《高中数学选择性必修三》考点专题训练与答案解析

《高中数学选择性必修三》考点专题训练《6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》考点训练【题组一分类加法计数原理】1．某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有（）A．32种B．9种C．12种D．20种2．从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地到丙地的走法种数（）A．8B．6C．5D．23．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有（）A．24种B．9种C．3种D．26种4．现有高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名.从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛，有多少种不同的选法（）A．60B．45C．30D．125．若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如：232，114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第22个“单重数”是（）A．166B．171C．181D．1886.某玩具厂参加2021年邯郸园博园产品展出，带了四款不同类型不同价格的玩具牛，它们的价格费你别是20，30，50，100，某礼品进货商想趁牛年之际搞一个玩具特卖会，准备买若干款不同类型的玩具样品（每款只购一只，且必须至少买一款），因信用卡出现故障，身上现金只剩170元，请问该礼品进货商购买玩具样品的方案有___种（用数字表示）.7．某同学从4本不同的科普杂志、3本不同的文摘杂志、2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有_______________种【题组二分步乘法计数原理】1．某演讲比赛候选人中高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名，从每个年级中各选1人参加市团委组织的演讲比赛，则不同的选法有（）A．60种B．45种C．30种D．12种2．将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务，不同的分配方案有（）A．12种B．9种C．8种D．6种3．从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（）A．7B．9C．12D．164．有6位同学报名参加三个数学课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有（）A．B．C．D．5．现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A．150种B．180种C．240种D．120种6．已知某体育场有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为__.7．一电路图如图所示，从到共有__________条不同的线路可通电.8．现有6名选手参加才艺比赛，其中男、女选手各3名，且3名男选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术，3名女选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术，若要求相邻出场的选手性别不同且表演的节目不同，则不同的出场方式的种数为（）A．6B．12C．18D．24【题组三两个计数原理综合运用】1．现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有__________种不同着色方法2．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．已知顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，顾客丁用哪种结账方式都可以．若甲乙丙丁购物后依次结账，则他们结账方式的组合种数共________种．3．已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有种4．现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案有______种.5．假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖（219）元的货款，则有________种不同的支付方式.6．己知六个函数:①;②;③;④;⑤;⑥,从中任选三个函数,则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有_______种.7．有一项活动，需要在3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加.（1）若只需选1人参加，则有多少种不同的选法？（2）若需要老师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？（3）若需要1名老师、1名学生参加，则有多少种不同的选法？答案解析【题组一分类加法计数原理】1．某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有（）A．32种B．9种C．12种D．20种【答案】C【解析】从8名男生4名女生选取一名当组长，是男生的选法有8种，是女生选法的有4种，共有12种.故选：C.2．从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地到丙地的走法种数（）A．8B．6C．5D．2【答案】A【解析】由题意分两种情况讨论：一是从甲地经过乙地到丙地，因为从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，所以从甲地到丙地的走法有种，二是从甲地不经过乙地到丙地，因为从甲地不经过乙地到丙地有2条所以从甲地到丙地的走法有2种，故从甲地到丙地的走法共有种，故选：A3．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有（）A．24种B．9种C．3种D．26种【答案】B【解析】某同学从4本不同的科普杂志任选1本，有4种不同选法，从3本不同的文摘杂志任选1本，有3种不同的选法，从2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本，有2种不同的选法，根据分类加法原理可得，该同学不同的选法有：种.故选：B.4．现有高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名.从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛，有多少种不同的选法（）A．60B．45C．30D．12【答案】D【解析】因为三个年级共有名学生，由分类加法计数原理可得：从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛，共有种不同的选法.故选：D.5．若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如：232，114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第22个“单重数”是（）A．166B．171C．181D．