简明工程力学 课件 第5章 扭转

工程力学

第五章扭转（torsion）§5.1扭转的实例和概念主动力偶阻抗力偶1、实例钥匙，传动轴，水龙头，丝攻etc2、概念受力特点：杆两端作用着。。。的力偶，且力偶作用面。。。

变形特点：杆任意两个横截面绕轴线发生相对转动。主要发生扭转变形的杆——轴Me主动力偶阻抗力偶Me如何度量？等圆截面直轴MeMeABOmm

OBA

两个角，有没有关系？材力红线：外力内力应力强度条件变形刚度条件§5.2外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图1、外力偶矩的计算工程实际中，Me通常未知，知道P和n，需要先确定三者关系。

如图示，设轴的转速n转／分(r／min)，其中某一轮传输的功率为：P千瓦(kW

）实际作用于该轮的外力偶矩为Me

(N·m），则切记单位！

TMeMeT取右段为研究对象：内力偶矩——扭矩T取左段为研究对象：问题：1-1截面上，扭矩的方向到底如何？从而引出。。。MeMe2、内力——扭矩“T”torque怎么求？还记得吗？扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。

右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为负值。T+T-设正法MeMeTTTT3、扭矩图——反映各横截面上扭矩变化规律，直观！MBTI例5-1已知MA=1170N·mMB=MC=351N·m

MD=468N·m求作扭矩图解1.计算各段扭矩

TI=－MB=－351N·mTⅡ=－MB

－MC=－351－351=－702N·mTⅢ=MD=468N·m2.作扭矩图

T(N·m)351702468MADABCMBMCMDIⅡⅢMBMCTⅡMDTⅢ如果AD轮对调，结果有何差异？（m－轴单位长度内的扭力偶矩）例5-2试分析图示轴的扭矩解：1、求约束力2、截面法求扭矩§5.3薄壁筒1、实验介绍材质，画线，注意事项实验结果扭转（t<<r0）最简单的扭转问题dxdx变形规律①周线。。。，厚度。。。②母线。。。，squareschangeintodiamonds③Me小于Mp时，Me与

呈线性dx∵筒壁上每个矩形切应变均为

，∴每个矩形受切应力相同且均布；进而整个横截面上

数值相同，方向相同（切向！）∵横截面上无长度变化，∴无

，自然无

；

怎么求？2、纯剪切

薄壁筒轴向、径向、环向均无变形，∴用两个横截面，径向截面，圆柱面切出一个小单元体如图示：xydydzzdx

纯剪切应力状态3、切应力互等定律左=右上=下口诀？非纯剪切状况仍然适用！！！MeMeabOcddxdydzttt't'xyz4、剪切胡克定律Hooke’sLawinShearrecall拉压胡克定律

γ

γ可将Me~

关系，变成

~关系类似得到剪切胡克定律

G：剪切弹性模量shearingmodulusunits？对各向同性材料，三个弹性常数之间存在关系：由，

§5.4圆轴扭转应力和强度条件1、应力分布规律

截面各处应力相等？∴超静定∴。。。①实验观察法宝？周线。。。母线。。。平截面假设②几何关系取楔形体O1O2ABCD

为研究对象微段扭转变形

dj外表面有距轴线

处有说明

与。。。——。。。，同截面上各点都一样。③物理关系剪切胡克定律：代入上式得：方向如何？ρρ记：称：极惯性矩Polarmomentofinertiaforcrosssection

单位:m4

T④平衡关系扭转切应力最大切应力当式中抗扭截面系数;单位m3

ρ

max时适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的圆截面直杆Ip和Wt的计算a.对于实心圆截面：D

d

Ob.对于空心圆截面：dDO

d

2、强度条件[

]=（0.55～0.6）[

]——塑性材料[

]=（0.8～1.0）[

l]——脆性材料Why?Ch9解决三方面问题{强度校核（checkthestrength）设计截面（determinetherequireddimensions

）许可载荷（determinetheallowableload

）几点说明：①用于圆截面，小锥角（＜5°）亦可②线弹性③加载点不适用④阶梯轴、变截面轴

max不一定对应Tmax例5-3已知:传动轴如图：MB=MC=320N·m，MA=1270N·m,MD=630N·m，

d=50mm，[

]=70MPa校核强度MDBADCMAMBMC解:（1）作扭矩图T(N.m)320640630

（2）校核强度=26.09MPa<[

]∴安全例5-4已知：一等截面圆轴，T=1.5kN

.

