《7.5 正态分布》教案、导学案与同步练习

《7.5正态分布》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第七章《随机变量及其分布列》，本节课主本节课主要学习正态分布本节课是前面学习了离散型随机变量，离散型随机变量的取值是可列的。而连续型随机变量，连续型随机变量是在某个区间内可取任何值。其重要的代表——正态分布。《正态分布》该节内容通过研究频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线，引出拟合的函数式，进而得到正态分布的概念，然后，分析正态曲线的特点和性质，最后研究了它的应用——随机变量落在某个区间的概率。正态分布是描述随机现象的一种最常见的分布，在现实生活中有非常广泛的应用。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特点；3.了解正态分布的均值、方差及其含义；4.了解3σ原则,会求随机变量在特殊区间内的概率.1.数学抽象：正态分布曲线的特点2.逻辑推理：正态分布的概念3.数学运算：求随机变量在特殊区间内的概率4.数学建模：模型化思想【重点与难点】重点：认识分布曲线的特点及曲线所表示的意义.了解3σ原则.难点：.会求随机变量在特殊区间内的概率.【教学过程】教学过程教学设计一、探究新知现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量，不是离散的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续性随机变量，下面我们看一个具体问题.探究1:自动流水线包装的食盐,每袋标准质量为400g.由于各种不可控的因素,任意抽取一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用X表示这种误差,则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中,随机抽取了100袋食盐,获得误差X(单位:g)的观测值如下:-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.20.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.42.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.12.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.53.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.62.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.21.01.31.7-0.9(1).如何描述这100个样本误差数据的分布?(2).如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布?可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布,如右图.所示.频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率,所有小矩形的面积之和为1.观察图形，误差观测值有正有负,并大致对称地分布在X=0的两侧,而且小误差比大误差出现得更频繁.随着样本数据量越来越大,让分组越来越多,组距越来越小,由频率的稳定性可知,规率分布直方图的轮廓就越来越稳定,接近一条光滑的钟形曲线,如右图所示。根据频率与概率的关系，可用以用上图中的钟型曲线来描述袋装食盐质量误差的概率分布.任意抽取一袋盐，误差落在[-2,-1]内的概率，可以用图中黄色阴影部分的面积表示.问题1：由函数知识可知，图中的钟形曲线是一个函数，那么，这个函数是否存在解析式呢？对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如上图所示.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布(normaldis-tribution),记为X~N(u,σ2).特别地,当u=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.正态分布的定义正态分布在概率和统计中占有重要地位,它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中,很多随机变量都服从或近似服从正态分布例如,某些物理量的测量误差某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量自动流水线生产的各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容)某地每年7月的平均气温、平均湿度、降水量等探究2：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？μμx其中μ∈R，σ＞0为参数.由X的密度函数及图像可以发现，正态曲线有以下特点：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.（3）曲线在x=μ处达到峰值1σ（4）当|X|无限增大时，曲线无限接近x轴.（5）X轴与正态曲线所夹面积恒等于1.探究3：观察正态曲线、相应的密度函数及概率的性质，你能发现正态曲线的哪些特点？（1）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.正态分布的期望和方差参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度。概念辨析1、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（）A.曲线b仍然是正态曲线；B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为概率密度曲线的总体的期望大2;D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2。答案：D二、典例解析例1：李明上学有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到,坐公交车平均用时30min，样本方差为36;骑自行车平均用时34min,样本方差为4；假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.