188【答案】B【解析】由题意可得：不超过200的数，两个数字一样同为0时，有100，200有2个，两个数字一样同为1时，有110，101，112，121，113，131，一直到191，119，共18个，两个数字一样同为2时，有122，有1个同理，两个数字一样同为3，4，5，6，7，8，9时各1个，综上，不超过200的“单重数”共有，其中最大的是200，较小的依次为199，191，188，181，177，171，故第22个“单重数”为171，故选：B.6.某玩具厂参加2021年邯郸园博园产品展出，带了四款不同类型不同价格的玩具牛，它们的价格费你别是20，30，50，100，某礼品进货商想趁牛年之际搞一个玩具特卖会，准备买若干款不同类型的玩具样品（每款只购一只，且必须至少买一款），因信用卡出现故障，身上现金只剩170元，请问该礼品进货商购买玩具样品的方案有___种（用数字表示）.【答案】13【解析】依题意，每款只购一只，且必须至少买一款，且消费金额不能超过170元，故可分为以下几种情况：①只购买一款玩具样品，共四种方案②购买两款玩具样品，买20和30的各一只；买20和50的各一只；买20和100的各一只；买30和50的各一只；买30和100的各一只；买50和100的各一只；共六种方案；③购买三款玩具样品买20，30和50的各一只；买20，30和100的各一只；买20、50和100的各一只；共3种方案；所以购买玩具的方案共有13种；故答案为：137．某同学从4本不同的科普杂志、3本不同的文摘杂志、2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有_______________种【答案】9【解析】根据题意，选取的杂志可分三类：科普，文摘，娱乐新闻．共种不同选法．故答案为：9.【题组二分步乘法计数原理】1．某演讲比赛候选人中高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名，从每个年级中各选1人参加市团委组织的演讲比赛，则不同的选法有（）A．60种B．45种C．30种D．12种【答案】A【解析】由乘法计数原理可得共有种不同的选法．故选：A.2．将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务，不同的分配方案有（）A．12种B．9种C．8种D．6种【答案】C【解析】每名防控新冠疫情志愿者都有两种不同的分配方法，根据分步计数原理可知，不同的分配方案总数为种.故选：C3．从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（）A．7B．9C．12D．16【答案】C【解析】根据题意分两步完成任务：第一步：从A地到C地，有3种不同的走法；第二步：从C地到B地，有4种不同的走法，根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数：种，故选：C.4．有6位同学报名参加三个数学课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，第一个同学有3种报法，第二个同学有3种报法，后面的四个同学都有三种报法，根据分步计数原理知共有种结果，故选：．5．现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A．150种B．180种C．240种D．120种【答案】B【解析】分步涂色，第一步对涂色有5种方法，第二步对涂色有4种方法，第三步对涂色有3种方法，第四步对涂色有3种方法，∴总的方法数为．故选：B．6．已知某体育场有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为__.【答案】12【解析】根据题意，某体育场有4个门，从一个门进，有4种走法，另一个门出，有3种走法，则有种不同的走法.故答案为：12.7．一电路图如图所示，从到共有__________条不同的线路可通电.【答案】8【解析】根据电路图可知，共有条不同的线路可通电.故答案为：88．现有6名选手参加才艺比赛，其中男、女选手各3名，且3名男选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术，3名女选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术，若要求相邻出场的选手性别不同且表演的节目不同，则不同的出场方式的种数为（）A．6B．12C．18D．24【答案】B【解析】设3名男选手分别为,,,他们分别表演歌唱,舞蹈和魔术,3名女选手分别为,,,她们分别表演歌唱,舞蹈和魔术,若第一个出场的是,则第二个出场的只能是或,若第二个出场的是,则接下来的出场顺序只能是,,,,同理,若第二个出场的是,则接下来的出场顺序只能是,,,,所以若第一个出场,则不同的出场方式有2种,故不同的出场方式共有（种）,故选:B【题组三两个计数原理综合运用】1．现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有__________种不同着色方法【答案】【解析】先排，有种方法；然后排，最后排：①当相同时，方法有种，故方法数有种.②当不同时，方法有种，故方法数有种.综上所述，不同的着色方法数有种.故答案为：2．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．已知顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，顾客丁用哪种结账方式都可以．若甲乙丙丁购物后依次结账，则他们结账方式的组合种数共_____种．【答案】20【解析】当乙用现金结算时，此时甲和乙都用现金结算，所以丙有3种方法，丁有4种方法，共有种方法，当乙用银联卡结算时，此时甲用现金结算，丙有2种方法，丁有4种方法，共有种方法，综上，共有种方法.故答案为：20.3．已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有种【答案】20【解析】当乙用现金结算时，此时甲和乙都用现金结算，所以丙有3种方法，丁有4种方法，共有种方法；当乙用银联卡结算时，此时甲用现金结算，丙有2种方法，丁有4种方法，共有种方法，综上，共有种方法.故选：D4．现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案有______种.【答案】144【解析】第一步，对区域1进行涂色，有4种颜色可供选择，即有4种不同的涂色方法；第二步，对区域2进行涂色，区域2与区域1相邻，有3种颜色可供选择，即有3种不同的涂色方法；第三步，对区域3进行涂色，区域3与区域1、区域2相邻，有2种颜色可供选择，即有2种不同的涂色方法；第四步，对于区域4进行涂色，区域4与区域2、区域3相邻，有2种颜色可供选择，即有2种不同的涂色方法；第五步，对区域5进行涂色，若其颜色与区域4相同，则区域6有2种涂色方法，若其颜色与区域4不同，则区域6只有1种涂色方法，故区域5，6共有种涂色方法，由分步乘法计数原理知，不同的涂色方案的种数为.故答案为：1445．假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖（219）元的货款，则有________种不同的支付方式.【答案】6【解析】9元的支付有两种情况，或者，①当9元采用方式支付时，200元的支付方式为，或者或者共3种方式，10元的支付只能用1张10元，此时共有种支付方式；②当9元采用方式支付时：200元的支付方式为，或者或者共3种方式，10元的支付只能用1张10元，此时共有种支付方式；所以总的支付方式共有种．故答案为：6．6．己知六个函数:①;②;③;④;⑤;⑥,从中任选三个函数,则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有_______种.