备考2024届高考数学一轮复习讲义第一章集合常用逻辑用语与不等式第2讲常用逻辑用语

第2讲常用逻辑用语课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.4.理解全称量词与存在量词的意义.5.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定，能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.充分条件与必要条件2023新高考卷ⅠT7；2023全国卷甲T7；2022北京T6；2022浙江T4；2022天津T2；2021全国卷甲T7；2021北京T3；2021浙江T3；2021天津T2；2020北京T9；2020浙江T6；2020天津T2；2019北京T7；2019浙江T5；2019天津T3本讲主要以其他知识为情境考查充分条件、必要条件的判断及简单应用，全称量词命题与存在量词命题的真假判断及含有一个量词的命题的否定，对学生的逻辑推理素养要求较高.题型以选择题为主，难度中等偏易.预计2025年高考命题点变化不大，平时训练中应注重不同知识之间的综合.全称量词与存在量词2021全国卷乙T31.充分条件、必要条件与充要条件若p⇒q，则p是q的①充分条件，q是p的②必要条件p是q的③充分不必要条件p⇒q且p⇍qp是q的④必要不充分条件p⇏q且p⇐qp是q的⑤充要条件p⇔qp是q的⑥既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p常用结论充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}.（1）若p是q的充分条件，则A⊆B；若p是q的必要条件，则A⊇B.（2）若p是q的充分不必要条件，则A⫋B；若p是q的必要不充分条件，则A⫌B.（3）若p是q的充要条件，则A＝B.2.全称量词与存在量词（1）全称量词与存在量词量词名称常见的量词表示符号全称量词所有的、一切、任意一个、每一个、任给等⑦∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有的、有些、对某些等⑧∃（2）全称量词命题与存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p（x）成立存在M中的元素x，p（x）成立简记⑨∀x∈M，p（x）⑩∃x∈M，p（x）否定∃x∈M，¬p（x）⑪∀x∈M，¬p（x）注意1.¬p（x）表示p（x）不成立.2.含有一个量词的命题的否定规律是：改写量词，否定结论.对于省略了量词的命题，则需要根据命题的含义加上量词，再改写.3.命题p与¬p（p的否定）真假相反.1.下列说法不正确的是（D）A.p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件B.“三角形的内角和为180°”是全称量词命题C.已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝BD.命题“∃x∈R，sin2x2＋cos2x2＝12.“x是整数”是“2x＋1是整数”的（A）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析若x是整数，则2x＋1是整数；当x＝12时，2x＋1是整数，但x不是整数，所以“x是整数”是“2x＋1是整数”的充分不必要条件.故选3.已知命题p：所有的三角函数都是周期函数，则¬p为有些三角函数不是周期函数.研透高考明确方向命题点1充分条件与必要条件角度1充分条件与必要条件的判断例1（1）[2023天津高考]“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的（B）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件解析因为“a2＝b2”⇔“a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab”⇔“a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件.故选B.（2）[2023全国卷甲]设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cosβ＝0，则（B）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等价于sinα＝±cosβ，所以由甲不能推导出sinα＋cosβ＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sinα＋cosβ＝0，得sinα＝－cosβ，两边同时平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件.综上，选B.角度2充分条件、必要条件中的含参问题例2（1）若x＞0，则x＋2025x≥a恒成立的一个充分条件是（BA.a＞80 B.a＜80 C.a＞100 D.a＜100解析当x＞0时，x＋2025x≥22025，当且仅当x＝2025时，“＝”成立，因为x＋2025x≥a（x＞0）恒成立，所以a≤22025，80＜22025＜100，结合各选项知x＋2025x≥a恒成立的一个充分条件为a＜80.（注意区分“p是q的充分条件”与“p的充分条件是故选B.（2）已知p：｜1－x－13｜≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围为[9，＋解析由｜1－x－13｜≤2，得－2≤x≤10，故p对应的集合为N＝{x｜－2≤x≤10}.由x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），得1－m≤x≤1＋m，故q对应的集合为M＝{x｜1－m≤x≤1＋m，m＞因为q是p的必要不充分条件，所以N⫋M，所以m>0，1－m≤－2，1+m≥10，（1－解得m≥9，所以实数m的取值范围为[9，＋∞）.方法技巧1.