(1)估计X,Y的分布中的参数;(2）根据(1)中的估计结果,利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线;(3）如果某天有38min可用，李明应选择哪种交通工具?如果某天只有34min可用,又应该选择哪种交通工具?请说明理由.分析:对于第(1)问,正态分布由参数μ和σ完全确定,根据正态分布参数的意义可以分别用样本均值和样本标准差来估计.对于第(3)问,这是一个概率决策问题,首先要明确决策的准则,在给定的时间内选择不迟到概率大的交通工具;然后结合图形,相据概率的表示,比较概率的大小,作出判断解:(1)随机变量X的样本均值为30,样本标准差为6;随机变量Y的样本均值为34,样本标准差为2.用样本均值估计参数μ.用样本标准差估计参数σ,可以得到X~N(30,6),Y~N(34,2).(2)X和Y的分布密度曲线如图所示,(3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.由图可知,Y的密度曲线X的密度曲线P(X≤38)<P(Y≤38),P(X≤34)>P(Y≤34).所以,如果有38min可用,那么骑自行车不迟到的概率大,应选择骑自行车;如果只有34min可用,那么坐公交车不迟到的概率大,应选择坐公交车,正态分布的3σ原则[𝜇−3𝜎,𝜇+3𝜎]中的值,这在统计学中称为3𝜎原则.①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.特别地，尽管正态变量的取值范围是(−∞,+∞),但在一次试验中,𝑋的取值几乎总落在区间[𝜇−3𝜎,𝜇+3𝜎]内,而在此区间外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生.在实际应用中,通常认为服从于正态分布𝑁(𝜇,𝜎2)的随机变量𝑋只取例2.假设某地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170（单位：cm，下同），标准差为10.在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高：（1）不高于170的概率；（2）在区间[160，180]内的概率；（3）不高于180的概率.解：设该学生的身高为X，由题意可知X~N(170，102).（1）P(X≤170)=50％,（2）因为均值为170，标准差为10，而160=170-10,180=170+10，所以P(160≤X≤180)=P(|X–170|≤10)≈68.3％，(3）由（2）以及正态曲线的对称性可知P(170≤X≤180)=P(160≤X≤180)≈12×68.3％由概率加法公式可知P(X≤180)=P(X≤170)+P(170≤X≤180)≈50％+34.15％=84.15％.服从正态分布的随机变量在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.(2)注意概率值的求解转化:①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);(3)熟记P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值.③若b<μ,则P(X<b)=1-跟踪训练1．某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：）.该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于大于.（1）求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于的概率约为多少;（2）检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.解：设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为，由题意可知．(1)由于，所以根据正态分布的对称性与“原则”可知.(2)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由（1）可知，随机抽取两包检查，质量都小于的概率约为，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.通过具体的问题情境，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解。从而引入正态分布的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。通过问题分析，让学生掌握正态分布曲线的特点。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。通过典例解析，在具体的问题情境中，深化对正态分布的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1.下列函数是正态分布密度函数的是()A.f(x)=12πB.f(x)=2C.f(x)=1D.f(x)=1解析:对照正态分布密度函数:f(x)=12πσ·e答案:B2.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(0,σ2).若ξ在(-∞,-1)内取值的概率为0.1,则ξ在(0,1)内取值的概率为()A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1解析:∵ξ服从正态分布N(0,σ2),∴曲线的对称轴是直线x=0.∵P(ξ<-1)=0.1,∴P(ξ>1)=0.1.∴ξ在区间(0,1)内取值的概率为0.5-0.1=0.4,故选B.答案:B3.某县农民月均收入服从N(500,202)的正态分布,则此县农民月均收入在500元到520元间人数的百分比约为.解析:因为月收入服从正态分布N(500,202),所以μ=500,σ=20,μ-σ=480,μ+σ=520.所以月均收入在[480,520]范围内的概率为0.683.由图像的对称性可知,此县农民月均收入在500到520元间人数的百分比约为34.15%.答案:34.15%4.某种零件的尺寸ξ(单位:cm)服从正态分布N(3,12),则不属于区间[1,5]这个尺寸范围的零件数约占总数的.解析:零件尺寸属于区间[μ-2σ,μ+2σ],即零件尺寸在[1,5]内取值的概率约为95.4%,故零件尺寸不属于区间[1,5]内的概率为1-95.4%=4.6%.答案:4.6%5.设在一次数学考试中,某班学生的分数X~N(110,202),且知试卷满分150分,这个班的学生共54人,求这个班在这次数学考试中及格(即90分及90分以上)的人数和130分以上的人数.