简明工程力学 课件 第10、11章 组合变形、压杆稳定

工程力学

第十章组合变形

§10.1

概述

工程实际中许多杆件往往同时存在几种基本变形，它们对应的应力或变形属于同一量级，需要同时加以考虑。对于组合变形，首先。。。，其次。。。，最后。。。。=++

组合变形的形式有无穷多种，本章介绍四种典型形式：

1.斜弯曲；

2.拉（压）弯组合；

3.偏心拉压；

4.弯扭组合。通过这四种典型组合变形的学习，学会计算一般组合变形强度的原理和方法。一生二、二生三、三生万物！§10.2斜弯曲比较二者：FxyzFxyz1、荷载的分解2、任意横截面任意点的“σ”（1）内力：（2）应力：k（应力的“＋”、“－”由变形判断）FFxyz在Mz

作用下：在My

作用下：（3）叠加：正应力的分布——kF危险截面——固定端危险点——“b”点为最大拉应力点，“d”点为最大压应力点。强度条件（简单应力状态）——3、强度计算abcdabdclFxyz4、刚度计算yzφFfβfyfz当Iy≠Iz

,β≠φ,挠度与载荷方向不一致——斜弯曲;当Iy=Iz

,β=φ,挠度与载荷方向一致——平面弯曲10001000Fy=1.5kNFz=1kN5075zy1212危险截面危险点危险点例10-1求最大正应力My=2kN.mMz=1.5kN.mFy=1.5kN例10-2求最大正应力10001000Fz=1kN危险截面65zy？×zyMzMyMMy=2kN.mMz=1.5kN.m注意事项不要把圆截面梁当斜弯曲计算任意形心轴都是形心主惯性轴挠度方向与载荷线一致不正确正确强度问题——按平面弯曲计算aFazyCIy

=IzFyxz解：1、外力分解2、强度计算例10-3矩形截面木檩条如图，跨长l=3.3m，受集度为q=800N/m的均布力作用，[

]=12MPa，许用挠度为：l/200，E=9GPa，试校核此梁的强度和刚度。b=80mmh=120mmlqABzqy

=26°34′3、刚度计算zqy

=26°34′fzfy所以。。。§10.3拉（压）弯组合F1F2F2F

FyFxxyzlFFyFx=FyFx+FNM

′

"+=xyzFyFx危险点拉伸正应力最大弯曲正应力FNM

′

"+危险点：单向应力状态，所以强度条件：例10-4悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成。其抗弯刚度Wz

=237cm3,横截面面积A=35.5cm2,总荷载F=34kN,横梁材料的许用应力为[

]=125MPa。校核横梁AB的强度。BADFFRAyFRAxFyFxFNBC30°解：（1）分析AB的受力情况AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形

中间截面为危险截面，最大压应力在该截面的上边缘。FACD1.2m1.2mB30°（2）压缩正应力（3）最大弯曲正应力（4）危险点的应力FACD1.2m1.2mB30°所以安全。BADFFRAyFRAxFyFxFNBC30°例10-5小型压力机的铸铁框架如图所示。已知材料的许用拉应力[

t]=30MPa,许用压应力[

c]=160MPa，Iy=5310cm4，A=1510-3m2，z0=7.5cm。试按立柱的强度确定压力机的许可压力F。yzz0z15050150150350FFFnnFNMy（1）分析立柱横截面上的内力和应力在n-n

截面上有轴力FN及弯矩Mynn350FFyzz0轴力FN产生的拉伸正应力为FnnFNMynnyzz0z1350FF5050150150

由弯矩My产生的最大弯曲正应力为5050150150yzz0z1拉nn350FFFnnFNMy（2）叠加在截面内侧有最大拉应力[F]45.1kN5050150150yzz0z1拉压nn350FFFnnFNMy

在截面外侧有最大压应力[F]171.3kN[F]45.1kN所以取5050150150yzz0z1拉压nn350FFFnnFNMy例10-6正方形截面立柱的中间处开一个槽,使截面面积为原来截面面积的一半。求开槽后立柱的最大压应力是原来的几倍。FFaaaa11FFa/2未开槽前立柱为轴向压缩解：Faa开槽后1-1是危险截面危险截面为偏心压缩将力F

向1-1形心简化未开槽前立柱的最大压应力开槽后立柱的最大压应力§10.4偏心拉压FyzFFe强度计算FeFe=+FF强度条件§10.5弯扭组合

一般的机械传动轴，大多同时受到扭转力偶和横向力的作用，发生扭转弯曲组合变形。laABCFd分析钢杆AB强度是否达标？BAFMex画内力图确定危险截面:MTFlMTFa所以危险截面是：xzy

k1k2k1，k2为危险点，如选k1，则单元体为k1

为平面应力状态，需用强度理论k1

主应力计算相当应力计算按第三强度理论按第四强度理论强度校核

该公式适用于图示的平面应力状态。

是危险点的正应力,

是危险点的切应力，且横截面不限于圆形截面。讨论：

该公式适用于弯扭组合变形;拉（压）与扭转的组合变形;以及拉（压）扭转与弯曲的组合变形。（1）k1

弯扭组合变形时,相应的相当应力表达式可改写为（2）对于圆形截面杆有式中W为杆的抗弯截面系数。M，T分别为危险截面的弯矩和扭矩。以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆。例10-7空心圆杆AB和杆CD焊接成整体结构，受力如图。AB杆的外径D=140mm，内外径之比α=d/D=0.8，材料的许用应力[

