第13章 非正弦信号

第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱§13-1非正弦周期信号§13-2非正弦周期函数分解为Fourier级数§13-3有效值、平均值和平均功率§13-4非正弦周期电流电路的计算*§13-5对称三相电路中的高次谐波*§13-6Fourier级数的指数形式*§13-7Fourier积分简介3/1/20241北京科技大学信息工程学院自动化系§13-1非正弦周期信号1.

定义2.特点(1)不是正弦波；

(2)按周期规律变化

不按正弦规律变化的周期信号称为非正弦周期信号。其中，T为周期函数f(t)的周期，k=1,2,···。3/1/20242北京科技大学信息工程学院自动化系例1：半波整流电路的输出信号。3.举例3/1/20243北京科技大学信息工程学院自动化系例2：数字电路中的脉冲信号。3/1/20244北京科技大学信息工程学院自动化系§13-2非正弦周期函数分解为Fourier级数1.Fourier级数任何满足狄里赫利（Dirichlet）条件的函数f(t)，都可以展开成频率为（，T是f(t)的周期）整数倍的一系列正弦量的叠加，即上式中的系数可按下列公式计算：3/1/20245北京科技大学信息工程学院自动化系这种将一个周期函数展开（或分解）为一系列谐波之和（即Fourier级数）的方法称为谐波分析。

3/1/20246北京科技大学信息工程学院自动化系不难得出上述两种形式系数之间有如下关系：还可合并成另一种形式：3/1/20247北京科技大学信息工程学院自动化系

（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；

（2）在一个周期内只有有限个极值点;

当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)；

当x是f(x)的间断点时，级数收敛于

Dirichlet条件：设f(x)是周期为T的周期函数，如果它满足：则f(x)的Fourier级数收敛，并且有：

（3）在一个周期内绝对可积，即返回3/1/20248北京科技大学信息工程学院自动化系2.

利用函数的对称性确定Fourier级数的系数（2）偶函数

－T/2tT/2f(t)（3）奇谐波函数tf(t)T/2T

－T/2tT/2f(t)（1）奇函数3/1/20249北京科技大学信息工程学院自动化系例：试判断下图所示波形展开式的特点。f(t)是奇函数，故展开式中只含有正弦分量。f(t)=解:又由于f(t)是奇谐波函数，所以展开式中只含有奇次谐波分量。综上所述，f(t)的展开式应具有以下形式：f(t)0tT3/1/202410北京科技大学信息工程学院自动化系3.频谱为了表示一个周期函数分解为Fourier级数后包含哪些频率分量以及各分量所占“比重”，用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率高低顺序把它们依次排列起来，可以得到如下图形，这种图形称为f(t)的频谱（图）。由于这种频谱只表示各谐波分量的振幅，所以称之为幅度频谱。由于各频谱的角频率是的整数倍，所以这种频谱是离散的，有时又称为线频谱。3/1/202411北京科技大学信息工程学院自动化系例：试将如下周期性方波信号分解为Fourier级数并画出其频谱图。图示方波电流在一个周期内的表达式为：4.举例tT/2T3/1/202412北京科技大学信息工程学院自动化系直流分量：谐波分量：解：k为奇数k为偶数3/1/202413北京科技大学信息工程学院自动化系的展开式为：的频谱图为：（k为奇数）由于3/1/202414北京科技大学信息工程学院自动化系基波直流分量三次谐波五次谐波七次谐波周期性方波波形分解示意图：3/1/202415北京科技大学信息工程学院自动化系基波直流分量直流分量+基波直流分量+基波+三次谐波三次谐波3/1/202416北京科技大学信息工程学院自动化系tT/2TIS0IS0等效电源3/1/202417北京科技大学信息工程学院自动化系5.说明

(1)Fourier级数是一个无穷级数，因此把一个非正弦周期函数分解为Fourier级数后，从理论上讲，必须取无穷多项方能准确地代表原有函数；但如果级数收敛很快，只取级数的前面几项也就够了，一般5次以上谐波可以略去；

