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第三章无穷级数说明吴崇试，《数学物理方法》第四章讲授要点复数级数复数级数，收敛与发散绝对收敛级数函数级数函数级数的收敛性函数级数的一致收敛性含参量反常积分的解析性幂级数阿贝耳定理收敛圆与收敛半径无穷级数无穷级数，特别是幂级数，是解析函数的最重要的表达形式之一许多初等函数和特殊函数都是用幂级数定义的复变函数级数理论和实变函数的比较；概念和方法的异同无穷级数的收敛与发散如果级数的部分和所构成的序列{Sn}收敛，则称级数收敛，序列{Sn}的极限，称为级数的和否则，级数是发散的复数级数令un=αn+iβn，则部分和序列复数级数的收敛性完全等价于实数级数和的收敛性一个复数级数完全等价于两个实数级数和绝对收敛：若组成的级数收敛，则称该级数绝对收敛。

绝对收敛收敛？任给，必有存在正整数n,正整数p，有

发散发散收敛收敛收敛判别法则基本法则——Cauchy判据2.特殊法则——比较判别法由基本法则可知，若对充分大的n有具体比较判别法r<1时级数收敛；r>1时级数发散；r=1时不一定。根式判别法（Cauchy判别法）比值判别法（d’Alembert判别法）与标准级数比较，如几何级数级数的代数运算加减法：两收敛级数的和与差级数仍收敛，且若，乘法：两绝对收敛级数的乘积绝对收敛，且其和与乘积项的排列次序无关klb0b1b2…

a0a0b0a0b1a0b2…a1a1b0a1b1a1b2…a2a2b0a2b1a2b2……

…………n012除法是乘法的逆运算klb0b1b2…

a0a0b0a0b1a0b2…a1a1b0a1b1a1b2…a2a2b0a2b1a2b2……

…………n-101复变函数项级数收敛性：若复变函数项级数在某个区域D内所有点处收敛，则称该级数在D内收敛。

特殊判别法：正实常数项收敛级数有则在D上一致收敛。一致收敛级数性质：连续性：在有限（开）区域D内连续，在D内任意闭区域上

一致收敛，则和函数在D内连续。一致收敛级数性质：积分性质：c为分段光滑曲线，在c上连续，且在c上级数一致收敛，则和在c上连续，且可沿c逐项积分，即一致收敛级数性质：微商性质：在有限（开）区域D内解析，在D内任意闭区域上一致收敛，则其和在D内解析且可逐项微商任意多次，即幂级数定义：主要研究整数幂级数，特别是非负整数幂级数；称为以a为中心的幂级数。收敛特性：以a为中心的幂级数在某个圆内收敛且绝对收敛在上绝对一致收敛在圆外发散收敛圆收敛半径收敛发散Abel定理：幂级数在某点收敛

它在上收敛且绝对收敛它在上绝对一致收敛证：（利用比较判别法）级数在内收敛。

收敛推论：若幂级数在某点处发散，则它在处发散。收敛

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