备考2024届高考数学一轮复习讲义第八章平面解析几何第7讲抛物线

第7讲抛物线课标要求命题点五年考情命题分析预测1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及简单几何性质.2.了解抛物线的简单应用.3.体会数形结合的思想.抛物线的定义及其应用2022全国卷乙T5；2021新高考卷ⅡT3；2021全国卷乙T21；2020全国卷ⅠT4本讲每年必考，主要以定义作为命题思路，求解轨迹问题、距离问题、最值问题等.在2025年高考备考中，在训练常规题型的同时，应关注抛物线的定义的应用.抛物线的标准方程2023全国卷乙T13；2022全国卷甲T20；2021新高考卷ⅠT14；2021全国甲卷T20抛物线的几何性质2023新高考卷ⅡT10；2021新高考卷ⅠT14；2020全国卷ⅡT19；2020全国卷ⅢT51.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离①相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的②焦点，直线l叫做抛物线的③准线.注意定点F在定直线l上时，动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线.2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px（p＞0）yx2＝2py（p＞0）x2＝－2py（p＞0）图形几何性质对称轴x轴y轴顶点O（0，0）焦点④F（p2，0⑤F（－p2，0⑥F（0，p2⑦F（0，－p2准线方程⑧x＝－p2⑨x＝p2⑩y＝－p2⑪y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R离心率e＝⑫1焦半径（其中Px0⑬p2＋x0p2－x⑭p2＋y0p2－y常用结论抛物线焦点弦的几个常用结论如图，设AB是一条过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，AB所在直线的倾斜角为α，若A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在准线l上的射影分别为A1，B1，则（1）x1x2＝p24，y1y2＝－p（2）｜AF｜＝p1－cosα，｜BF｜＝p1+cosα，弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝2psin2α，S△（3）1｜AF｜＋1（4）当N为准线与x轴的交点时，∠ANF＝∠BNF.（5）通径是过焦点且垂直于对称轴的弦，弦长等于2p，通径是过焦点的最短的弦.（6）以弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切.（7）以A1B1为直径的圆与AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°.（8）当M1为A1B1的中点时，M1A⊥M1B.（9）以AF或BF为直径的圆与y轴相切.（2）的推导过程：因为AB所在直线的倾斜角为α，则cosα＝x1－p2x1＋p2，解得x1＝p2·1+cos同理可得｜BF｜＝p1+则｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋p＝p1－cosαS△AOB＝12×｜AB｜×p2×sinα＝12×2psin2α由（2）的推导过程可得，1｜AF｜＋1｜BF｜＝1.下列说法正确的是（D）A.平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线B.若抛物线过点P（－2，3），则其标准方程可写为y2＝2px（p＞0）C.抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形D.方程y＝ax2（a≠0）表示的曲线是焦点在y轴上的抛物线，且其准线方程为y＝－12.抛物线y＝4x2的焦点坐标为（A）A.（0，116） B.（0，14） C.（0，1） D.（1，解析化抛物线的方程为标准形式，得x2＝14y，所以p＝18，（本题在解答过程中若不先将抛物线方程化为标准形式，易错误得到p＝2，从而错选抛物线的焦点坐标为（0，116），故选3.[2023湖北省十堰市调研]下列四个抛物线中，开口朝左的是（C）A.y2＝5x B.x2＝－5yC.y2＝－5x D.x2＝5y解析抛物线y2＝5x的开口朝右，抛物线x2＝－5y的开口朝下，抛物线y2＝－5x的开口朝左，抛物线x2＝5y的开口朝上.故选C.4.若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则pA.2 B.3 C.4 D.8解析由题意，知抛物线的焦点坐标为（p2，0），椭圆的焦点坐标为（±2p，0），所以p2＝2p，解得p5.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（2，22）为抛物线上一点，则｜MF｜＝（B）A.2 B.3 C.4 D.5解析因为点M（2，22）为抛物线上一点，所以将点M的坐标代入抛物线的方程y2＝2px（p＞0），可得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，可得其准线方程为x＝－1.根据抛物线的定义，得｜MF｜＝2－（－1）＝3.故选B.研透高考明确方向命题点1抛物线的定义及其应用例1（1）[全国卷Ⅰ]已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（C）A.2 B.3 C.6 D.9解析根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－p2的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以p2＝12－9，解得p＝6.（2）[2022全国卷乙]设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若｜AF｜＝｜BF｜，则｜AB｜＝ （B）A.2 B.22 C.3 D.32解析解法一如图，由题意可知F（1，0），设A（y024，y0），则由抛物线的定义可知｜AF｜＝y024＋1.因为｜BF｜＝3－1＝2，所以由｜AF｜＝｜BF｜，可得y024＋1＝2，解得y0＝±2，所以A（1，2）或A（1，－2）.