解:μ=110,σ=20,P(X≥90)=P(X-110≥-20)=P(X-μ≥-σ),∵P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)≈2P(X-μ<-σ)+0.683=1,∴P(X-μ<-σ)=0.1585.∴P(X≥90)=1-P(X-μ<-σ)=1-0.1585=0.8415.∴54×0.8415≈45(人),即及格人数约为45人.∵P(X>130)=P(X-110>20)=P(X-μ>σ),∴P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)≈0.683+2P(X-μ>σ)=1,∴P(X-μ>σ)=0.1585,即P(X>130)=0.1585.∴54×0.1585≈9(人),即130分以上的人数约为9人.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】课后通过对教学过程的反思与研究,才能不断完善教学设计中的不足,才能提升教材分析的能力和课堂教学实效.1.多元展示,多方评价.在教学过程中我借问题牵引，保证了课堂教学的顺利实施；而在整个过程中，我对学生所作练习、疑问及时解析评价；学生之间、小组之间的互相评价补充，使学生共享成果分享喜悦，坚定了学好数学的信念，实现了预期目标.2.创造性的使用教材.有别于教材，我在教学中,让学生考察了分别考察了两类题型之后再引导学生进行归纳,这样更贴近学生的认知水平，学生课后反馈，效果较为理想.《7.5正态分布》导学案【学习目标】1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特点；3.了解正态分布的均值、方差及其含义；4.了解3σ原则,会求随机变量在特殊区间内的概率.【重点与难点】重点：认识分布曲线的特点及曲线所表示的意义.了解3σ原则.难点：.会求随机变量在特殊区间内的概率.【知识梳理】1.正态分布的定义对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如上图所示.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布(normaldis-tribution),记为X~N(u,σ2).特别地,当u=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.2.由X的密度函数及图像可以发现，正态曲线有以下特点：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.（3）曲线在x=μ处达到峰值1σ（4）当|X|无限增大时，曲线无限接近x轴.（5）X轴与正态曲线所夹面积恒等于1.3.正态分布的期望和方差参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度。（1）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.4.44.正态分布的3σ原则特别地，尽管正态变量的取值范围是(−∞,+∞),但在一次试验中,𝑋的取值几乎总落在区间[𝜇−3𝜎,𝜇+3𝜎]内,而在此区间外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生.在实际应用中,通常认为服从于正态分布𝑁(𝜇,𝜎2)的随机变量𝑋只取[𝜇−3𝜎,𝜇+3𝜎]中的值,这在统计学中称为3𝜎原则.①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.1、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（）A.曲线b仍然是正态曲线；B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为概率密度曲线的总体的期望大2;D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2。【学习过程】一、问题探究现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量，不是离散的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续性随机变量，下面我们看一个具体问题.探究1:自动流水线包装的食盐,每袋标准质量为400g.由于各种不可控的因素,任意抽取一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用X表示这种误差,则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中,随机抽取了100袋食盐,获得误差X(单位:g)的观测值如下:-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.20.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.42.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.12.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.53.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.62.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.21.01.31.7-0.9(1).如何描述这100个样本误差数据的分布?(2).如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布?可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布,如右图.所示.频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率,所有小矩形的面积之和为1.观察图形，误差观测值有正有负,并大致对称地分布在X=0的两侧,而且小误差比大误差出现得更频繁.随着样本数据量越来越大,让分组越来越多,组距越来越小,由频率的稳定性可知,规率分布直方图的轮廓就越来越稳定,接近一条光滑的钟形曲线,如右图所示。根据频率与概率的关系，可用以用上图中的钟型曲线来描述袋装食盐质量误差的概率分布.任意抽取一袋盐，误差落在[-2,-1]内的概率，可以用图中黄色阴影部分的面积表示.问题1：由函数知识可知，图中的钟形曲线是一个函数，那么，这个函数是否存在解析式呢？