【答案】【解析】对于①,因为,定义域为且满足,故为偶函数;对于②,因为,定义域为且满足,故为偶函数;对于③,因为,定义域为,故非奇非偶函数;对于④,因为,定义域为且满足,故为奇函数;对于⑤,因为,定义域为且满足,故为奇函数;对于⑥,因为,根据函数图象可知为非奇非偶函数.综上所述,函数中奇函数的有④⑤,偶函数的有①②,③⑥为非奇非偶函数.任选3个函数,既有奇函数又有偶函数的情况分类讨论:当选1奇和偶时,种;当选2奇和偶时,种;当选1奇,偶,非奇非偶时,种.一共有种选法.故答案为:.7．有一项活动，需要在3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加.（1）若只需选1人参加，则有多少种不同的选法？（2）若需要老师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？（3）若需要1名老师、1名学生参加，则有多少种不同的选法？【答案】（1）16；（2）120；（3）39.【解析】（1）需一人参加，有三类：第一类选老师，有3种不同的选法；第二类选男生，有8种不同的选法；第三类选女生，有5种不同的选法.共有种不同的选法；（2）需老师、男同学、女同学各一人，则分3步，第一步选老师，有3种不同的选法；第二步选男生，有8种不同的选法；第三步选女生，有5种不同的选法.共有种不同的选法；（3）第一步选老师有3种不同的选法，第二步选学生有种不同的选法，共有种不同的选法.《6.2.1排列及排列数》考点训练【题组一排列数】1.已知，则（）A．11B．12C．13D．142．设m∈N*，且m＜25，则（20﹣m）（21﹣m）…（26﹣m）等于（）A．B．C．D．3．（多选）由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是（）A．B．C．D．4．下列等式中，错误的是（）A．B．C．D．5．若，则的值为（）A．5B．6C．7D．86．设，，则等式中______．7．已知，那么________.8．已知，则为__________.9．已知则，则________；计算________.12．（1）解不等式；（2）解方程.【题组二排队问题】1．5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为（）A．B．C．D．2．5名同学合影，其中3位男生，2位女生，站成了一排，要求3位男生不相邻的排法有（）A．12种B．10种C．15种D．9种3．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有()A．72种B．108种C．36种D．144种4．某记者要去武汉4个学校采访，则不同的采访顺序有（）A．4种B．12种C．18种D．24种5．某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有（）A．320种B．360种C．370种D．390种6．6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则有（）种排法.A．24B．120C．240D．1407．某校迎新晚会上有个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．种B．种C．种D．种8．3名男生､3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为（）A．B．C．D．9．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)10.某年级举办线上小型音乐会，由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目丙必须排在节目乙的下一个，则该小型音乐会节目演出顺序的编排方案共有______种.(用数字作答)11．已知4名学生和2名教师站在一排照相，求：（1）两名教师必须排中间，有多少种排法？（2）两名教师必须相邻且不能排在两端，有多少种排法？12．5个男同学和4个女同学站成一排（1）4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？（3）其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？（4）男生和女生相间排列方法有多少种？13．一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单．（1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？（3）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示）14.3男3女共6个同学排成一行．（1）女生都排在一起，有多少种排法？（2）任何两个男生都不相邻，有多少种排法？（3）男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2名女生，女生又不能排在队伍的两端，有多少种排法？【题组三数字问题】1．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（）A．36B．72C．600D．4802．用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有________.3．由0，1，2，3组成的没有重复数字的四位数有________个；4．由组成没有重复数字且都不与相邻的六位偶数的个数是________5．用数字组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为____．6.用0，1，2，3这4个数字组成是偶数的四位数，这样的数共有_____个.7．把1､2､3､4､5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一个数列.（1）45312是这个数列的第几项？（2）这个数列的第71项是多少？（3）求这个数列的各项和.8．用、、、、这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如、等都是“凹数”，试求“凹数”的个数．答案解析【题组一排列数】1.已知，则（）A．11B．12C．13D．14【答案】B【解析】∵，∴，整理，得，；解得，或(不合题意，舍去)；∴的值为12.故选：B.2．设m∈N*，且m＜25，则（20﹣m）（21﹣m）…（26﹣m）等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，（20﹣m）（21﹣m）…（26﹣m），故选：A．3．（多选）由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】对于A，如果个位是0，则有个无重复数字的偶数；如果个位不是0，则有个无重复数字的偶数，所以共有个无重复数字的偶数，故A正确；对于B，由于，所以，故B正确；对于C，由于，所以，故C错误；对于D，由于，故D正确.故选：ABD.4．下列等式中，错误的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】通过计算得到选项A,B,D的左右两边都是相等的.对于选项C,,所以选项C是错误的.故答案为C.5．若，则的值为（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】由，得，且所以即或舍去）.故选：A6．设，，则等式中______．【答案】【解析】，，解得：.故答案为：.7．已知，那么________.【答案】7【解析】∵，∴，，化为：，解得，故答案为：7.8．已知，则为__________.