]=160MPa。试用第三强度理论校核AB杆的强度。ABCD1.4m0.6m15kN10kN0.8m解:（1）外力分析将力向AB杆的B截面形心简化得AB杆为扭转和平面弯曲的组合变形。ABFMe+15kN·m（2）内力分析－画扭矩图和弯矩图-20kN·mABFMe所以安全。例10-8传动轴如图所示。在A处作用一个外力偶矩Me=1kN·m，皮带轮直径D=300mm，皮带轮紧边拉力为F1，松边拉力为F2。且F1=2F2，l=200mm，轴的许用应力[

]=160MPa。试用第三强度理论设计轴的直径。zF1F2xyABl/2l/2MeMeMeCF=3F2解:将力向轴的形心简化

轴产生扭转和垂直纵向对称面内的平面弯曲。+T=1kN·m+中间截面为危险截面1kN·mMeMeCF=3F2xyz有两个垂直弯矩时，如何？MzMyxyzMyMzM工程力学

第十一章压杆稳定

§11.1

相关概念构件的承载能力①强度②刚度③稳定性工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。(a)(b)

拉压杆的强度条件为：

(a):木杆的横截面为矩形（1cm

2cm),高为3cm，当荷载重量为6kN时杆还没有破坏。(b):木杆的横截面与(a)相同，高为1.4m(细长），当压力为0.1kN时杆被压弯，导致破坏。

(a)和(b)竟相差60倍，为什么？一、（平衡）稳定的概念稳定平衡随遇平衡不稳定平衡小球平衡的三种状态区别何在？关键--确定压杆的临界压力Fcr！二、压杆稳定的概念FFFFFF<FcrF=Fcr①②①→②:失稳几点说明：1.失稳后，压杆不能承受载荷的持续显著增加2.失稳时的应力。。。3.受压细长杆的破坏不是由于。。。，而是。。。。突然性发生，破坏很严重20世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏（TheodoreCooper）在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥(QuebecBridge)。1907年8月29日，发生稳定性破坏，75位工人死亡，成为上世纪十大工程惨剧之一。类似的事故案例不胜枚举。三、工程中的稳定性问题四、稳定问题与强度问题的区别平衡状态应力平衡方程极限承载能力直线平衡状态不变平衡形式发生变化达到限值小于限值

<

p变形前的形状、尺寸变形后的形状、尺寸实验确定理论分析计算强度问题稳定问题那么，压杆何时属于稳定性问题，何时属于强度问题？压杆§11.2

两端铰支细长压杆的临界压力mmFM(x)=-FwmxmwBxylFxyB临界压力就是使压杆保持微弯平衡的最小压力该截面的弯矩杆的挠曲线近似微分方程压杆任一x截面沿y

方向的位移(a)令(b)式为二阶齐次微分方程，其通解（A、B为积分常数，由？决定）(b)得mmFM(x)=-FwxyB通解如何得到？世界十大著名公式：No10.No9.No8.No7.No6.No5.No4.No3.No2.No1.边界条件

由公式(c)

若则必须这就是。。。。（1744）令n=1,得挠曲线方程半正弦曲线。mxmwBxylF几点说明：1.适用于线弹性小变形两端铰支；2.Fcr与。。。无关，与。。。有关；3.实际中，杆件不可能。。。，材料不可能。。。，力不可能。。。，所以F实？F理；4.屈曲发生在抗弯能力小的纵向对称平面内。xyzOF屈曲发生在xOz平面内§11.3

其它支座下细长压杆的临界压力支承条件不同，对屈曲的限制不同，所以。。。。两端铰支一端自由一端固定一端固定一端铰支两端固定采用类比法求临界压力（较为简单）Fcrl0.3l0.7lFcrl—长度系数—相当长度欧拉公式Fcrl/4l/4l/2llFcr2l

为长度系数l

为相当长度相当长度

l

的物理意义

压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长度

l

。

l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度。例11-1图示细长圆截面连杆，长度l=800mm，直径d=20mm，材料为Q235钢，E＝200GPa。试计算连杆的临界载荷Fcr。解：1、细长压杆的临界载荷2、从强度分析§11.4

欧拉公式适用范围、经验公式

压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平衡时，横截面上的压应力可按

=F/A

计算。一、临界应力

欧拉公式临界应力

按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为i

为。。。惯性半径。

称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度l和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响。