正态分布在概率和统计中占有重要地位,它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中,很多随机变量都服从或近似服从正态分布例如,某些物理量的测量误差某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量自动流水线生产的各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容)某地每年7月的平均气温、平均湿度、降水量等探究2：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？μμx其中μ∈R，σ＞0为参数.探究3：观察正态曲线、相应的密度函数及概率的性质，你能发现正态曲线的哪些特点？二、典例解析例1：李明上学有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到,坐公交车平均用时30min，样本方差为36;骑自行车平均用时34min,样本方差为4；假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.(1)估计X,Y的分布中的参数;(2）根据(1)中的估计结果,利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线;(3）如果某天有38min可用，李明应选择哪种交通工具?如果某天只有34min可用,又应该选择哪种交通工具?请说明理由.例2.假设某地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170（单位：cm，下同），标准差为10.在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高：（1）不高于170的概率；（2）在区间[160，180]内的概率；（3）不高于180的概率.服从正态分布的随机变量在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.(2)注意概率值的求解转化:①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);(3)熟记P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值.③若b<μ,则P(X<b)=1-跟踪训练1．某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：）.该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于大于.（1）求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于的概率约为多少;（2）检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.【达标检测】1.下列函数是正态分布密度函数的是()A.f(x)=12πσe(xC.f(x)=122πe-2.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(0,σ2).若ξ在(-∞,-1)内取值的概率为0.1,则ξ在(0,1)内取值的概率为()A.0.8B.0.4C.0.2D.0.13.某县农民月均收入服从N(500,202)的正态分布,则此县农民月均收入在500元到520元间人数的百分比约为.4.某种零件的尺寸ξ(单位:cm)服从正态分布N(3,12),则不属于区间[1,5]这个尺寸范围的零件数约占总数的.5.设在一次数学考试中,某班学生的分数X~N(110,202),且知试卷满分150分,这个班的学生共54人,求这个班在这次数学考试中及格(即90分及90分以上)的人数和130分以上的人数.【课堂小结】【参考答案】知识梳理答案：D学习过程一、问题探究探究1:可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布,如右图.所示.频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率,所有小矩形的面积之和为1.观察图形，误差观测值有正有负,并大致对称地分布在X=0的两侧,而且小误差比大误差出现得更频繁.随着样本数据量越来越大,让分组越来越多,组距越来越小,由频率的稳定性可知,规率分布直方图的轮廓就越来越稳定,接近一条光滑的钟形曲线,如右图所示。根据频率与概率的关系，可用以用上图中的钟型曲线来描述袋装食盐质量误差的概率分布.任意抽取一袋盐，误差落在[-2,-1]内的概率，可以用图中黄色阴影部分的面积表示.问题1：正态分布的定义对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如上图所示.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布(normaldis-tribution),记为X~N(u,σ2).特别地,当u=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.探究2：由X的密度函数及图像可以发现，正态曲线有以下特点：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.（3）曲线在x=μ处达到峰值1σ（4）当|X|无限增大时，曲线无限接近x轴.（5）X轴与正态曲线所夹面积恒等于1.探究3：（1）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.正态分布的期望和方差参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度。二、典例解析例1：分析:对于第(1)问,正态分布由参数μ和σ完全确定,根据正态分布参数的意义可以分别用样本均值和样本标准差来估计.对于第(3)问,这是一个概率决策问题,首先要明确决策的准则,在给定的时间内选择不迟到概率大的交通工具;然后结合图形,相据概率的表示,比较概率的大小,作出判断解:(1)随机变量X的样本均值为30,样本标准差为6;随机变量Y的样本均值为34,样本标准差为2.用样本均值估计参数μ.用样本标准差估计参数σ,可以得到X~N(30,6),Y~N(34,2).(2)X和Y的分布密度曲线如图所示,(3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.由图可知,Y的密度曲线X的密度曲线P(X≤38)<P(Y≤38),P(X≤34)>P(Y≤34).所以,如果有38min可用,那么骑自行车不迟到的概率大,应选择骑自行车;如果只有34min可用,那么坐公交车不迟到的概率大,应选择坐公交车,例2.