专题11点线面的位置关系（知识梳理精讲）

专题11点线面的位置关系知识点一四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据（2）此推论是判定若干平面重合的依据（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．例1．（1）、（2024上·江西宜春·高二校考期末）能确定一个平面的条件是（

）A．空间的三点 B．一个点和一条直线C．两条相交直线 D．无数点【答案】C【分析】根据基本事实及其推论进行判断即可.【详解】对于A，当这三个点共线时，经过这三点的平面有无数个，故A不正确；对于B，当此点刚好在已知直线上时，有无数个平面经过这条直线和这个点，故B不正确；对于C，根据基本事实的推论可知：两条相交直线可唯一确定一个平面，故C正确；对于D，给出的无数个点不一定在同一个平面内，故D不正确故选：C．（2）、（2020上·云南曲靖·高二宣威市第五中学校考期中）如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用符号语言表示点线面的位置关系即可得解.【详解】对于A，由图知与交于在内，与交于点，所以，故A正确；对于BD，这一表示方法错误，故BD错误；对于C，这一表示方法错误，故C错误.故选：A.1．（2023上·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）下列结论正确的是（

）A．空间中三点确定一个平面B．空间中两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C．一条直线和一个点能确定一个平面D．四边形一定是平面图形【答案】B【分析】ACD选项，可举出反例，B选项，可根据三角形为平面图形得到B正确.【详解】A选项，空间中三点若共线，则不能确定一个平面，A错误；B选项，如图，空间中两两相交且不共点的三条直线可确定三角形，而三角形为平面图形，故可确定一个平面，B正确；C选项，若点在此直线上，此时一条直线和一个点不能确定一个平面，C错误；D选项，四边形可能为空间四边形，此时不是平面图形，如图，三棱锥中，四边形就是空间四边形，D错误.故选：B2．（2023上·广东深圳·高二校考开学考试）（多选题）下列说法中正确的是（

）A．三点确定一个平面B．三角形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．不重合的平面和平面有不同在一条直线上的三个交点【答案】BC【分析】根据不共线的三点确定一个平面及推论判断ABC，根据公理3（基本事实3）判断D.【详解】对于A，不共线的三点确定一个平面，错误；对于B，三角形的三个顶点不在一条线，可确定唯一一个平面，故三角形一定是平面图形，正确；对于C，梯形中有两条线平行，可确定唯一一个平面，故梯形一定是平面图形，正确；对于D，若不重合的两个平面相交，则它们一定有一条交线，所有的两个平面的公共点都在这条交线上，错误.故选：BC.知识点二直线与直线的位置关系位置关系相交（共面）平行（共面）异面图形符号a∥b公共点个数100特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在如何一个平面内例2．（1）、（2023上·上海·高二期末）如果直线a和b没有公共点，那么a与b（）A．共面 B．平行C．可能平行，也可能是异面直线 D．是异面直线【答案】C【分析】根据直线a和b没有公共点，结合空间直线的位置关系进行判断．【详解】∵直线a和b没有公共点，∴直线a与b不是相交直线．∴直线a与b可能是相交直线或异面直线．故选：C．（2）、（2023下·陕西西安·高一期末）（多选题）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是（

