2022届河南省名校联盟高三5月大联考数学（理）试题（解析版）

2022届河南省名校联盟高三5月大联考数学(理)试题

一、单选题

1.已知集合A={x|x>2},B=|x|(x-l)(x-3)<3j,则()

A.{x|x>11B.{x|2<x<3}C.{x|x>。}D.{x[2<x<4}

【答案】C

【分析】解不等式求出B={x|0<x<4},进而求出并集.

【详解】因为B={x[0<x<4},所以4口8=卜上>0}.

故选：C

2.已知复数z满足z(l+i)=2+4i,则|z|=()

A.10B.5C.V10D.2出

【答案】C

【分析】利用复数的除法运算求解z,根据复数模的定义求解即可.

【详解】解：由题可知z==3+i,^|Z|=A/32+12=Vio.

故选：c.

尤-2y-4,,0,

3.设%/满足约束条件-2尤-丫+4..0,则2=》一》的最大值为()

y-4,,o,

A.8B.6C.4D.-4

【答案】A

【分析】画出可行域和目标函数，利用几何意义求出最大值.

【详解】作出可行域和目标函数，

当直线z=x-y经过点A（12,4）时，z有最大值，最大值为8.

故选：A

4.已知正项等比数列｛对｝的前"项和为S“，且满足3%=5「44,则公比q=（）

【答案】D

【分析】根据前〃项和定义把$3化为4+4+%，则等比数列的定义得出夕的方程，解

之可得.

【详解】由3a2=邑-4q,则3/=q+4+4，所以为-24-3q=0,即

^2-2<7-3=0,

解得4=3或q=-1（舍去）.

故选：D.

5.函数/（力=4工的图象大致为（）

【分析】由奇偶性判断A选项，再利用函数值的正负排除BD选项.

【详解】由题意知“X）的定义域为何心如5},

因为/（一叼=徐/=一4苧：=—“X）,所以/（x）为奇函数，排除A.

ZX-1ZX—1

当0<x<0.5时，/(%)<0,当x>0.5时，/(x)>0,排除B,D.

故选：C.

6.函数/(x)=4sin(<wx+s)(A>0,(w>0,|^>|<的部分图象如图所示，则〃x）图象的

B.

D.

【分析】根据图象求出函数解析式，再由正弦型函数的对称中心求解即可.

【详解】由图可知。=应,T=冗,则3=2,所以〃x）=J5sin（2x+0）.

由2x£+°=£+2E(%£Z),闸，得夕=三，所以/(x)=0sin[2x+Wj.

3

故选：c

7.曲线y=xln(2x+5)在x=-2处的切线方程为()

A.4x—y+8=0B.4x+y+8=0

C.3x—y+6=0D.3x+y+6=0

【答案】B

【分析】将x=-2代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利

用直线方程点斜式求解即可.

【详解】解：因为y=xln(2x+5),所以y，=[xln(2x+5)]=皿2犬+5)+三布，所以

“1=4

又当x=_2时，y=xlnl=O,故切点坐标为(-2,0),所以切线方程为4x+y+8=0.

故选：B.

8.在长方体ABCO-ABCQ中，48=2例=24。,2尸。，分别是棱49,62,8(7,

A4的中点，则异面直线E尸与G”所成角的余弦值是()

A.-B.叵C.—D.-

9993

【答案】A

[分析]连接EG,取EG的中点0,连接A0,C0,AG,即可得到EF//OQ,GH//OA,,

幺OG是异面直线E尸与G”所成的角(或补角)，再利用余弦定理计算可得；

【详解】解：如图，连接EG,取EG的中点。，连接A。，G。，AG.

在长方体4BCO-ABCQ中，

因为EO〃OC且EO=：OC,FC"/DC且FC,=^DC,

所以FCJ/EO且尸£=E。，所以四边形OEFG是平行四边形,

同理可得四边形OG”A平行四边形，所以EF〃OG，GH//OA,,

故NAQC是异面直线E尸与G”所成的角(或补角).

设4)=2,则4G=2石，OA,=0C,=3,

A02+0Cj-ACj_9+9-20__2

故cos/A。。］二

2A.OOQ2x3x3~-9

即异面直线EF与G”所成角的余弦值为:.

