高中人教A版数学课时素养检测6-2-4向量的数量积

课时素养检测五向量的数量积(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.若|a|=4,|b|=6,a与b的夹角为135°,则a·(b)等于()A.12B.-12C.12QUOTED.12QUOTE【解析】选C.因为a·(b)=a·b=|a|·|b|cos135°=4×6×(QUOTE)=12QUOTE.【补偿训练】1.在△ABC中,BC=5,AC=8,∠C=60°,则·=()A.20B.-20C.20QUOTED.20QUOTE【解析】选B.·=||||cos120°=5×8×QUOTE=20.2.已知△ABC中,=a,=b,若a·b<0,则△ABC是()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.任意三角形【解析】选A.由a·b<0易知向量a与b的夹角为钝角.2.(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(ab)⊥b,则a与b的夹角为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.设夹角为θ,因为(ab)⊥b,所以(ab)·b=a·bb2=0,所以a·b=b2,所以cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又θ∈[0,π],所以a与b的夹角为QUOTE.【补偿训练】若非零向量a、b满足|a|=QUOTE|b|,且(ab)⊥(3a+2b),则a与b的夹角θ为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.π【解析】选A.由条件,得(ab)·(3a+2b)=3a22b2a·b=0,即a·b=3a22b2.又|a|=QUOTE|b|,所以a·b=3·QUOTE2b2=QUOTEb2,所以cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以向量a与b的夹角为QUOTE.3.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a3b)=72,则|a|=()A.2 B.4 C.6 D.12【解析】选C.因为(a+2b)·(a3b)=72,所以a2a·b6b2=72.所以|a|2|a||b|cos60°6|b|2=72.所以|a|22|a|24=0.又因为|a|≥0,所以|a|=6.4.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90°,c=2a+3b,d=ka4b,c与dA.6 B.6 C.3 D.3【解析】选B.因为c·d=0,所以(2a+3b)·(ka4b)=0,所以2ka2-8a·b+3ka·b12b5.P是△ABC所在平面上一点,若·=·=·,则P是△ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心【解析】选D.由·=·得·()=0,即·=0,所以PB⊥CA.同理PA⊥BC,PC⊥AB,所以P为△ABC的垂心.6.(多选题)已知a,b,c为非零向量,下列说法不正确的是()A.若|a·b|=|a||b|,则a∥bB.若a·c=b·c,则a=bC.若|a|=|b|,则|a·c|=|b·c|D.(a·b)|c|=|a|(b·c)【解析】选BCD.|a·b|=||a||b|cosθ|=|a||b|,所以cosθ=±1,即θ=0°或180°,此时a∥b;A正确;选项B中,设a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2,因为a·c=b·c,所以|a||c|cosθ1=|b|·|c|cosθ2,即|a|cosθ1=|b|cosθ2,B不一定正确;C项中,a与c的夹角和b与c的夹角不相等时,结论不成立;D项中,a与b的夹角,b与c的夹角不一定相等,所以不一定成立.【补偿训练】对于向量a、b、c和实数λ,下列命题中真命题是()A.若a·b=0,则a=0或b=0B.若λa=0,则λ=0或a=0C.若a2=b2,则a=b或a=bD.若a·b=a·c,则b=c【解析】选B.A中,若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b,故A错;C中,若a2=b2,则|a|=|b|,C错;D中,若a·b=a·c,则可能有a⊥b,a⊥c,但b≠c,故只有选项B正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.设向量a,b满足:|a|=1,a·b=QUOTE,|a+b|=2QUOTE,则|b|=________.

【解析】因为(2QUOTE)2=8=|a+b|2=a2+b2+2a·b,所以b2+4=8,|b|=2.答案:28.已知e1、e2是夹角为QUOTE的两个单位向量,a=e12e2,b=ke1+e2,若k=1,则a·b=______;若a·b=0,则实数k的值为______.

【解析】当k=1时a·b=(e12e2)·(e1+e2)=QUOTEe1e22QUOTE=QUOTE.由a·b=0得(e12e2)·(ke1+e2)=0.整理,得k2+(12k)cosQUOTE=0,解得k=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图,在平行四边形ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°.求:(1)·;(2)·;(3)·.【解析】(1)·=||2=9.(2)·=||2=16.(3)·=||||cos(180°60°)=4×3×QUOTE=6.【补偿训练】已知|a|=10,|b|=12,a与b的夹角为120°,求:(1)a·b;(2)(3a)·QUOTE;(3)(3b-2a)·(4a+【解析】(1)a·b=|a||b|cosθ=10×12×cos120°=60.(2)(3a)·QUOTE=QUOTE(a·b)=QUOTE×(60)=36.(3)(3b-2a)·(4a+b)=12b·a+3b2-8a2-2a·b=10a·b+3|b|28|a|2=10×(60)+3×12210.已知|a|=4,|b|=3,a与b的夹角为120°,且c=a+2b,d=2a+kb当k为何值时,(1)c⊥d.(2)c∥d.【解析】c·d=(a+2b)·(2a+kb(1)当c⊥d时,8+12k=0,解得k=QUOTE.(2)当c∥d时,根据题意知,c,d都为非零向量且共线,所以存在x,使d=xc,即2a+kb=xa+2xb所以QUOTE所以k=4.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=1,则向量a与ab的夹角为()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTEπD.QUOTEπ【解析】选A.|ab|=QUOTE=QUOTE=QUOTE,设向量a与ab的夹角为θ,则cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又θ∈[0,π],所以θ=QUOTE.【补偿训练】已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,且|2a+b|=QUOTE,则a与b的夹角θ为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为|2a+b|2=4+9+4a·所以a·b=QUOTE,cosθ=QUOTE=QUOTE.又θ∈[0,π],所以θ=QUOTE.2.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)等于()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为AM=1,且=2,所以||=QUOTE.如图,·(+)=·(2)=·==QUOTE=QUOTE.【补偿训练】在△ABC中,C=90°,CB=3,点M满足=2,则·=________.