解：设该学生的身高为X，由题意可知X~N(170，102).（1）P(X≤170)=50％,（2）因为均值为170，标准差为10，而160=170-10,180=170+10，所以P(160≤X≤180)=P(|X–170|≤10)≈68.3％，(3）由（2）以及正态曲线的对称性可知P(170≤X≤180)=P(160≤X≤180)≈12×68.3％=34.15由概率加法公式可知P(X≤180)=P(X≤170)+P(170≤X≤180)≈50％+34.15％=84.15％.服从正态分布的随机变量在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.(2)注意概率值的求解转化:①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);(3)熟记P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值.③若b<μ,则P(X<b)=1-跟踪训练1．解：设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为，由题意可知．(1)由于，所以根据正态分布的对称性与“原则”可知.(2)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由（1）可知，随机抽取两包检查，质量都小于的概率约为，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.达标检测1.解析:对照正态分布密度函数:f(x)=12πσ·e-答案:B2.解析:∵ξ服从正态分布N(0,σ2),∴曲线的对称轴是直线x=0.∵P(ξ<-1)=0.1,∴P(ξ>1)=0.1.∴ξ在区间(0,1)内取值的概率为0.5-0.1=0.4,故选B.答案:B3.解析:因为月收入服从正态分布N(500,202),所以μ=500,σ=20,μ-σ=480,μ+σ=520.所以月均收入在[480,520]范围内的概率为0.683.由图像的对称性可知,此县农民月均收入在500到520元间人数的百分比约为34.15%.答案:34.15%4.解析:零件尺寸属于区间[μ-2σ,μ+2σ],即零件尺寸在[1,5]内取值的概率约为95.4%,故零件尺寸不属于区间[1,5]内的概率为1-95.4%=4.6%.答案:4.6%5.解:μ=110,σ=20,P(X≥90)=P(X-110≥-20)=P(X-μ≥-σ),∵P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)≈2P(X-μ<-σ)+0.683=1,∴P(X-μ<-σ)=0.1585.∴P(X≥90)=1-P(X-μ<-σ)=1-0.1585=0.8415.∴54×0.8415≈45(人),即及格人数约为45人.∵P(X>130)=P(X-110>20)=P(X-μ>σ),∴P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)≈0.683+2P(X-μ>σ)=1,∴P(X-μ>σ)=0.1585,即P(X>130)=0.1585.∴54×0.1585≈9(人),即130分以上的人数约为9人.《7.5正态分布》基础训练一、选择题1．在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（）.A．B．C．D．2．设随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，ξ<1的概率是，则μ等于（）A．1B．2C．4D．不确定3．某省级示范中学对在家学习的100名同学每天的学习时间(小时)进行统计，服从正态分布，则100名同学中，每天学习时间超过10小时的人数为（）(四舍五入保留整数)参考数据：，，.A．15B．16C．31D．324．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（）A．B．C．对任意正数，D．对任意正数，5．（多选题）已知，，，则（）A．曲线与轴围成的几何图形的面积小于1B．函数图象关于直线对称C．D．函数在上单调递增6．（多选题）“杂交水稻之父”袁隆平致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出杰出贡献．某水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度函数为，则下列说法正确的是（）A．该地水稻的平均株高为B．该地水稻株高的方差为10C．该地水稻株高在以上的数量和株高在以下的数量一样多D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：）的概率一样大二、填空题7．设，若的概率为0.45，则的概率为____.8．已知X～N(μ，σ2)，且P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，则μ＝________.9．中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目.在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有32名.则参赛的学生总数约为_____.（参考数据：，，）10．2012年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站在统计了2019年清明节前后车辆通行数量，发现该站近几天每天通行车辆的数量服从正态分布，若，，则的最小值为______.三、解答题11．某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布（单位：）.（1）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于的概率约为多少？（2）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理巾.附：，则，，.12．为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度(单位：)，其频率分布直方图如图所示.（1）求该植物样本高度的平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（2）假设该植物的高度服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差，利用该正态分布求.附：.若，则.答案解析一、选择题1．