）A．直线与直线相交；B．直线与直线平行；C．直线BM与直线是异面直线；D．直线与直线成角.【答案】CD【分析】将正方体的平面展开图，复原为正方体，根据异面直线的定义，可判定A、B不正确；C正确；再结合异面直线所成的角的定义与求解，可判定D正确.【详解】如图所示，将正方体的平面展开图，复原为正方体，对于A中，直线与不同在任何一个平面内，否则四点共面，（矛盾），所以直线与为异面直线，所以A不正确；对于B中，直线与不同在任何一个平面内，否则四点共面，（矛盾），所以直线与为异面直线，所以B不正确；对于C中，平面平面，平面，平面，所以直线与不相交，连接，则，而与相交，所以与不平行，否则，不合题意，所以直线与是异面直线，所以C正确；对于D中，连接，则为正三角形，可得，又由，则为直线与直线所成的角，即直线与直线所成的角为，所以D正确.故选：CD.（3）、（2024·全国·模拟预测）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，点为上靠近点的三等分点，点为上靠近点A的四等分点，则异面直线与所成角的余弦值为．【答案】【分析】取的中点，连接，可知或其补角为异面直线与所成的角．结合余弦定理分析求解.【详解】如图，取的中点，连接，则，则，可知或其补角为异面直线与所成的角．因为，即为等边三角形，不妨取，连接，则，过点作于点，则，可得，连接，则，过点作，垂足为，连接，则，所以，则，又，所以，故异面直线与所成角的余弦值为．故答案为：.1．（2023上·上海·高二专题练习）若是异面直线，直线，则c与b的位置关系是.【答案】相交或异面【分析】利用异面直线的定义与平面相关定理即可得解.【详解】因为是两条异面直线，直线，所以过b任一点可作与a平行的直线c，此时c与b相交；另外，c与b不可能平行，理由如下：若，则由可得到，这与a，b是两条异面直线矛盾，故c与b异面；综上，c与b的位置关系是相交或异面.故答案为：相交或异面．2．（2023上·上海崇明·高二上海市崇明中学校考期中）如图，在正方体中，异面直线与所成的角为．【答案】【分析】根据给定条件，作出异面直线与所成的角，再求出三角形某个内角即得.【详解】在正方体中，连接，正方体的对角面是矩形，则，因此是异面直线与所成的角或其补角，而，即是正三角形，则，所以异面直线与所成的角为.故答案为：3．（2019·广东江门·统考一模）正方体的平面展开图如图，、、、四条对角线两两一对得到6对对角线，在正方体中，这6对对角线所在直线成角的有（

）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【答案】D【分析】先利用正方体的平面展开图还原成正方体，分析6对对角线成角情况，得到答案.【详解】如图所示，将平面展开图还原成正方体，AB与GH成角等价于HF与GH成角，易得为等边三角形，所以AB与GH成角为，同理可得，AB与EF、GH与CD、EF与CD所成的角为，共4对.AB与CD成角等价于HF与CD成角，因为四边形CFDH为正方形，所以HF与CD成角为，即AB与CD成角，同理可得，EF与GH所成的角为.故选：D.例2．（2023上·山东潍坊·高二统考期中）如图，在长方体中，，分别是，的中点，，且.(1)求并求直线与所成角的余弦值；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由勾股定理可直接求出；建系，利用空间向量法求出异面直线的夹角即可；（2）用等体积法求出点到直线的距离即可；【详解】（1）

连接，因为在长方体中，则，则，在中，，所以；以为原点，所在直线为轴建立坐标系，则所以设与所成的角，则，因为异面直线所成的角时锐角或直角，则直线与所成角的余弦值为（2）连接，因为，设点到平面的距离为，则，因为，故，点到平面的距离为.1．（2023上·上海浦东新·高二校考期中）在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是的中点.(1)求异面直线与所成角的大小；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）取中点，可证得是异面直线与所成角或其补角，在中求解即可得；（2）利用等体积法（）求解．【详解】（1）取中点，连接，因为是中点，所以，所以是异面直线与所成角或其补角，平面，平面，所以，同理，正方体棱长为2，是中点，则，，，所以，所以，所以，所以异面直线与所成角是；（2）由已知，，因此中边上高为，，，设到平面的距离为，则，．所以到平面的距离为．知识点三直线与平面的位置关系位置关系包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）图形符号∥公共点个数无数个10例4．（1）、（2024上·上海黄浦·高二统考期末）已知直线l、平面，“l与相交”是“l与至多有一个公共点”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】根据空间中直线与平面的位置关系即可求解.【详解】若l与相交，则l与只有一个公共点，故充分性成立，若l与至多有一个公共点，则l与相交或者，故必要性不成立，故“l与相交”是“l与至多有一个公共点”的充分非必要条件，故选:A（2）、（2023下·山东临沂·高一统考期中）若直线在平面外，则（

）A． B．与至多有一个公共点C． D．与至少有一个公共点【答案】B【分析】根据直线与平面的位置关系判断即可.【详解】因为直线在平面外，所以或与相交，当时与没有公共点，当与相交时与有且仅有一个公共点，所以与至多有一个公共点.故选：B（3）、（2023下·陕西宝鸡·高一校考期中）（多选题）下列是基本事实的是（

）A．过三个点有且只有一个平面B．平行于同一条直线的两条直线平行C．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【答案】BCD【分析】根据基本事实判断即可.【详解】对于A，基本事实1是过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，故A错误；对于B，“平行于同一条直线的两条直线平行”是基本事实4，故B正确；对于C，“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”是基本事实2，故C正确；对于D，“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”是基本事实3，故D正确.故选：BCD1．（2023上·上海青浦·高二上海市青浦高级中学校考期末）若一直线上有两点到一个平面的距离都等于1，则该直线与这个平面的位置关系是（