【答案】77【解析】已知，，，，，则.故答案为：77．9．已知则，则________；计算________.【答案】12726【解析】(1)，即，所以；(2)由题可知，，所以故答案为：(1).12(2).72612．（1）解不等式；（2）解方程.【答案】（1）8(2)3【解析】（1）由，得，化简得x2－19x＋84<0，解之得7<x<12，①又∴2<x≤8，②由①②及x∈N*得x＝8.（2）因为所以x≥3，，由得(2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2).化简得，4x2－35x＋69＝0，解得x1＝3，(舍去).所以方程的解为x＝3.【题组二排队问题】1．5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将5人随机排成一列，共有种排列方法；当甲、乙不相邻时，先将5人中除甲、乙之外的3人排成一列，然后将甲、乙插入，故共有种排列方法，则5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为.故选：C.2．5名同学合影，其中3位男生，2位女生，站成了一排，要求3位男生不相邻的排法有（）A．12种B．10种C．15种D．9种【答案】A【解析】首先排女生，再排男生，然后再根据插空法可得：.故选：A3．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有()A．72种B．108种C．36种D．144种【答案】D【解析】：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有种方法，再与另一个男生排列，则有种方法，三名女生任选两名“捆绑”，有种方法，再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有种方法，利用分步乘法原理，共有种.故选：D．4．某记者要去武汉4个学校采访，则不同的采访顺序有（）A．4种B．12种C．18种D．24种【答案】D【解析】由题意可得不同的采访顺序有种，故选：D.5．某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有（）A．320种B．360种C．370种D．390种【答案】B【解析】由题意分步进行安排：第一步：从6名优秀干部中任选4人，并排序到周一至周四这四天，有种排法；第二步：剩余两名干部排在周五，只有1种排法.故不同的安排方法共有种.故选：B.6．6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则有（）种排法.A．24B．120C．240D．140【答案】C【解析】将2名女生捆绑在一起，当作1个元素，与另4名男生一起作全排列，有种排法，而2个女生可以交换位置，所以共有排法，故选：C.7．某校迎新晚会上有个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．种B．种C．种D．种【答案】A【解析】先考虑将丙、丁排在一起的排法种数，将丙、丁捆绑在一起，与其他四人形成五个元素，排法种数为，利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的，因此，该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有种，故选A.8．3名男生､3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意男生一起有排法，女生一起有排法，一共有种排法，故选：C.．9．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)【答案】【解析】将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有＝5×4×3＝60(种)．10.某年级举办线上小型音乐会，由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目丙必须排在节目乙的下一个，则该小型音乐会节目演出顺序的编排方案共有______种.(用数字作答)【答案】42【解析】由题意知，甲的位置影响乙的排列，∴①甲排在第一位共有种，②甲排在第二位共有种，∴故编排方案共有种.故答案为：42.11．已知4名学生和2名教师站在一排照相，求：（1）两名教师必须排中间，有多少种排法？（2）两名教师必须相邻且不能排在两端，有多少种排法？【答案】（1）48种；（2）144种.【解析】解：（1）先排教师有种方法，再排学生有种方法，则，答：两名教师必须排中间，共有48种排法.（2），答：两名教师必须相邻且不能排在两端，共有144种排法.12．5个男同学和4个女同学站成一排（1）4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？（3）其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？（4）男生和女生相间排列方法有多少种？【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）4个女同学必须站在一起，则视4位女生为以整体，可得排法为；（2）先排5个男同学，再插入女同学即可，所以排法为：；（3）根据题意可得排法为：；（4）5个男生中间有4个空，插入女生即可，故有排法.13．一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单．（1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？（3）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法；（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为；（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有．14.3男3女共6个同学排成一行．（1）女生都排在一起，有多少种排法？（2）任何两个男生都不相邻，有多少种排法？（3）男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2名女生，女生又不能排在队伍的两端，有多少种排法？【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）将3名女生看成一个整体，就是个元素的全排列，有种排法，又3名女生内部有种排法，所以共有种排法.（2）女生先排，女生之间以及首尾共有个空隙，任取其中个安插男生即可，所以任何两个男生都不相邻的排法共有种排法.（3）先选个女生排在男生甲、乙之间，有种排法，又甲、乙有种排法，这样就有种排法，然后把他们人看成一个整体（相当于一个男生），这一元素以及另名男生排在首尾，有种排法，最后将余下的女生排在中间，有种排法，故总排法为种排法，【题组三数字问题】1．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（）A．36B．72C．600D．480【答案】D【解析】根据题意将进行全排列，再将插空得到个.故选：.2．用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有________.【答案】72【解析】用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，共有个；三个奇数中仅有两个相邻；其对立面是三个奇数都相邻或者都不相邻；当三个奇数都相邻时，把这三个奇数看成一个整体与2和4全排列共有个；三个奇数都不相邻时，把这三个奇数分别插入2和4形成的三个空内共有个；故符合条件的有；故答案为：．