越大，相应的

cr

越小，压杆越容易失稳。令令则则

若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度

，并按较大者计算压杆的临界应力

cr。二、欧拉公式的应用范围

只有

cr≤

p，才可以用欧拉公式计算压杆的临界压力Fcr（临界应力

cr）。或令

即

≥

p

(大柔度杆或细长杆）时，可用欧拉公式。

当

＜

p（但大于某一数值

0）时，不能应用欧拉公式，用经验公式

p的大小取决于压杆材料的力学性能。例如对于Q235钢，可取E=206GPa，

p=200MPa，代入，可得三、常用的经验公式式中：a

和

b是与材料有关的常数，可查表得出。

0是对应直线公式的最低限。1.直线型经验公式：

的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式。或令2.抛物线型经验公式：四、压杆的分类及临界应力总图1.压杆的分类（1）大柔度杆（2）中柔度杆（3）小柔度杆2.临界应力总图——

临界应力与柔度之间的变化关系图

欧拉公式——直线型经验公式l0ss中柔度杆粗短杆

细长杆lp几点说明：1.先判断柔度，再选择相应公式；2.同支座两方向长度系数不同时，要分别计算；3.同截面I取Imin。例11-2压杆截面如图所示。两端为柱形铰链约束，若绕y轴失稳可视为两端固定，若绕z轴失稳可视为两端铰支，已知，杆长l=1m，材料的弹性模量E=200GPa，

p=200MPa，求压杆的临界应力。30mm20mmyz解：

因为

z

>

y

，所以压杆绕z轴先失稳，且

z

=115>

p，用欧拉公式计算临界力。30mm20mmyz例11-3外径D=50mm，内径d=40mm的钢管，两端铰支，材料为Q235钢，承受轴向压力F。试求（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；（2）当压杆长度为上述最小长度的3/4时，压杆的临界应力。

已知：E=200GPa，

p=200MPa，

s=235MPa，用直线公式时，a=304MPa，b=1.12MPa。解：（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度压杆

=1（2）当l=3/4lmin时，Fcr=?用直线公式计算§11.5

压杆稳定校核1.稳定性条件2.计算步骤（1）计算最大的柔度

max；

（2）根据

max选择相应公式计算临界应力；（3）根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷。F：工作压力nst：稳定安全因数3.注意：强度许用应力和稳定许用应力的区别

强度的许用应力只与材料有关；稳定的许用应力不仅与材料有关，还与压杆的支承、截面尺寸、截面形状有关。很明显

例11-4活塞杆由45号钢制成，

s=350MPa，

p=280MPa，E=210GPa，长度l=703mm，直径d=45mm，最大压力Fmax=41.6kN，规定稳定安全因数为nst=10，校核其稳定性。活塞杆两端简化成铰支解：

=1截面为圆形不能用欧拉公式计算临界压力。如用直线公式，需查表得：a=461MPab=2.568MPa可由直线公式计算临界应力。

0<

<

p临界压力是活塞杆的工作安全因数所以满足稳定性要求。例11-5AB直径d=40mm，长l=800mm，两端视为铰支，材料为Q235钢，弹性模量E=200GPa，比例极限

p=200MPa，屈服极限

s=235MPa，由AB杆的稳定条件求[F]。（若用直线经验公式a=304MPa，b=1.12MPa）ABCF0.60.30.8解：取BC

研究ABCF0.60.30.8FN用直线公式[F]=118kN不能用欧拉公式ABCF0.60.30.8§11.6提高压杆稳定性措施1.如何保证在沉甸甸的稻穗作用下，稻秆不折断？2.细长稻秆如何保证稳定不倒伏？禾下乘凉梦提高细长压杆稳定性，可从其计算公式考虑：123选择合理截面形状合理调整约束，减小压杆相当长度选择合适材料

A相同，d/D=0.8,Fbcr=4.5Facr

（a）dD（b）1.选择合理截面形状压杆的合理截面形状建议：稻秆截面形式类似圆环，正好满足合理的截面形式，在此基础上增大其横截面积有助于提高其稳定性。物竞天择适者生存

《营造法式》是北宋时期将作监李诫组织编撰的由官方颁行的一部建筑规范，完成于北宋元符三年（1100年）。全书共计三十六卷。这部中国古籍中最完整、最具有理论体系的建筑设计学经典，融人文与技术为一体，不仅标志着我国古代建筑技术已经发展到了一个新的水平，同时也是中国古代设计思想理论发展的重要界碑。而且，还形成了现代中国的“营造之学”，魅力无比。

天堂是隋唐洛阳城宫城内的一座重要宫殿，其高度在《资治通鉴》中给出了相对具体的描述：即天堂高五层，且第三层已经高于明堂。现有文献认为明堂的高度在90米左右，以此计算天堂的高度至少应该在150米以上。

2.合理调整约束，减小压杆相当长度