微积分 第七版 课件 三、二元函数的全微分

1三

二元函数的全微分本节学习目标010203掌握二元可微函数的全微分表达式了解二元函数的全微分定义能熟练计算二元函数的全微分一、二元函数的全微分1.定义后.3已知二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处及其附近有定义,且两个一阶偏导数值f'x(x0,y0),f'y(x0,y0)皆存在自变量x,y在点(x0,y0)处分别有了改变量Δx,Δy(Δx,Δy不同时为零),相应二元函数改变量为Δz

3并称自变量改变量Δx,Δy的正比例函数的和

f'x(x0,y0)Δx+f'y(x0,y0)Δy

为二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分值,记作

42.二元函数的全微分与改变量Δz关系

自然提出问题:在什么条件下,二元函数一定可微?53.二元函数可微定理如果二元函数z=f(x,y)的两个一阶偏导数f'x(x,y),f'y(x,y)皆在点(x0,y0)处连续,则二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微.定理后.164.二元可微函数若二元函数z=f(x,y)在区域E(可以是开区域,也可以是闭区域或半开区域)上每一点(x,y)处都可微,则称二元函数z=f(x,y)在区域E上可微并称二元函数z=f(x,y)为区域E上的二元可微函数二元可微函数z=f(x,y)在区域E上任意点(x,y)处的全微分值称为二元可微函数z=f(x,y)的全微分,记作dz=f'x(x,y)Δx+f'y(x,y)Δy7根据§2.7给出的结论:自变量微分等于自变量改变量,因此对于自变量x,y,有dx=Δx,dy=Δy于是得到二元可微函数z=f(x,y)的全微分表达式为dz=f'x(x,y)dx+f'y(x,y)dy8二、求二元函数全微分方法求二元可微函数的全微分并不需要新的方法：应该先求出二元可微函数的两个一阶偏导数,再将这两个一阶偏导数分别乘以相应自变量的微分,然后相加,就得到二元可微函数的全微分9例1求二元函数z=ln(x3+y3)的全微分解:计算一阶偏导数

10所以全微分

11例2求二元函数z=sinxy2的全微分解:计算一阶偏导数z'x=cosxy2·(xy2)'x=y2cosxy2z'y=cosxy2·(xy2)'y=2xycosxy12所以全微分dz=y2cosxy2dx+2xycosxy2dy=ycosxy2·(ydx+2xdy)13例3方程式z2-2yez=x2确定变量z为x,y的二元函数,求全微分dz解:方程式z2-2yez=x2等号两端皆对自变量x求一阶偏导数,有2zz'x-2yezz'x=2x即有(z-yez)z'x=x得到一阶偏导数

14方程式z2-2yez=x2等号两端皆对自变量y求一阶偏导数,有2zz'y-2(ez+yezz'y)=0即有(z-yez)z'y=ez得到一阶偏导数

15所以全微分

二元可微函数在定义域内点(x0,y0)处的全微分值为全微分的表达式中自变量x,y分别用数x0,y0代入所得到的数值.16例4二元函数z=xey的全微分dz=(

).(a)ey(dx+ydy) (b)ey(dx+xdy)(c)ey(ydx+dy) (