切相关。应用中的最值问题通常并不是对于给定的函数求其最值，而是要求先根据问题的实际意义建立相应的目标函数，再确定和计算目标函数的最值。银行所得到利润取决于投资利率、支付给储户的利率及存放于银行中的总存款量这三个因素。

分析在投资利率一定的条件下，若支付给储户的利率较低，则银行可获得较高利润，但如果利率过低，存款人数及存款总量将会减少，这样银行可用于投资的钱就会减少，其利润又会降低。为得到最大利润，应先建立银行所得利润与支付给储户的利率及银行中总存款量间的函数关系，再考察银行可能得到的最大利润与所支付的利率的关系。

建立目标函数，将问题转化为求解函数最值

解

建立目标函数

设银行的总存款额为

A，支付给储户的利率为

r

，(

0

<

r

<

1)，则由条件有关系式

A

=

k

r

2,(

k

>

0

).

银行将这笔钱以

12%的利率贷出一年后可获得的款