）．A．直线在平面内 B．直线与平面相交或平行C．直线与平面相交 D．直线平行平面【答案】B【分析】根据直线与平面的位置关系，结合题意，进行判断.【详解】结合题意：要使一条直线的两点到一个平面的距离为1，则由线面位置关系可得：当时，可满足题意；当与相交时，在面的异侧各有一个点可满足题意；当时，无法满足题意.故直线与平面相交或平行.故选：B.2．（2022下·浙江嘉兴·高一校联考期中）给出下列判断，其中正确的是（

）A．若直线上有无数个点不在平面内，则B．空间三点可以确定一个平面C．如果两个平面相交，则它们有有限个公共点D．如果直线与平面平行，则与平面内任意一条直线都没有公共点【答案】D【分析】根据线面平行的性质、基本事实、面面相交的性质逐一判断即可.【详解】A：当时，直线上存在无数个点不在平面内，因此本选项不正确；B：当三点共线时，可以确定无数个平面，因此本选项不正确；C：因为两个平面相交于一条直线，而直线上有无数个点，因此本选项不正确；D：根据线面平行的性质可知该选项正确，故选：D3．（2023下·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期中）（多选题）下列说法中正确的是（

）A．若直线与平面不平行，则l与相交B．直线在平面外，则直线上不可能有两个点在平面内C．如果直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行D．如果是异面直线，，，则，是异面直线【答案】BD【分析】根据线线、线面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对A，若直线与平面不平行，则与相交或，故A错误；对B，直线在平面外，则直线与平面平行或相交，故直线在平面无交点或仅有个交点，故B正确；对C，若直线与平面相交，直线上仍存在两个在平面不同侧的点到平面的距离相等，则故C错误；对D，如果是异面直线，，则异面，则是异面直线，故D正确.故选：BD知识点四平面与平面的位置关系位置关系平行相交（但不垂直）垂直图形符号∥，公共点个数0无数个公共点且都在唯一的一条直线上无数个公共点且都在唯一的一条直线上例5．（1）、（2023上·广东惠州·高二校联考阶段练习）（多选题）设P表示一个点，a，b表示两条不同直线，，表示两个不同平面，下列说法不正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，，则D．若，，，则【答案】AB【分析】根据点线面的位置关系，结合平面基本性质判断各项的正误即可.【详解】当时，，，而，A错误；当时，但，B错误；，，则，由直线a与点P确定唯一平面，由a与b确定唯一平面，且该平面经过直线a与点P，所以该平面与重合，则，故C正确；由两个平面的公共点必在其交线上，故D正确．故选：AB（2）、（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知a，b是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】BD【分析】根据线，面之间的位置关系及判定定理逐项判断.【详解】对于A，若，，则或，故A选项不正确；对于B，若，，则，故B选项正确；对于C，若，，则或，故C选项不正确；对于D，若，，则，故D选项正确.故选：BD.（3）、（2024上·上海浦东新·高二校考期末）设m、n是不同的直线，、是不同的平面，其中真命题有（

）个．（1）若，，，则；（2）若，，，则；（3）若，，，则；（4）若，，，，则；A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据面面垂直、面面平行的判定定理和性质逐一判断即可.【详解】对于（1）:若，则，又，则，故（1）正确;对于（2）:若，则或与相交，故（2）错误;对于（3）:若，则或与相交，故（3）错误;对于（4）：根据面面平行的判定定理，，条件缺乏与相交，故（4）错误，故选：B1．（2023上·浙江·高二校联考期中）（多选题）已知，为空间中不同的两条直线，，为空间中不同的两个平面，下列命题错误的是（