9

故选：A

9.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的

对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已

知抛物线E：V=2px(0<p<4),一条平行于x轴的光线从点48,2p)射出，经过抛物

线石上的点8反射后，与抛物线E交于点C,若△回(7的面积是10,则〃=()

3

A.!B.1C.-D.2

22

【答案】D

【分析】根据4B〃x轴知B点纵坐标为2p,代入抛物线方程可求B点横坐标，利用B

和尸求出直线BC的方程，代入抛物线方程消去y可得根与系数关系，根据抛物线焦点

弦长公式可求BC长度，利用点到直线距离公式可求4到直线BC的距离人根据

5sBe=981以=10即可求出口

【详解】由题知抛物线焦点为尸(多。］,A8〃x轴，

将y=2p代入y2=2px得x=2p,则B为(2p,2p),

由题可知8、/、C三点共线，BC方程为：y=即y=#x-g|,

代入抛物线方程消去y得，8/_i7px+2P2=0,

设方程两根为占、々，则为+%=?，贝|］忸。=玉+%+0=孚+0=等0,

OOO

326?2

又A(8,2p)至IJ8C：4x-3y-2P=0的距离为：=I-/-P|=32-8p；

•••由S△枷=1。得!•忸C|・d=10n学p•必尊=20np=2.

2o5

故选：D.

10.某校在高三第一次联考成绩公布之后，选取两个班的数学成绩作对比.已知这两个

班的人数相等，数学成绩均近似服从正态分布，如图所示.其中正态密度函数

]（工-"）2

（0氏）=7二一寸中的〃是正态分布的期望值，5是正态分布的标准差，且

P(|X-/z|<J)»0.6827,P(|X-〃|«2Sb0.9545,P(|X-“V35卜0.9973,则以下结

A.1班的数学平均成绩比2班的数学平均成绩要高

B.相对于2班，本次考试中1班不同层次学生的成绩差距较大

C.1班110分以上的人数约占该班总人数的4.55%

D.2班114分以上的人数与1班110分以上的人数相等

【答案】D

【分析】根据题中正态分布曲线的性质可判断A、B两项，利用正态分布三区间计算C、

D两项的概率即可.

1（X-〃）21

【详解】解:因为外。3=看屋,的最大值为研所以1班的数学成绩

X,-77（100,25）,2班数学成绩X2~N（102,36）,所以1班的数学平均成绩为100,2

班的数学平均成绩为102,A错误;

因为1班数学成绩的标准差为5,2班数学成绩的标准差为6,标准差越大，说明成绩

分布越分散，差距越大，所以B错误；

因为P（X12110）=g（l-P（|X-/z|<2同）a0.02275，所以C错误；

因为P（X22114）=g（l-P（|X-4425））=P（Xgll0）,所以D正确.

故选：D.

11.古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形

式.”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之

美.如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字

绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联

系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字

左右完全对称的日期）.数学上把20200202这样的对称数叫回文数，若两位数的回文数

共有9个（11,22,99）,则所有四位数的回文数中能被3整除的个数是（）

茶壶回文诗

［清］黄伯权【剑法】

落雪飞务树.花相羯风流.

幽红雨淡然。雾杳途月落。

薄月迷杏雾.就淡而红眼.

流风我盟花。树芳飞雪落。

A.27B.28C.29D.30

【答案】D

【分析】根据数字之和为3的偶数倍数,然后分类直接列举可得.

【详解】要能被3整除，则四个数的和是3的偶数倍数.满足条件的回文数分为以下几

类:

和为6的回文数：1221,2112,3003,3个.

和为12的回文数：3333,2442,4224,1551,5115,6006,6个.

和为18的回文数:1881,8118,2772,7227,3663,6336,4554,5445,9009,9个.

和为24的回文数:3993,9339,4884,8448,5775,7557,6666,7个.

和为30的回文数：7887,8778,6996,9669,4个.

和为36的回文数：9999,1个.

故共有3+6+9+7+4+1=30个.