3．由0，1，2，3组成的没有重复数字的四位数有________个；【答案】18；【解析】因为第一个数字不能为0，所以先排第一个数字，再把剩下的三个数字排列，则一共有种排法.故答案为：18.4．由组成没有重复数字且都不与相邻的六位偶数的个数是________【答案】108【解析】先确定个位数为偶数，有3种方法，再讨论：若5在首位或十位，则1，3有三个位置可选，其排列数为;若5在百位、千位或万位，则1，3有两个位置可选，其排列数为;从而所求排列数为5．用数字组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为____．【答案】【解析】要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排中的一个数，共有3种排法，然后还剩个数，剩余的个数可以在十位到万位个位置上全排列，共有种排法，由分步乘法计数原理得，由组成的无重复数字的五位数中奇数有个.故答案为：.6.用0，1，2，3这4个数字组成是偶数的四位数，这样的数共有_____个.【答案】【解析】解：个位是0，有个；个位不是0，有个，故共有个．故答案为：.7．把1､2､3､4､5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一个数列.（1）45312是这个数列的第几项？（2）这个数列的第71项是多少？（3）求这个数列的各项和.【答案】（1）第95项；（2）第71项是3开头的五位数中第二大的数；（3）.【解析】（1）先考虑大于45312的数，分为以下两类：第一类5开头的五位数有：第二类4开头的五位数有：45321一个∴不大于45312的数有：(个)即45312是该数列中第95项.（2）1开头的五位数有：2开头的五位数有：3开头的五位数有：共有(个).所以第71项是3开头的五位数中第二大的数，即35412.（3）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有个五位数，所以万位数上的数字之和为同理，它们在千位，百位，十位，个位上也都有个五位数，所以这个数列的各项和为.8．用、、、、这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如、等都是“凹数”，试求“凹数”的个数．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）偶数分为二类：若个位数，则共有个；若个位数是或，则首位数不能为，则共有个；所以，符合条件的三位偶数的个数为；（2）“凹数”分三类：若十位是，则有个；若十位是，则有个；若十位是，则有个；所以，符合条件的“凹数”的个数为．《6.2.2组合及组合数》考点训练【题组一组合的概念】1．下列问题不是组合问题的是()A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？2.给出下列问题：(1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？(2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？(6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？【题组二组合数】1．已知，（）A．1B．mC．D．02．下列等式中，错误的是（）A．B．C．D．3．（）．A．B．C．D．4．若，则（）A．5B．8C．7D．65．（多选）关于排列组合数，下列结论正确的是（）A．B．C．D．6．计算的值为__________．（用数字作答）7．求值：（1）；（2）.【题组三组合应用】1．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（）A．36种B．40种C．44种D．48种2．从3名男生和4名女生中各选2人组成一队参加数学建模比赛，则不同的选法种数是（）A．12B．18C．35D．363．已知集合，则集合各子集中元素之和为（）A．320B．240C．160D．84．、两社区需要招募义务宣传员，现有、、、、、六位大学生和甲、乙、丙三位教师志愿参加，现将他们分成两个小组分别派往、两社区开展疫情防控宣传工作，要求每个社区都至少安排1位教师及2位大学生，且由于工作原因只能派往社区，则不同的选派方案种数为（）A．120B．90C．60D．305．已知一个不透明的袋子里共有15个除了颜色外其他质地完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，若从口袋里一次任取2个球，则“所取得2个球中至少有1个白球”的概率为（）A．B．C．D．6．中央电视台总台推出的《中国诗词大会》节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为宗旨，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识竞赛，现组委会要从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取2人进行比拼，则甲、乙二人至少有一人被选上的概率为（）A．0.6B．0.7C．0.8D．0.97．现准备将6本不同的书全部分配给5个不同的班级，其中甲乙两个班级每个班至少2本，其他班级允许1本也没有，则不同的分配方案有________种.(用数字作答)8．小明一家想从北京、济南、上海、广州四个城市中任选三个城市作为2018年暑假期间的旅游目的地,则济南被选入的概率是________.9．袋中有3个红球，2个白球，现从中取出3个球，则取到的红球个数为2的概率为_________.10．2020年国庆档上映的影片有《夺冠》，《我和我的家乡》，《一点就到家》，《急先锋》，《木兰·横空出世》，《姜子牙》，其中后两部为动画片．甲、乙两位同学都跟随家人观影，甲观看了六部中的两部，乙观看了六部中的一部，则甲、乙两人观看了同一部动画片的概率为________．11．已知7件产品中有5件合格品，2件次品.为找出这2件次品，每次任取一件检验，检验后不放回，则“恰好第一次检验出正品且第五次检验出最后一件次品”的概率为____.12．一个盒子里装有7个大小､形状完成相同的小球，其中红球4个，编号分别为1，2，3，4，黄球3个，编号分别为1，2，3，从盒子中任取4个小球，其中含有编号为3的不同取法有________种.13．某校开展一次网络科普讲座.高三年级男生60人，女生40人参加.按分层抽样的方法，在100名同学中选出5人，则男生中选出________人.再从此5人中选出两名同学作为联络人，则这两名联络人中男女都有的概率是________.（第1空2分，第2空3分）答案解析【题组一组合的概念】1．下列问题不是组合问题的是()A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？【答案】D【解析】组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D.2.给出下列问题：(1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？(2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？(6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？【答案】见解析【解析】(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题．(6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题．【题组二组合数】1．已知，（）A．1B．mC．D．