m，[

]

=

50MPa，试根据强度条件设计实心圆轴与

=0.9的空心圆轴。并求两轴的重量之比。解：1.确定实心圆轴直径可取2.确定空心圆轴内、外径3.重量比较空心轴远比实心轴轻可取§5.5圆轴扭转变形和刚度条件1、扭转变形公式由知：长为

l一段杆两截面间相对扭转角

为若l段内，T和截面为常，则剪切胡克定律又一形式测G实验依据符号？会正确使用2、刚度条件

与l有关。为了消除l的影响，引入

，叫做。。。orGIp？recallEA；previewEIz解决三方面问题{刚度校核设计截面许可载荷会正确使用

和

公式！！！例5-5长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，G=80GPa，许用切应力[

]=30MPa，试设计杆的外径；若[

]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面扭转角。解：①设计杆的外径m=20Nm/m2m40N·mxT代入数值得：D

0.0226m②由扭转刚度条件校核刚度m=20Nm/m2m40N·mxT③右端面转角为：例5-6某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率P1=400kW，输出功率分别P2=160kW及P3=240kW，已知：G=80GPa，[

]=70MPa，[

]=1º/m，试确定：①AB段直径d1和BC段直径d2

？②若全轴选同一直径，应为多少？③主动轮与从动轮如何安排合理？解：由外力偶矩关系，得扭矩如图：

500400P1P3P2ACBTx–7.64–4.58(kN·m)

按刚度条件

直径d1的选取

按强度条件

按刚度条件

直径d2的选取

按强度条件

∴选同一直径时将主动轮装在两从动轮之间受力合理由前述分析可知，轴类零件刚度条件比强度条件更为重要。例5-7某等截面圆轴AB，两端fixed，MC=m，求支反力偶矩。解：分析受力如图；一次超静定。怎么解？附录I平面图形的几何性质§I.1概述Q：影响力学响应的因素？A：因素包括：载荷、材料、几何性质拉压杆：

圆轴：

梁的几何性质对变形的影响FF竖放横放一、静矩（面积矩）1、定义：dA对y轴的静矩:2、量纲：［长度］3；单位：m3、cm3、mm3。dA对z轴的静矩:3、静矩可以为正、负或零。§I.2静矩和形心4、静矩和形心的关系

可知静矩和形心的关系由平面图形的形心公式结论：图形对过形心的轴的静矩为零。

若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。例I-1已知：平面图形-矩形h、b、a，求对y、z轴的静矩。解：例I-2解由对称性dyRyz求图示半圆的Sy,Sz

和形心zc=0,Sy

=0由图zyCyC二、简单图形的形心1、形心坐标公式：2、形心确定的规律：（1）图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。（2）图形有两个对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处。三、组合图形（由若干个基本图形组合而成的图形）的静矩：四、组合图形的形心：

利用基本图形的结果，可使组合图形的形心计算简单。基本图形----指面积、形心位置已知的图形

二、极惯性矩一、惯性矩所以§I.3惯性矩、极惯性矩和惯性积zyOdAzy

dA对y轴的惯性矩:dA对z轴的惯性矩:dA对O点的极惯性矩:二次矩，正定，单位:m4显然，图形分布距离某轴越远，对该轴的惯性矩就越大。三、惯性半径：四、惯性积

1、定义：2、单位：m4、mm4。3、惯性积是对轴而言。4、惯性积的取值可正、负、零。5、规律：

两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则图形对这一对坐标轴的惯性积为零。zyOdAzy

解：bhzyCydy例I-3求矩形截面对其对称轴z,y轴的惯性矩。

yzd解：因为截面对其圆心O的极惯性矩为例I-4求圆形截面对其对称轴的惯性矩。所以解：已知：图形截面积A，形心坐标yc、zc

、Izc、Iyc、a、b已知。zc轴平行于z轴；yc轴平行于y轴，求：Iz、Iy。§I.4平行移轴公式C(b,a)bayCzCzy说明：1、图形对一轴的惯性矩，等于对平行于此轴的形心轴的惯性矩，加上图形面积与此二轴距离平方的乘积；2、在一组平行的轴中，图形对其形心轴的惯性矩最小；4、惯性积公式中a,b为形心坐标，注意其正负号