充分条件与必要条件的判断方法（1）定义法：根据“若p，则q”及“若q，则p”的真假进行判断，适用于定义、定理等判断性问题.（2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断.2.已知充分、必要条件求参数取值范围的方法把充分、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式（组）求解.注意（1）条件的等价变形；（2）区间端点值的检验.训练1（1）[2024湖北部分重点中学联考]设m∈R，a＝（m，1），b＝（4，m），c＝（1，－2），则b⊥c是a∥b的（A）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析若b⊥c，则4－2m＝0，得m＝2，即b⊥c⇔m＝2；若a∥b，则m2＝4，得m＝±2，即a∥b⇔m＝±2.因为m＝2是m＝±2的充分不必要条件，所以b⊥c是a∥b的充分不必要条件，故选A.（2）[多选/2023沈阳市三检]已知空间中的两条直线m，n和两个平面α，β，则α⊥β的充分条件是（ACD）A.m⊥α，m∥β B.m⊂α，n⊂β，m⊥nC.m⊂α，m∥n，n⊥β D.m⊥n，m⊥α，n⊥β解析对A，因为m∥β，所以在平面β内存在直线l，使得m∥l，又m⊥α，所以l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β，所以选项A符合题意；对B，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则平面α，β不一定垂直，例如在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊂平面ABCD，B1C1⊂平面A1B1C1D1，且AB⊥B1C1，但平面ABCD与平面A1B1C1D1不垂直，所以选项B不符合题意；对C，因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β，又m⊂α，所以α⊥β，所以选项C符合题意；对D，因为m⊥α，n⊥β，所以直线m，n对应的方向向量分别为平面α，β的法向量，又m⊥n，所以平面α，β的法向量垂直，所以α⊥β，所以选项D符合题意.综上，选ACD.命题点2全称量词与存在量词角度1全称量词命题和存在量词命题的否定及真假判断例3（1）[2023辽宁名校联考]已知命题p：∃x＜－1，2x－x－1＜0，则¬p为（B）A.∀x≥－1，2x－x－1≥0 B.∀x＜－1，2x－x－1≥0C.∃x＜－1，2x－x－1≥0 D.∃x≥－1，2x－x－1≥0解析因为命题p：∃x＜－1，2x－x－1＜0，则¬p：∀x＜－1，2x－x－1≥0.故选B.（2）[2023湖北模拟]下列命题为真命题的是（C）A.∀x∈R，x2－｜x｜＋1≤0 B.∀x∈R，－1≤1cosC.∃x∈R，（lnx）2≤0 D.∃x∈R，sinx＝3解析因为x2－｜x｜＋1＝（｜x｜－12）2＋34＞0恒成立，所以∀x∈R，x2－｜x｜＋1≤0是假命题；当x＝π3时，1cosx＝2，所以∀x∈R，－1≤1cosx≤1是假命题；当x＝1时，lnx＝0，所以∃x∈R，（lnx）2≤0是真命题；因为－1≤sinx≤1，所以∃x∈R，sin角度2已知全称（存在）量词命题的真假求参数的取值范围例4（1）若命题“∀x＞0，lnx－12x2－a＜0”为假命题，则实数a的取值范围是（DA.（－∞，e] B.（－∞，1]C.（－∞，12] D.（－∞，－1解析命题“∀x＞0，lnx－12x2－a＜0”为假命题，则命题“∃x＞0，lnx－12x2－a≥0”为真命题.由lnx－12x2－a≥0，得a≤lnx－12x2.设g（x）＝lnx－12x2，则原问题可转化为a≤g（x）max，g'（x）＝1x－x＝1－x2x.令g'（x）＞0，得0＜x＜1，令g'（x）＜0，得x＞1，则g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，从而g（x）≤g（1）（2）[2024江苏南通学业质量监测]设命题p：∃x∈R，ax2－x＋1≤0.写出一个实数a＝0（答案不唯一），使得p为真命题.解析当a＝0时，－x＋1≤0有解；当a≠0时，a>0，Δ≥0或a＜0，所以a∈（0，（－∞，0）.综上，a≤14，即a≤14方法技巧1.判定全称量词命题是真命题，需证明所有对象使命题成立；判定存在量词命题是真命题，只要找到一个对象使命题成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.2.由命题真假求参数的范围，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式（组），再通过解方程或不等式（组）求解.训练2（1）[2023河北省盐山中学三模]已知命题p：∃x≥0，ln（x＋1）≥0且tanx＜1，则¬p为（C）A.∀x＜0，ln（x＋1）＜0且tanx≥1B.∀x＜0，ln（x＋1）＜0或tanx≥1C.∀x≥0，ln（x＋1）＜0或tanx≥1D.∀x≥0，ln（x＋1）＜0且tanx≥1解析由含有一个量词的命题的否定规律易知C正确.（2）若命题“∃a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a＜0”为假命题，则实数x的取值范围为（C）A.[－1，4] B.[0，53C.[－1，0]∪[53，4] D.[－1，0）∪（53，解析命题“∃a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a＜0”为假命题，则其否定为真命题，（命题与命题的否定真假相反）即“∀a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a≥0”为真命题.令g（a）＝ax2－（2a－1）x＋3－a＝（x2－2x－1）a＋x＋3，a∈[－1，3]，则g（a）≥0恒成立，所以g（－1）≥0，g（3）≥0，即－x2+3x+4≥0，3x（3）[多选/2024重庆市合川区模拟]已知命题p：∃x∈R，x2＋1＜2x；命题q：若mx2－mx－1≠0恒成立，则－4＜m＜0.则