【解析】因为=+=+QUOTE=+QUOTE()=QUOTE+QUOTE,又C=90°,·=0,所以·=·=QUOTE=3.答案:33.在△ABC中,=a,=b,a·b<0,则三角形的形状是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不能确定【解析】选D.如图,a·b=||·||cos(πB),所以cosB>0,B为锐角,但三角形不一定为锐角三角形.【补偿训练】已知△ABC中,若=·+·+·,则△ABC是()A.等边三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.钝角三角形【解析】选C.由·=·+·,得·()=·(),即·=·,所以·+·=0,所以·(+)=0,则·=0,即⊥,所以△ABC是直角三角形.4.(多选题)已知向量a,b的夹角为120°,|a|=|b|=1,c与a+b同向,则|ac|的值可以为()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选AD.因为|a|=|b|=1,c与a+b同向,所以a与c的夹角为60°.又|ac|=QUOTE=QUOTE=QUOTE,故|ac|min=QUOTE.由选项可知|ac|的值可以为1或QUOTE.二、填空题(每小题4分,共16分)5.(2019·全国卷Ⅲ)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2aQUOTEb,则cos<a,c>=________.

【解析】因为c2=(2aQUOTEb)2=4a2+5b2-4QUOTEa·b=9,所以|c|=3,因为a·c=a·(2aQUOTEb)=2a2QUOTEa·b=2,所以cosa,c=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】设向量a,b满足|a+b|=QUOTE,|ab|=QUOTE,则a·b=________.

【解析】因为|a+b|=QUOTE,所以(a+b)2=10,即a2+b2+2a·b=10.因为|ab|=QUOTE,所以(ab)2=6,即a2+b2-2a·b=6.由①②可得a·b=1.答案:16.已知a⊥b,|a|=2,|b|=1,且3a+2b与λab垂直,则λ等于________【解析】因为(3a+2b)⊥(λab),所以(λab)·(3a+2b)=0,所以3λa2+(2λ3)a·b2b又因为|a|=2,|b|=1,a⊥b,所以12λ+(2λ3)×2×1×cos90°2=0,所以12λ2=0,所以λ=QUOTE.答案:QUOTE7.已知|a|=|b|=|c|=1,且满足3a+mb+7c=0,其中a与b的夹角为60°,则实数m=【解析】因为3a+mb+7c=0,所以3a+mb所以(3a+mb)2=(7c)2,化简得9+m2+6ma·又a·b=|a||b|cos60°=QUOTE,所以m2+3m40=0,解得m=5或m=8.答案:5或88.已知向量a、b满足:|a|=1,|b|=6,a·(ba)=2,则a与b的夹角为________;|2ab|=________【解析】由于a·(ba)=a·ba2=a·b1=2,则a·b=3.设a与b的夹角为θ,则cosθ=QUOTE=QUOTE,又θ∈[0,π],所以θ=QUOTE.因为|2ab|2=4a2-4a·b+b2=28,所以|2ab|=2QUOTE.答案:QUOTE2QUOTE【补偿训练】已知非零向量a,b,满足a⊥b,且a+2b与a2b的夹角为120°,则QUOTE=________.

【解析】(a+2b)·(a2b)=a24b2,因为a⊥b,所以|a+2b|=QUOTE,|a2b|=QUOTE.所以cos120°=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(共38分)9.(12分)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,k为何值时,向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角?【解析】因为e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,所以(e1+ke2)·(ke1+e2)=kQUOTE+kQUOTE+(k2+1)e1·e2=2k>0,所以k>0.但当k=1时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为0°,不符合题意,舍去.综上可知,k∈(0,1)∪(1,+∞)时,向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角.10.(12分)已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角为120°.(1)求证:(ab)⊥c;(2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求k的取值范围.【解析】(1)因为|a|=|b|=|c|=1且a,b,c之间的夹角均为120°,所以(ab)·c=a·cb·c=|a||c|cos120°|b||c|cos120°=0,所以(ab)⊥c.(2)因为|ka+b+c|>1,所以(ka+b+c)·(ka+b+c)>1,即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c因为a·c=a·b=b