0【答案】D【解析】.故选：D2．下列等式中，错误的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】通过计算得到选项A,B,D的左右两边都是相等的.对于选项C,,所以选项C是错误的.故答案为C.3．（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以．故选：B4．若，则（）A．5B．8C．7D．6【答案】A【解析】∵，∴，即，求得，或（舍去），故选：A.5．（多选）关于排列组合数，下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】根据组合数的性质或组合数的计算公式，可知A，B选项正确；，而，故C选项错误；，故D选项正确；故选：ABD.6．计算的值为__________．（用数字作答）【答案】【解析】由组合数的基本性质可得.故答案为：.7．求值：（1）；（2）.【答案】（1）31464；（2）.【解析】（1）（2）【题组三组合应用】1．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（）A．36种B．40种C．44种D．48种【答案】B【解析】根据题意，将9个数分为2组，一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数：2､4､6､8，若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，有种情况，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，有种情况，则和为奇数的情况有种.故选：B.2．从3名男生和4名女生中各选2人组成一队参加数学建模比赛，则不同的选法种数是（）A．12B．18C．35D．36【答案】B【解析】先从3名男生中选出2人有种，再从4名女生中选出2人有种，所以共有种，故选：B3．已知集合，则集合各子集中元素之和为（）A．320B．240C．160D．8【答案】B【解析】当集合的子集为空集时，各元素之和为0；当集合的子集含有1个元素时，共有个集合，1、2、3、4、5各出现1次；当集合的子集含有2个元素时，共有个集合，1、2、3、4、5各出现4次；当集合的子集含有3个元素时，共有个集合，1、2、3、4、5各出现6次；当集合的子集含有4个元素时，共有个集合，1、2、3、4、5各出现4次；当集合的子集含有5个元素时，共有个集合，1、2、3、4、5各出现1次；所以集合各子集中，1、2、3、4、5各出现了次，所以集合各子集中元素之和为.故选：B.4．、两社区需要招募义务宣传员，现有、、、、、六位大学生和甲、乙、丙三位教师志愿参加，现将他们分成两个小组分别派往、两社区开展疫情防控宣传工作，要求每个社区都至少安排1位教师及2位大学生，且由于工作原因只能派往社区，则不同的选派方案种数为（）A．120B．90C．60D．30【答案】C【解析】由于B只能派往M社区，所以分组时不用考虑B.按照要求分步将大学生和教师分为两组，再分别派往两个社区.第一步：按题意将剩余的5位大学生分成一组2人，一组3人，有种，第二步：按题意将3位大学生分成一组1人，一组2人，有种，再分别派往两个社区的不同选派种数：种，故选：C。5．已知一个不透明的袋子里共有15个除了颜色外其他质地完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，若从口袋里一次任取2个球，则“所取得2个球中至少有1个白球”的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】据题意知，所求概率.故选：B.6．中央电视台总台推出的《中国诗词大会》节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为宗旨，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识竞赛，现组委会要从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取2人进行比拼，则甲、乙二人至少有一人被选上的概率为（）A．0.6B．0.7C．0.8D．0.9【答案】B【解析】总的基本事件个数为，甲、乙二人都没有被选上的基本事件有，甲、乙二人都没有被选上的概率为，则甲、乙二人至少有一人被选上的概率为，故选：7．现准备将6本不同的书全部分配给5个不同的班级，其中甲乙两个班级每个班至少2本，其他班级允许1本也没有，则不同的分配方案有________种.(用数字作答)【答案】1220【解析】由题可知，分配方式可分为以下情况：甲分2本，乙分4本，则有种，甲分3本，乙分3本，则有种，甲分4本，乙分2本，则有种，甲分2本，乙分3本，剩下的1本分给其它3个班的1个班，则有种，甲分3本，乙分2本，剩下的1本分给其它3个班的1个班，则有种，甲分2本，乙分2本，剩下的2本分给其它3个班的1个班，则有种，甲分2本，乙分2本，剩下的2本分给其它3个班的2个班，则有种，则不同的分配方案共有种.故答案为：1220.8．小明一家想从北京、济南、上海、广州四个城市中任选三个城市作为2018年暑假期间的旅游目的地,则济南被选入的概率是________.【答案】【解析】四个城市任选三个城市选择方法有；其中有济南入选，从另外三个城市选两个，则有种选法根据组合数计算公式得9．袋中有3个红球，2个白球，现从中取出3个球，则取到的红球个数为2的概率为_________.【答案】【解析】从个球中取个球的情况数有：种，个球中有个红球的情况数有：种，所以取到的红球数为的概率为：，故答案为：.10．2020年国庆档上映的影片有《夺冠》，《我和我的家乡》，《一点就到家》，《急先锋》，《木兰·横空出世》，《姜子牙》，其中后两部为动画片．甲、乙两位同学都跟随家人观影，甲观看了六部中的两部，乙观看了六部中的一部，则甲、乙两人观看了同一部动画片的概率为________．【答案】【解析】甲观看了六部中的两部共有种，乙观看了六部中的一部共有种，则甲、乙两人观影共有种，则甲、乙两人观看同一部动画片共有种，所以甲、乙两人观看了同一部动画片的概率为，故答案为：11．已知7件产品中有5件合格品，2件次品.为找出这2件次品，每次任取一件检验，检验后不放回，则“恰好第一次检验出正品且第五次检验出最后一件次品”的概率为______.【答案】【解析】由题意，7件产品中有5件合格品，则两件次品的位置，共有种取法，因为恰好第五次取出最后一件次品，可得另一件次品只能排2，3，4位，共有种取法，所以概率为.故答案为：.12．一个盒子里装有7个大小､形状完成相同的小球，其中红球4个，编号分别为1，2，3，4，黄球3个，编号分别为1，2，3，从盒子中任取4个小球，其中含有编号为3的不同取法有________种.【答案】30【解析】从反面考虑，总数为,不含有编号为3的总数为,所以含有编号为3的总数为.故答案为：30.13．某校开展一次网络科普讲座.高三年级男生60人，女生40人参加.按分层抽样的方法，在100名同学中选出5人，则男生中选出________人.再从此5人中选出两名同学作为联络人，则这两名联络人中男女都有的概率是________.（第1空2分，第2空3分）【答案】3【解析】按分层抽样的方法，在100名同学中选出5人，则男生中选人，女生中选2人；从此5人中选出两名同学作为联络人，设这两名联络人中男女都有为事件A，则.故答案为：3；《6.2.3排列组合的综合运用》考点训练【题组一全排列】1．一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为()A．4B．C．24D．482．名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有________种.3．若把英文单词“hello”的字母的顺序写错了，则可能出现的错误共有_________种．