在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（）.A．B．C．D．【答案】C【详解】根据正态分布的性质，，.故选C.2．设随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，ξ<1的概率是，则μ等于（）A．1B．2C．4D．不确定【答案】A【详解】由题意，ξ<1的概率是，则ξ>1的概率也是，∴正态分布的图象关于对称，即.故选：A3．某省级示范中学对在家学习的100名同学每天的学习时间(小时)进行统计，服从正态分布，则100名同学中，每天学习时间超过10小时的人数为（）(四舍五入保留整数)参考数据：，，.A．15B．16C．31D．32【答案】B【详解】根据题意可得：，故所求人数为100×0.1587≈16.4．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（）A．B．C．对任意正数，D．对任意正数，【答案】C【详解】由正态分布密度曲线的性质可知，，的密度曲线分别关于直线，对称，因此结合题中所给图象可得，，所以，故错误；又得密度曲线较的密度曲线“瘦高”，所以，所以，B错误；对任意正数，，，C正确，D错误，故选：C5．（多选题）已知，，，则（）A．曲线与轴围成的几何图形的面积小于1B．函数图象关于直线对称C．D．函数在上单调递增【答案】BC【详解】选项A.曲线与轴围成的几何图形的面积等于1，所以A不正确.选项B.,所以，所以函数图象关于直线对称，所以选项B正确.选项C.因为所以所以选项C正确.选项D.由正态分布曲线可知，当越大时，其概率越小.即函数随的增大而减小，是减函数，所以选项D不正确.故选：BC6．（多选题）“杂交水稻之父”袁隆平致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出杰出贡献．某水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度函数为，则下列说法正确的是（）A．该地水稻的平均株高为B．该地水稻株高的方差为10C．该地水稻株高在以上的数量和株高在以下的数量一样多D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：）的概率一样大【答案】AC【详解】因为密度函数为，所以，即均值为100，标准差为10，方差为100，故A正确，B错误；根据正态曲线的特征可知C正确，D错误．故选：AC．二、填空题7．设，若的概率为0.45，则的概率为______.【答案】【详解】∵，∴，，∴．8．已知X～N(μ，σ2)，且P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，则μ＝________.【答案】－2【详解】因为P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，又P(X<－4)＋P(X≥－4)＝1.所以P(X>0)＝P(X<－4)．因此正态曲线的对称轴为x＝－2,，所以μ＝－2.9．中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目.在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有32名.则参赛的学生总数约为_____.（参考数据：，，）【答案】202【详解】由正态分布得：平均值，标准差，设参赛的学生总数约为人，则成绩在的人数为人，成绩在的人数为人，而成绩在分以上的有人，所以成绩在90分以上（含90分）的学生有32名，解得.10．2012年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站在统计了2019年清明节前后车辆通行数量，发现该站近几天每天通行车辆的数量服从正态分布，若，，则的最小值为______.【答案】8【详解】服从正态分布，则，又，即且当且仅当，即时取等号.三、解答题11．某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布（单位：）.（1）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于的概率约为多少？（2）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理巾.附：，则，，.【详解】解：（1）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为，由题意可知．由于，所以根据正态分布的对称性与“原则”可知.(2)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由（Ⅰ）可知，随机抽取两包检查，质量都小于的概率约为，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.12．为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度(单位：)，其频率分布直方图如图所示.（1）求该植物样本高度的平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（2）假设该植物的高度服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差，利用该正态分布求.附：.若，则.【详解】（1）由题意可得平均数，（2）由（1）知，，从而所以.《7.5正态分布》提高训练一、选择题1．在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为（）A．0.16B．0.24C．0.32D．0.482．设，其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形中随机取个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：若，则）A．7539B．6038C．7028D．65873．已知随机变量，有下列四个命题：甲：乙：丙：丁：如果只有一个假命题，则该命题为（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．某工厂的一台流水线生产质量稳定可靠，已知在正常工作状态下生产线上生产的零件内径尺寸(单位：)服从正态分布.甲､乙两名同学正进行尺寸测量练习.甲､乙对各自抽取的个零件测量零件内径尺寸(单位：)如下，甲同学测量数据：，，，，；乙同学测量数据：，，，，.则可以判断（）A．甲､乙两个同学测量都正确B．甲､乙两个同学测量都错误C．甲同学测量正确，乙同学测量错误D．甲同学测量错误，乙同学测量正确5．