不妨取A（1，2），则｜AB｜＝解法二由题意可知F（1，0），｜BF｜＝2，所以｜AF｜＝2.因为抛物线的通径长为2p＝4，所以AF的长为通径长的一半，所以AF⊥x轴，所以｜AB｜＝22＋22＝8＝方法技巧利用抛物线的定义可解决的常见问题（1）轨迹问题：利用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线.（2）距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，在解题过程中注意两者之间的相互转化.（3）最值问题：通过距离转化，利用“两点之间线段最短”和“垂线段最短”求解.训练1[多选/2023惠州市二调]设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E（3，1）为定点，则下列结论正确的是（AD）A.准线l的方程是x＝－2B.｜ME｜－｜MF｜的最大值为2C.｜ME｜＋｜MF｜的最小值为7D.以线段MF为直径的圆与y轴相切解析由题意得，抛物线C的焦点F（2，0），准线l的方程是x＝－2，故A正确；｜ME｜－｜MF｜≤｜EF｜＝（3－2）2＋（1－0）2＝2，当点M在线段EF的延长线上时等号成立，∴｜ME｜－｜MF｜的最大值为2，故B不正确；如图所示，过点M，E分别作准线l的垂线，垂足分别为A，B，则｜ME｜＋｜MF｜＝｜ME｜＋｜MA｜≥｜EB｜＝5，当点M在线段EB上时等号成立，∴｜ME｜＋｜MF｜的最小值为5，故C不正确；设点M（x0，y0），线段MF的中点为D，则点D的横坐标xD＝x0+22＝｜命题点2抛物线的标准方程例2（1）[2023全国卷乙]已知点A（1，5）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为94解析将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－54，所以A到准线的距离为1－（－54）＝（2）[2021新高考卷Ⅰ]已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若｜FQ｜＝6，则C的准线方程为x＝－32解析解法一由题易得｜OF｜＝p2，｜PF｜＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以｜OF｜｜PF｜＝｜PF｜｜FQ｜，即p2p＝解法二由题易得｜OF｜＝p2，｜PF｜＝p，｜PF｜2＝｜OF｜·｜FQ｜，即p2＝p2×6，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－方法技巧抛物线的标准方程的求法（1）定义法根据抛物线的定义求出p.标准方程有四种形式，要注意判断焦点位置及开口方向.（2）待定系数法当焦点位置不确定时，注意分类讨论.对于焦点在x轴上的抛物线的方程可设为y2＝mx（m≠0），焦点在y轴上的抛物线的方程可设为x2＝my（m≠0）.训练2（1）若抛物线的对称轴为坐标轴，焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.解析由x－2y－4＝0，令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.所以抛物线的焦点是（4，0）或（0，－2），故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.（2）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若｜BC｜＝2｜BF｜，且｜AF｜＝3，则抛物线的方程为y2＝3x.解析如图，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为点E，D，设｜BF｜＝a，准线与x轴交于点G，则由已知得，｜BC｜＝2a，由抛物线的定义得，｜BD｜＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，∵｜AC｜＝｜AF｜＋｜BF｜＋｜BC｜＝3＋3a，2｜AE｜＝｜AC｜，∴3＋3a＝6，∴a＝1.易知BD∥FG，∴｜BD｜｜GF｜＝｜BC｜｜CF｜，即1p＝23命题点3抛物线的几何性质例3[多选/2023新高考卷Ⅱ]设O为坐标原点，直线y＝－3（x－1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（AC）A.p＝2B.｜MN｜＝8C.以MN为直径的圆与l相切D.△OMN为等腰三角形解析由题意，易知直线y＝－3（x－1）过点（1，0）.对于A，因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为（1，0），所以p2＝1，即p＝2，所以A选项正确对于B，不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），x1＜x2，联立方程得y＝－3（x－1),y2=4x，消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝13，x2＝3.由抛物线的定义得，｜MN｜＝x1＋对于C，由以上分析易知，l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为（53，－233），半径r＝12｜MN｜＝83＝53＋1，所以以MN对于D，由两点间距离公式可得｜MN｜＝163，｜OM｜＝133，｜ON｜＝21，故D选项错误.方法技巧应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出拋物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.训练3[多选]已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l的斜率为3且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若｜AF｜＝8，则以下结论正确的是（ABC）A.p＝4 B.DF＝FAC.｜BD｜＝2｜BF｜ D.｜BF｜＝4解析如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线m的垂线，垂足分别为点E，M.设抛物线C的准线m交x轴于点P，则｜PF｜＝p，由于直线l的斜率为3，所以倾斜角为60°，因为AE∥x轴，所以