4．将9个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，且每个盒子中球的个数互不相同，则不同的分配方法共有________种.5．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，则不同的排法有_____种.（用数字作答）6．我国决定派遣具有丰富抗击疫情经验的四支不同的医疗队、、、，前往四个国家、、、进行抗疫技术指导，每支医疗队到一个国家，那么总共有______（请用数字作答）种的不同的派遣方法.如果已知医疗队被派遣到国家，那么此时医疗队被派遣到国的概率是______.【题组二相邻问题】1．小涛、小江、小玉与本校的另外2名同学一同参加《中国诗词大会》的决赛，5人坐成一排，若小涛与小江、小玉都相邻，则不同坐法的总数为（）A．6B．12C．18D．242．将A，B，C，D，E，F这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A，B，C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为（）A．B．C．D．3．个男生，个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法种数为A．B．C．D．4．各地医护人员分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号为1，2，3，4，5，6号，要求到达武汉天河飞机场时，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落，则不同的安排方法有（）A．60B．120C．144D．2405．3名男生､3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为（）A．B．C．D．6．三位女歌手和她们各自的指导老师合影，要求每位歌手与她们的老师站一起，这六人排成一排，则不同的排法数为（）A．24B．48C．60D．96【题组三不相邻问题】1．六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为（）A．B．C．D．2．将编号为、、、、的个小球全部放入、、三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（）A．B．C．D．3．某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（）A．72种B．48种C．36种D．24种4．5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为（）A．B．C．D．5.某活动中需要甲、乙、丙、丁4名同学排成一排．若甲、乙两名同学不相邻，则不同的排法种数为_________．（用数字作答）6．2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有______种.7．将，，，，五个字母排成一排，若与相邻，且与不相邻，则不同的排法共有__种.8．某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是___________【题组四分组分配】1．将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法．2．将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答)3.五一劳动节期间，5名游客到三个不同景点游览，每个景点至少有一人，至多两人，则不同的游览方法共有___________种.(用数字填写答案)4．把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数为________．5．从个人中选个人值班，第一天个人，第二天1个人，第三天2个人，共有多少种排法_________.6．某学校安排5名高三教师去3个学校进行交流学习，且每位教师只去一个学校，要求每个学校至少有一名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有______种.7．某市决定派5名领导和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派领导和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为_________.（用数字作答）．【题组五几何问题】1．直线，将圆面分成若干块，现有5种颜色给这若干块涂色，且任意两块不同色，则所有可能的涂色种数是（）A．20B．60C．120D．2402．表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的三角形个数为（）A．286B．281C．256D．1763．以一个正方体的顶点为顶点的四面体的个数为()A．70B．64C．58D．52【题组六方程不等式问题】1．不定方程的非负整数解的个数为（）A．B．C．D．2．若方程，其中，则方程的正整数解的个数为A．10B．15C．20D．30【题组七数字问题】1．已知集合，从集合中任取2个元素组成集合，则集合中含有元素的概率为（）A．B．C．D．12．如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如1036），则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为（）A．12B．44C．58D．763．从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有______种（用数字作答）.4．已知，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是_______.5．有写好数字2，2，3，3，5，5，7，7的8张卡片，任取4张，则可以组成不同的四位数的个数为_________.6．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．答案解析【题组一全排列】1．一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为()A．4B．C．24D．48【答案】C【解析】一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为.故选：C2．名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有________种.【答案】【解析】由题意参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每个学生有种选择，则名同学共有种报名方案.故答案为：.3．若把英文单词“hello”的字母的顺序写错了，则可能出现的错误共有_________种．【答案】59【解析】由题意知本题是一个排列组合及简单的计数问题五个字母进行全排列共有种结果，字母中包含2个，五个字母进行全排列的结果要除以2，共有60种结果，在这60种结果里有一个是正确的，可能出现的错误的种数是，故答案为：59．4．将9个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，且每个盒子中球的个数互不相同，则不同的分配方法共有________种.【答案】18【解析】将9个相同的球分成个数不同的3份，有（1,2,6），（1,3,5），（2,3,4）三种情况，再将这3份个数不同的球放到3个不同的盒子中，有种情况，所以不同的分配方法共有种.