(2)教材P322表13-1给出了几个典型周期函数的Fourier级数展开式。从式中可以看出，函数的波形越光滑和越接近于正弦波，其展开级数收敛得越快。3/1/202418北京科技大学信息工程学院自动化系§13-3有效值、平均值和平均功率1.非正弦周期函数的有效值若则其有效值:上式中i的展开式平方并积分后将含有下列各项3/1/202419北京科技大学信息工程学院自动化系周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的平方根。这样可以求得i的有效值为3/1/202420北京科技大学信息工程学院自动化系2.非正弦周期函数的平均值则其平均值为：若即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。按上式可求得正弦电流的平均值为3/1/202421北京科技大学信息工程学院自动化系上式相当于正弦电流经全波整流后的平均值，这是因为取电流的绝对值相当于把负半周的值变成了对应的正值。3/1/202422北京科技大学信息工程学院自动化系例：计算下图所示矩形波信号的有效值和平均值。解：有效值为==5A平均值为=2.5AOti(A)T/4T103/1/202423北京科技大学信息工程学院自动化系3.非正弦周期电流电路的平均功率利用三角函数的正交性，得：平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率3/1/202424北京科技大学信息工程学院自动化系例：已知一端口的电压和电流，求电压和电流的有效值和一端口的平均功率。解：电压的有效值U=×电流的有效值3/1/202425北京科技大学信息工程学院自动化系平均功率P=10×2+20×3+30×4+40×5×P=10×2+20×3cos60º+30×4cos(-41º)+40×5cos30º××3/1/202426北京科技大学信息工程学院自动化系§

13-4非正弦周期电流电路的计算1.计算步骤（3）利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号分别应用相量法进行计算，并把计算结果转换为时域形式（注意：对应于各交流谐波分量的XL、XC有所不同）；（1）利用Fourier级数，将非正弦周期函数展开成直流分量和多种频率谐波信号的和；（4）应用叠加原理，求出所需的电路响应。（2）应用直流电路的分析方法，计算在直流分量激励下系统的响应；3/1/202427北京科技大学信息工程学院自动化系2.举例RLCtT/2T例1：已知iS为方波信号，，；，，，求图中所示电压u

。3/1/202428北京科技大学信息工程学院自动化系解：（1）已知方波信号的展开式为：代入已知数据：得直流分量3/1/202429北京科技大学信息工程学院自动化系基波最大值五次谐波最大值角频率三次谐波最大值电流源各频率的谐波分量为：3/1/202430北京科技大学信息工程学院自动化系（2）对直流分量和各种频率的谐波分量单独进行计算RIS0U0由于电容断路，电感短路，所以有①

直流分量

IS0

作用3/1/202431北京科技大学信息工程学院自动化系②基波作用RLC由于XL1>>R3/1/202432北京科技大学信息工程学院自动化系③三次谐波作用3/1/202433北京科技大学信息工程学院自动化系④五次谐波作用3/1/202434北京科技大学信息工程学院自动化系

(3)将直流响应和各谐波分量计算结果瞬时值进行叠加3/1/202435北京科技大学信息工程学院自动化系注意：（1）该方法仅适用于线性电路；

（2）把表示不同频率正弦电流的相量直接相加是没有意义的。V1L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30

abcdA3A2V2V1A1例2：已知求图示电路中各表读数（有效值）。3/1/202436北京科技大学信息工程学院自动化系解：(1)U0=30V作用于电路时，L1、L2

短路，C1

、C2开路。IC10=0,I0=IL20=U0/R=30/30=1A,Uad0=Ucb0=U0=30VL1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30

abcdiiC1iL2L1C1C2L2U0+_30

abcdI0IC10IL203/1/202437北京科技大学信息工程学院自动化系(2)u1=120cos1000tV作用时L1、C1

发生了并联谐振。+_30

abcdj40

j40

j40

j10

3/1/202438北京科技大学信息工程学院自动化系补充内容：

RLC并联谐振电路（教材P290）1.并联谐振的定义G如果端口上的电压与电流同相，则称电路发生了谐振。由于是在GLC并联电路中发生的，故称为并联谐振。3/1/202439北京科技大学信息工程学院自动化系

2.并联谐振的条件该频率也称为电路的固有频率，它是由电路的结构和参数决定的。因为，可解得谐振时的角频率和频率：3/1/202440北京科技大学信息工程学院自动化系3.并联谐振发生时电路的主要特点（1）谐振时输入导纳为最小值或者说输入阻抗最大，。（2）谐振时有（所以并联谐振又称为电流谐振），但式中，Q称为并联谐振电路的品质因数。3/1/202441北京科技大学信息工程学院自动化系+_30

abcdj40

j40

j40

j10

3/1/202442北京科技大学信息工程学院自动化系(3)u2=60cos(2000t+

/4)V作用时L2、C2

发生了并联谐振。+_30

abcdj80

j20

j20

j20

3/1/202443北京科技大学信息工程学院自动化系+_30

abcdj80

j20

j20

j20

3/1/202444北京科技大学信息工程学院自动化系i=I0+i1+i2=1A所求的电压、电流的瞬时值为：iC1=IC10+iC11+iC12=3cos(1000t+90

)AiL2=IL20+iL21+iL22=1+3cos(2000t

45)Auad=Uad0