（多选题）甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1，)，N(μ2，)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲类水果的平均质量μ1=0.4kgB．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C．甲类水果的平均质量比乙类水果的质量小D．乙类水果的质量服从正态分布的参数δ2=1.996．（多选题）医用口罩面体分为内、中、外三层，内层为亲肤材质，中层为隔离过滤层，外层为特殊材料抑菌层.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率（），（，，）A．B．C．D．假设生产状态正常，记表示抽取的100只口罩中过滤率大于的数量，则二、填空题7．某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X(单位：千克)服从正态分布N(25，0.22)，任意选取一袋这种大米，质量在24.8～25.4千克的概率为________．(附：若Z～N(μ，σ2)，则P(|Z－μ|＜σ)＝0.6826，P(|Z－μ|＜2σ)＝0.9544，P(|Z－μ|＜3σ)＝0.9974)8．对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若，则）．9．2022年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是________．10．俗话说：“一心不能二用”，意思是我们做事情要专心，那么，“一心”到底能否“二用”，某高二几个学生在学完《统计》后，做了一个研究，他们在本年级随机抽取男生和女生各100名，要求他们同时做一道数学题和英语听力题，然后将这些同学完成问题所用时间制成分布图如下，男生“一心二用”所需平均时间平均值大于女生；②所有女生“一心二用”能力都强于男生；③女生用时众数小于男生；④男生“一心二用”能力分布近似于正态分布.则上述说法正确的是________．三、解答题11．某年某省有40万考生参加高考．已知考试总分为750分，一本院校在该省计划招生6万人．经考试后统计，考试成绩X服从正态分布，若以省计划招生数确定一本最低录取分数．（1）已知，则该省这一年的一本最低录取分数约为多少？（2）某公司为考生制定了如下奖励方案：所有高考成绩不低于一本最低录取分数的考生均可参加“线上抽奖送话费”活动，每个考生只能抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数（10，11，…，99），若产生的两位数字相同，则可奖励20元话费，否则奖励5元，假如所有符合条件的考生均参加抽奖活动，估计这次活动奖励的话费总额是多少？12.已知某生产线的生产设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸（单位：）服从正态分布．（1）从该生产线生产的零件中随机抽取个，求至少有一个尺寸小于的概率；（2）为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障维修，假设该生产设备使用期限为四年，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为元，若生产设备能连续运行，则不会产生故障维修费；若生产设备不能连续运行，则除了日常维护费外，还会产生一次故障维修费．已知故障维修费第一次为元，此后每增加一次则故障维修费增加元．假设每个维护周期互相独立，每个周期内设备不能连续运行的概率为．求该生产设备运行的四年内生产维护费用总和的分布列与数学期望．参考数据：若，则，，，．答案解析一、选择题1．在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为（）A．0.16B．0.24C．0.32D．0.48【答案】C【详解】解：服从正态分布，曲线的对称轴是直线，在内取值的概率为0.6，在内取值的概率为0.3，在内取值的概率为．现任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率，故选：C2．设，其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形中随机取个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：若，则）A．7539B．6038C．7028D．6587【答案】D【详解】因为，所以，又因为，所以，，所以阴影部分的面积为，所以从正方形中随机取个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是，故选：D.3．已知随机变量，有下列四个命题：甲：乙：丙：丁：如果只有一个假命题，则该命题为（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D【详解】由于乙、丙的真假性相同，所以乙、丙都是真命题，故，根据正态分布的对称性可知：甲：为真命题，所以丁为假命题.并且，.所以假命题的是丁.故选：D4．某工厂的一台流水线生产质量稳定可靠，已知在正常工作状态下生产线上生产的零件内径尺寸(单位：)服从正态分布.甲､乙两名同学正进行尺寸测量练习.甲､乙对各自抽取的个零件测量零件内径尺寸(单位：)如下，甲同学测量数据：，，，，；乙同学测量数据：，，，，.则可以判断（）A．甲､乙两个同学测量都正确B．甲､乙两个同学测量都错误C．甲同学测量正确，乙同学测量错误D．甲同学测量错误，乙同学测量正确【答案】C【详解】，，即；甲同学测量的数据均落在之间，测量数据正确；乙同学测量的数据中有两个数据落在之外，即小概率事件发生，知其测量错误.故选：C.5．（多选题）甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1，)，N(μ2，)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲类水果的平均质量μ1=0.4kgB．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C．甲类水果的平均质量比乙类水果的质量小D．乙类水果的质量服从正态分布的参数δ2=1.99【答案】ABC【详解】由图像可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故A，C正确；甲图像比乙图像更高瘦，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；乙类水果的质量服从的正态分布的最大值为