故答案为：185．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，则不同的排法有_____种.（用数字作答）【答案】288【解析】4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，有24种排法；3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，有种排法；2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有种排法.故共有24×6×2＝288种排法.故答案为：288.6．我国决定派遣具有丰富抗击疫情经验的四支不同的医疗队、、、，前往四个国家、、、进行抗疫技术指导，每支医疗队到一个国家，那么总共有______（请用数字作答）种的不同的派遣方法.如果已知医疗队被派遣到国家，那么此时医疗队被派遣到国的概率是______.【答案】【解析】由题意可知，每支医疗队到一个国家的派遣方法数为，由于医疗队被派遣到国家，则医疗队可派遣到其它个国家，因此，医疗队被派遣到国的概率是.故答案为：；.【题组二相邻问题】1．小涛、小江、小玉与本校的另外2名同学一同参加《中国诗词大会》的决赛，5人坐成一排，若小涛与小江、小玉都相邻，则不同坐法的总数为（）A．6B．12C．18D．24【答案】B【解析】解：将小涛与小江、小玉捆绑在一起，与其他两个人全排列，其中小涛位于小江、小玉之间，按照分步乘法计算原理可得故选：B2．将A，B，C，D，E，F这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A，B，C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由捆绑法可得所求概率为.故答案为C3．5个男生，个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法种数为A．B．C．D．【答案】C【解析】两个女生必须相邻，捆绑，女生不能排两端，则从5个男生中任选两人排两端，，剩余3个男生与捆绑在一起的2个女生看成4个元素，排在其余位置，，所以不同的排法种数为：．4．各地医护人员分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号为1，2，3，4，5，6号，要求到达武汉天河飞机场时，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落，则不同的安排方法有（）A．60B．120C．144D．240【答案】D【解析】由题意，因为1号与6号相邻降落，可1号与6号排列后看作一个，同其它飞机进行全排，将则不同的安排方法有种.故选：D.5．3名男生､3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意男生一起有排法，女生一起有排法，一共有种排法，故选：C.．6．三位女歌手和她们各自的指导老师合影，要求每位歌手与她们的老师站一起，这六人排成一排，则不同的排法数为（）A．24B．48C．60D．96【答案】B【解析】先将三位女歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起，记为三个不同元素进行全排，再将各自女歌手和她的指导老师进行全排，则不同的排法数，故选：B.【题组三不相邻问题】1．六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】丙排第一，除甲乙外还有3人，共种排法，此时共有4个空，插入甲乙可得，此时共有种可能；丙排第二，甲或乙排在第一位，此时有排法，甲和乙不排在第一位，则剩下3人有1人排在第一位，则有种排法，此时故共有种排法.故概率.故选：C.2．将编号为、、、、的个小球全部放入、、三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将编号为、、、、的个小球，根据小球的个数可分为、、或、、两组.①当三个盒子中的小球个数分别为、、时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，故个小球的编号只能是、、的在一个盒子里，故只有一种分组方法，再分配到三个盒子，此时共有种分配方法；②当三个盒子中的小球个数分别为、、时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，此时放个小球的盒子中小球的编号分别为、或、或、或、或、或、，共种，再分配到三个盒子中，此时，共有种.综上所述，不同的放法种数为种.故选：A.3．某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（）A．72种B．48种C．36种D．24种【答案】C【解析】首先可将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排)，共有种排法，则后六场开场诗词的排法有种，故选：C.4．个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先将丙与丁捆绑，形成一个“大元素”与戊进行排列，然后再将甲、乙插空，由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种.故选：C.5.某活动中需要甲、乙、丙、丁4名同学排成一排．若甲、乙两名同学不相邻，则不同的排法种数为_________．（用数字作答）【答案】12【解析】先求出甲、乙、丙、丁4名同学排成一排的全排列：；再求出甲、乙两名同学相邻的排列：然后，故答案为：126．2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有______种.【答案】72【解析】根据题意，分2步进行分析：①、将3位男生排成一排，有种情况，②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有种情况，则位女生不相邻的排法有种；故答案为：7．将，，，，五个字母排成一排，若与相邻，且与不相邻，则不同的排法共有__种.【答案】36【解析】依题意，可分三步，先排，，有种方法，产生3个空位，将捆绑有种方法，将捆绑看作一个元素，插入三个空位之一，有种方法，这时、、产生四个空位，最后将插入与不相邻的三个空位之一，有种方法，根据分步乘法计数原理得：共有种，故答案为：36.8．某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是___________【答案】【解析】根据题意，分3步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有种情况，②将这个整体与英语全排列，有种顺序，排好后，有个空位，③数学与物理不相邻，有个空位可选，有种情况，则不同排课法的种数是种；故答案为：.【题组四分组分配】1．将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法．【答案】360【解析】先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本，有种选法；再从余下的5本中选2本，有种选法；最后余下3本全选，有种选法．故共有种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有种分配方法.故答案为:360.2．将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有___种．(用数字作答)【答案】1560【解析】把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种．①有1组3本，