故选：D

12.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传

统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪

数量总和，其中一列数如下：0,2,4,8,12,18,24,32,40,50.....按此规律

得到的数列记为｛4｝,其前〃项和为鼠，给出以下结论：①％,一=2〃2-2〃；②182是

数列｛%｝中的项；③⑸=210；④当〃为偶数时，S“+2-2S“u+S'="+2(〃eN*).其中

正确的序号是()

A.①②B.②③C.①④D.③④

【答案】C

七二I〃为奇数

【分析】直接利用数列的递推关系求出数列的通项公式为=J，代入数

—,〃为偶数

2

列的具体值依次判断选项即可.

【详解】数列｛叫的偶数项分别为2,8,18,32,50,L,

22

通过观察可知=2n,同理可得a2„_t=2n-2n,

—,〃为奇数

所以见=｛2，

―,〃为偶数

I2

因为%=^^=220,所以①正确，③错误；

由上L182,解得而，由芷=182,解得”=29，

22

又因为所以方程都无正整数解，所以182不是｛%｝中的项，故②错误.

当〃为偶数时，

5„+2-2S„+l+S„=(S„+2-S„+l)-(S„+1-5„)=«n+2-«(i+1a±"=〃+2,故④

正确.

故选：C.

二、填空题

13.己知向量£=(-4,3)石=(1,相)，若(£+2B)_LB,则阳=.

【答案】-2或或-2

【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的数量积表示求解即可.

【详解】•「〃=(-4,3),坂=(1,m)，

—>—>

。+2b=(-2,3+2机)，

,/(a+2b)_Lb,

.•.日+2小7=—2+"7(3+2机)=0,解得机二-2或加=；.

故答案为：—2或g.

2

14.二项式(x-7).展开式中，含/的项的系数为.

【答案】60

【分析】根据二项式展开式的通项公式，令》的指数等于3,从而求得展开式中含V项

的系数.

7

【详解】(X-b)6展开式的通项公式为

Tr+l=禺•尸.(-2/=(一2)JC；母，

3

令6-：r=3,解得厂=2；

展开式中含d项的系数为(-2)2.《=4x15=60.

故答案为:60.

【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式计算问题，考查函数与方程思想，考查逻辑

推理能力运算求解能力，属于基础题.

15.已知四棱锥S—ABC。中，底面48CO为正方形，侧面SAB为等边三角形，AB=3,

则当四棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为.

【答案】2E

【分析】根据题意可知侧面底面ABCQ,然后结合图形由底面外接圆半径、球心

到底面的距离和球的半径满足勾股定理可得.

【详解】依题意可知，当侧面底面ABC。时，四棱锥5—ABCD的体积最大.

设球心为O,半径为R,正方形ABCD和△SAB外接圆的圆心分别为O2,正方形

48CD外接圆半径为耳，则平面ABCD,OO?_L平面SAB.

因为aSAB和正方形ABCD的边长均为3,设AB的中点为E,

所以。。1=02E=1SE=W，0乃=4=芈

2

372

由勾股定理得R2=OB2=OO-+1=

所以球0的表面积S=4/rR2=21万.

故答案为：21乃

2

16.若"、乃是双曲线屏y=1（“>0,分>0）的左右焦点，过”的直线/与双曲线的左右

两支分别交于A,B两点.若AAB6为等边三角形，则双曲线的离心率为.

【答案】币

【分析】根据双曲线的定义算出△”/_心中，|A/=7|=2a,\AF2\=4a,由AAB/b是等边三

角形得/F/AF2=120。，利用余弦定理算出c=V7a,结合双曲线离心率公式即可算出双

曲线C的离心率.

【详解】因为AABFZ为等边三角形，可知|A8|=|8g|=|Ag|,

A为双曲线上一点，，|A鸟1-1A正1=2a,

B为双曲线上一点，则即为甲-|ABHA6=2a,

/.|AF21=1A用+2〃=4a,

由N4B年=60°,则/耳45=120°,已知|式鸟|=2c,

在^BAF2中应用余弦定理得：4c2=46t2+16«2-2--4tz-cos1200,

得&=73则〃=7=>e=不

故答案为：y/1

【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到a,c的值，这时

可将£或2视为一个整体，把关系式转化为关于£或2的方程，从而得到离心率的值.

aaaa

三、解答题

17.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

sin2B+sin2C=(sinA+2sinBsinC)sinA.

