新教材2023版高中数学第3章概率3.3正态分布课件湘教版选择性必修第二册

3．3正态分布新知初探·课前预习题型探究·课堂解透新知初探·课前预习

N(μ，σ2)

x＝μx＝μ1要点三正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)❷，则E(X)＝________，

D(X)＝________．批注❷特别地，数学期望μ＝0，方差σ2＝1时的正态分布为标准正态分布．

要点四正态变量在三个特殊区间内取值的概率1．P(μ－σ<X<μ＋σ)≈68.27%；2．P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈95.45%；3．P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈99.73%❸.

批注❸在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，简称为原则．μ

σ2基

础

自

测1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(

)(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(

)(3)正态曲线可以关于y轴对称．(

)××√

答案：D

3．如图是三个正态分布X～N(0，0.64)，Y～N(0，1)，Z～N(0，4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号依次为(

)A．①②③B．③②①C．②③①D．①③②答案：A解析：由题意，得σ(X)＝0.8，σ(Y)＝1，σ(Z)＝2，因为当σ较小时，峰值高，正态曲线尖陡，且σ(X)<σ(Y)<σ(Z)，所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号依次为①，②，③.4．已知随机变量X～N(μ，σ2)，若P(X<－1)＝P(X>5)，则μ＝________．2

题型探究·课堂解透题型1正态曲线的应用例1已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如图所示．(1)写出此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式；(2)求出总体随机变量的期望与方差．

巩固训练1

(多选)某市高二期末质量检测中，

甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，

成绩分布的直方图可视为正态分布),则由如图所示曲线可得下列说法中正确的项是(

)A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都居中D．甲、乙、丙的总体的平均数相同答案：AD解析：由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，

由正态密度曲线的性质，可知σ越大，

正态曲线越扁平；σ越小，

正态曲线越尖陡，

故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.题型2正态分布的概率计算例2设X～N(1，22)，试求：(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)．

方法归纳正态总体在某个区间内取值概率的求解策略巩固训练2

在某次测验中，测验结果ξ服从正态分布N(80，σ2)．若P(ξ>90)＝0.2，则P(70<ξ<90)＝________．0.6解析：因为ξ服从正态分布N(80，σ2)，所以P(ξ<80)＝0.5，所以P(70<ξ<90)＝2[P(ξ<90)－P(ξ<80)]＝2[1－P(ξ>90)－P(ξ<80)]＝2(1－0.2－0.5)＝0.6.题型3正态分布在实际生活中的应用例3某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下(单位：cm)：979798102105107108109113114设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ.(1)求μ与σ；(2)假设这批零件的内径Z(单位：cm)服从正态分布N(μ，σ2)．①从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径小于87cm的个数为X，求E(4X＋3)；②若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径(单位：cm)分别为86，95，103，109，118.以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试？说明理由．参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973，0.99734≈0.99.

方法归纳正态曲线的应用及求解策略解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．

巩固训练3

在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N(70，100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有16名．(1)试问此次参赛的学生总数约为多少？(2)若该校计划奖励竞