）A．若，，则B．若，，，则C．若，，则和为异面直线D．若，，且，则【答案】ABC【分析】根据线面位置关系，逐一检验，可得答案.【详解】对于A，由，，则或，故A错误；对于B，由，，，则或与异面，故B错误；对于C，由，，则无法确定直线与的位置关系，平行、相交、异面都有可能，故C错误；对于D，由，，则与一定不相交；假设与异面，由，，则，，，由与异面，则与相交，但这与平行公理矛盾，故D正确.故选：ABC.2．（2024·全国·模拟预测）（多选题）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，，则m与n相交或异面B．若，，，则C．若，，则D．若，，，则m与n平行或相交或异面【答案】ABD【分析】根据线面位置关系的判断，逐一判断即可．【详解】选项A：若，，则m与n相交或异面，A正确．选项B：若，，则，又，α，β是两个不同的平面，所以，B正确．选项C：若，，则或，故C错误．选项D：若，，，则m与n平行或相交或异面，故D正确．故选：ABD.3．（2024·河南·统考模拟预测）（多选题）设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】由线面平行性质判断真命题，举反例判定假命题即可.【详解】对于A，可能平行，相交或异面，故A错误，对于B，可能相交或平行，故B错误，对于D，可能相交或平行，故D错误，由线面平行性质得C正确，故选：C知识点五截面问题例6．（1）、（2023上·江西·高三校联考阶段练习）已知棱长为4的正四面体，用所有与点A，B，C，D距离均相等的平面截该四面体，则所有截面的面积和为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】找到两类截面，分别为一类是平面的一侧是1个点，另外一侧有3个点（如图1），此时截面过棱的中点，且与一个面平行；另外一类是平面的两侧各有2个顶点（如图2），因为正四面体对棱垂直，分别计算出面积即可.【详解】与点A，B，C，D距离均相等的平面可分为两类，一类是平面的一侧是1个点，另外一侧有3个点（如图1），此时截面过棱的中点，且与一个面平行，故截面三角形与平行的面（三角形）相似，相似比为，故其面积为，这样的截面共有4个，故这类截面的面积和为，另外一类是平面的两侧各有2个顶点（如图2），因为正四面体对棱垂直，易知四边形PQMN是边长为2的正方形，其面积为4，这样的截面共有3个，故这类截面的面积和为12，故符合条件的截面的面积和为.故选：A．（2）、（2023上·重庆·高三校联考阶段练习）如图，已知正方体的棱长为4，，，分別是棱，，的中点，平面截正方体的截面面积为.【答案】【分析】在正方体中作出平面截正方体的截面，进而求出其面积即可.【详解】在正方体中，延长交延长线于，连接交于，并延长交延长线于R，延长交延长线于，连接交于，交于，易知点共面，平面即为平面，所以平面截正方体的截面为六边形，因为，，分別是棱，，的中点，所以根据相似比易知点都为其所在正方体棱的中点，则易得六边形为正六边形，因为正方体的棱长为4，所以正六边形的边长，所以截面面积为.故答案为：1．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（

）A． B．9 C． D．【答案】A【分析】作出正方体的截面图形，求出周长即可.【详解】

如图，取AB的中点G，连接GE，，．因为E为BC的中点，所以，，又，，所以四边形为平行四边形，所以，，所以，，所以用过点，E，的平面截正方体，所得截面为梯形，其周长为．故选：A．2．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考一模）如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，E，F分别是AB，BC的中点，过点，E，F的平面记为，则下列说法中正确的序号是.①平面截直四棱柱所得截面的形状为四边形②平面截直四棱柱所得截面的面积为③二面角的正切值为④点B到平面的距离与点D到平面的距离之比为1∶3【答案】②③④【分析】作出截面即可判断①；计算出截面各边长度，即可求出面积判断②；图中易作出EF的垂面得到二面角的正切值，即可判断③；连DB与EF交于G，易得D、B到G的距离比，即可判断④.【详解】如下图，延长DA、DC交直线EF于点P、Q，连接D1P、D1Q，交棱A1A、C1C与点M、N，连接D1M、ME、D1N、NF，可得五边形，故①错误；计算可得截面五边形各边长度分别为D1M=D1N=，ME=EF=FN=，因此五边形D1MEFN可分成等边三角形D1MN和等腰梯形MEFN，可求得面积分别为和，则五边形D1MEFN的面积为，故②对；连DB与EF交于G，可得二面角的平面角为，可求出，而，所以，故③对；易得BG：DG=1∶3，所以点B、D到平面的距离之比为1∶3，故④对.故答案为：②③④.【点睛】(1)作几何体的截面时，关键是要找到两个公共点，连接即可得交线；(2)多边形的面积没法直接求时，可分割成常见图形求；(3)由二面角的定义可知，和公共棱垂直的平面与两面的交线所成的角就是二面角的平面角；(4)线段与平面相交时，线段两端点到平面的距离比等于它们到交点的距离比.知识点六综合问题例7．（1）、（2023上·山西大同·高三大