⑴求角A；

Q)若。=屈,b=3,求△ABC的面积.

【答案】(l)g

4

⑵6

【分析】(1)利用正弦定理和余弦定理对已知式子化简可求出角A；

(2)利用余弦定理求出。，从而可求出三角形的面积

【详解】(1)因为sin?B+sin2C=(sinA+2sinBsinC)sinA,

所以从+/=/+2bcsinA，

所以2bccosA=2bcsinA,

因为bcwO,

所以tanA=1.

因为AE(O,;T),

所以A=f.

4

,jr

(2)因为a=,b=3,A=—,

4

所以由余弦定理/=从+H一2bcCosA,

可得17=9+/-6cx孝，即。2-3岳-8=0，

解得c=40或c=-V^(舍去)，

故^ABC的面积为L/jcsinA=—x3x4>/2x=6.

222

18.相对于二维码支付、刷脸支付更加便利，以往出门一部手机解决所有，现在连手机

都不需要了.毕竟手机支付还需要携带手机，打开“扫一扫”也需要手机信号和时间，从而

刷脸支付可能将会替代手机支付，成为新的支付方式，现从某大型超市门口随机抽取

100名顾客进行调查、得到如下列联表：

男性女性总计

刷脸支付2570

非刷脸支付10

总计100

(1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为是否使用刷脸支付马性

别有关;

(2)根据是否刷脸支付，按照分层抽样的方法在女性中抽取9名，为进一步了解情况、再

从抽取的9人中随机抽取4人，求抽到刷脸支付的女性人数X的分布列及数学期望.

n(ad-be)2

附：Z2,其中，?=a+〃+c+d

(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)

P(%K)0.1000.0500.0250.0100.001

2.7063.8415.0246.63510.828

【答案】(1)表格见解析，有99%的把握认为是否使用刷脸支付与性别有关

(2)分布列见解析，?20

9

【分析】(1)先将列联表补充完整，计算出卡方值，和6.635比较即可判断;

(2)可得X的可能取值为0』,2,3,4,求出X取不同值的概率，即可得出分布列，求出

期望.

【详解】(1)列联表补充为

男性女性总计

刷脸支付452570

非刷脸支付102030

总计5545100

2_100x(45x20-25x10)2

,—55x45x70x30»8.129>6.635,

所以有99%的把握认为是否使用刷脸支付与性别有关.

(2)易知9人中刷脸支付的有5人,非刷脸支付的有4人.

由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3,4.

P（x=°）爷=5*=|）=警=卷吟，

C9IZoC9IZoo3

*X=2)=詈喂卷,尸g)=詈嗯嗡

P（X=4）=C2=J5

l7126

X的分布列为

X01234

11010205

r

126632163126

…、八1,10c10c204520

E（X）=0x——+lx——+2x—+3x—+4x——=

126632163126V

19.如图，在三棱柱ABC-A4G中，AAjl■平面ABC,AB=BC=AC,M=2ABf

。是BC的中点.

(1)证明：AB〃平面ACQ.

(2)求直线AC与平面AG。所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵亚

17

【分析】(1)在平面AG。内作出AB的平行线即可；

(2)建立空间直角坐标系，根据线面角公式即可求得正弦值.

【详解】(1)证明：连接4C,交AG于0,连接OD

因为。是AC的中点，。是5c的中点，

所以。。是AABC的中位线，所以

因为4B<Z平面AG。，OOu平面AG。,

所以AR〃平面4G。

(2)因为A41，平面ABC,AB=BC=AC,可以。为坐标原点，以。耳，刀的方向分别

x,y轴的正方向，平行于4A为z轴，向上为正方向建立如图所示的空间直角坐标系

D—xyz,设AB=2,则A（0,6,0）,C（—1,0,0）,

C,（-1,0,4）.设平面AOG的法向量为n=（x,y,z）,

则令』，得法=（4,0,1）.

因为而=(-1,一石,0),所以cos(衣,万)=^||^=一岑,

故直线AC与平面AG。所成角的正弦值为2叵.

20.已知椭圆C[+£=l(a>〃>0)的离心率为#,P(2,1)为椭圆C上一点.

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)若过点Q(2,0)且斜率为％的直线/与椭圆C相交于A8两点,记直线AP,BP的斜率分

别为试问4+心-2Z是否是定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

_22

【答案】（1）Lx+Lv=1

82

（2）勺+卷一2%为定值-1

【分析】（1）根据离心率与椭圆过的点，列出方程组，待定系数法求解椭圆方程：（2）

设出直线方程，求出两根之和，两根之积，表达出人，右，计算K+&-2k,得到定值.

【详解】⑴设椭圆C的焦距为2c,

41,

7V=I/=8

则a2=b2+c2,解得〃=2

c6c2=6

22

故椭圆C的方程为二+±=1

82

（2）由题意可知直线/的斜率存在，设直线/:丫=%（》一2）,4（5,乂）,3（々,%）.

[£,?£2-1

---+1-1,

联立8--2整理得（4/+1b2-16人+16%2一8=0,,

y=k[x-2）,

16/-8

贝1」斗+&==

4A2+1

/、.y.-1.y-1

因为尸（2,1）,所以勺=三，&=上）7

kx、2k—1+kx?—2k—12k1i

则K+&-2&=

JCj—2x2-2X|-2x2-2

16A,

—----4

+工2—44/+1_______

xx-2（x,+x,）+416公-832公.

t2--------------+4

4k2+14k2+1

故i-2k为定值-i.

21.已知函数〃x）=e*-ar（aeR）.

（1）讨论大x）的单调性.

（2）若。=0,证明：对任意的x>l,者［5有/（x）SLX4-3Vlnx+x3.

【答案】（1）答案见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）分类讨论。的取值范围，利用导数求解函数/（力的单调区间;

（2）对原不等式整理化简得到e7-2（x-31nx+l）,将x-31nx整体代换，并构造函数

求解x-31nx的取值范围，通过整体代换，构造新函数g(x)=e，-x-l,利用导数求解

函数g(x)的极值，结合x-31nx的取值范围，即可证明.

【详解】(1)解：由题意可得/'(x)=e'—〃.

当时，f'(x)>0恒成立，则f(x)在R上单调递增；

当a>0时，由/'(x)>0,得x>lna,由/'(x)<0,得x<ln"，

则f(x)在(9,Ina)上单调递减，在(Ina,内)上单调递增.

综上，当时，f(x)在R上单调递增；

当a>0时，f(x)在(Yo,ln”)上单调递减，在(Ina,长o)上单调递增.

(2)证明：由题得，。=0时，对任意的x>l,都有/(乃之/7/皿%+丁，即

e*>x3(%-31nx+l),

等价于a2(x-3Inx+1),即e'f11'>(x-31nx+l).

x

设g(x)=e*-x—l,则g'(x)=e*-L

由g'(x)>0,得x>0；由g'(x)<0,得x<0.

则g(x)在(0,+8)上单调递增，在(y,0)上单调递减,

故g(x)Ng(O)=O,即即e』+l,当且仅当x=0时,等号成立.

4丫一4

设/z(x)=x-31nx,则=

XX

由得x>3；由〃'(x)<0,得0<x<3.

则/Z(x)在(0,3)上单调递减，在(3,物)上单调递增.

因为/?(3)=3—31n3<0,/i(e2)=e2-6>0,所以/?(x)=0有解，

则e・3Mx»x-3]nx+i,当且仅当x—31nD时，等号成立.

即鼻Nx-31nx+l,即/(x)>x4-3x3lnx+x3.

x

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性,

常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不

等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.

x=逐cos0,

22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为<(。为参数).直线/经

y=2+\[5sm0

过点P(a,O),且倾斜角为

(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线/的一个参数方程；

(2)若直线/与曲线C相交于AB两点，且=求实数”的值.

【答案】(l)/+(y-2)2=5,"(，为数);

=­t

(2)a=-y/3.

【分析】(1)利用sin2〃