2024年高考真题理科数学函数与方程专题

由莲山课件提供/资源全部免费由莲山课件提供/资源全部免费2024年高考真题理科数学解析分类汇编2函数与方程一、选择题1.【2024高考重庆理7】是定义在R上的偶函数，且以2为周期，那么“为上的增函数〞是“为上的减函数〞的〔A〕既不充分也不必要的条件〔B〕充分而不必要的条件〔C〕必要而不充分的条件〔D〕充要条件【答案】D【解析】因为为偶函数，所以当在上是增函数，那么在上那么为减函数，又函数的周期是4，所以在区间也为减函数.假设在区间为减函数，根据函数的周期可知在上那么为减函数，又函数为偶函数，根据对称性可知，在上是增函数，综上可知，“在上是增函数〞是“为区间上的减函数〞成立的充要条件，选D.2.【2024高考北京理8】某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如以下列图.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。m值为〔〕A.5B.7C.9D.11【答案】C【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该参加，因此选C。3.【2024高考安徽理2】以下函数中，不满足：的是〔〕 【答案】C【命题立意】此题考查函数的概念与解析式的判断。【解析】与均满足：得：满足条件．4.【2024高考天津理4】函数在区间(0,1)内的零点个数是〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕3【答案】B【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数学能力.【解析】解法1：因为函数的导数为，所以函数单调递增，又，，即且函数在内连续不断，故根据根的存在定理可知在内的零点个数是1.解法2：设，，在同一坐标系中作出两函数的图像如以下列图：可知B正确.5.【2024高考全国卷理9】x=lnπ，y=log52，，那么(A)x＜y＜z〔B〕z＜x＜y(C)z＜y＜x(D)y＜z＜x【答案】D【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用，采用中间值大小比较方法。【解析】，，，，所以，选D.6.【2024高考新课标理10】函数；那么的图像大致为〔〕【答案】B【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用。要是函数图像与轴有两个不同的交点，那么需要满足极佳中一个为零即可。【解析】法1：因为三次函数的图像与轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可得极大值或者极小值为零即可满足要求。而，当时取得极值由或可得或，即。法2：排除法，因为，排除A.，排除C,D，选B.7.【2024高考陕西理2】以下函数中，既是奇函数又是增函数的为〔〕A.B.C.D.【答案】D.【解析】根据奇偶性的定义和根本初等函数的性质易知A非奇非偶的增函数；B是奇函数且是减函数；C是奇函数且在，上是减函数；D中函数可化为易知是奇函数且是增函数.应选D.8.【2024高考重庆理10】设平面点集，那么所表示的平面图形的面积为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【解析】法1：由对称性：围成的面积与，围成的面积相等得：所表示的平面图形的面积为，围成的面积既。法2：由可知或者，在同一坐标系中做出平面区域如图：，由图象可知的区域为阴影局部，根据对称性可知，两局部阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为，选D.9.【2024高考山东理3】设且，那么“函数在上是减函数〞，是“函数在上是增函数〞的〔A〕充分不必要条件〔B〕必要不充分条件〔C〕充分必要条件〔D〕既不充分也不必要条件【答案】A【解析】假设函数在R上为减函数，那么有。函数为增函数，那么有，所以，所以“函数在R上为减函数〞是“函数为增函数〞的充分不必要条件，选A.10.【2024高考四川理3】函数在处的极限是〔〕A、不存在B、等于C、等于D、等于【答案】A.【解析】即为，故其在处的极限不存在，选A.[点评]分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值，故不存在极限.对于分段函数，掌握好定义域的范围是关键。11.【2024高考四川理5】函数的图象可能是〔〕【答案】D【解析】当时单调递增，，故A不正确；因为恒不过点，所以B不正确；当时单调递减，，故C不正确；D正确.[点评]函数大致图像问题，解决方法多样，其中特殊值验证、排除法比较常用，且简单易用.12.【2024高考山东理8】定义在上的函数满足.当时，，当时，。那么〔A〕335〔B〕338〔C〕1678〔D〕2024【答案】B【解析】由，可知函数的周期为6，所以，，，，，，所以在一个周期内有，所以，选B.13.【2024高考山东理9】函数的图像大致为【答案】D【解析】函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A,令得，所以，，函数零点有无穷多个，排除C,且轴右侧第一个零点为，又函数为增函数，当时，，，所以函数，排除B，选D.14.【2024高考山东理12】设函数，假设的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,那么以下判断正确的选项是A.当时，B.当时，C.当时，D.当时，【答案】B【解析】法1：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当时，要想满足条件，那么有如图，做出点A关于原点的对称点C,那么C点坐标为，由图象知即，同理当时，那么有，故答案选B.法2：，那么方程与同解，故其有且仅有两个不同零点.由得或.这样，必须且只须或，因为，故必有由此得.不妨设，那么.所以，比较系数得，故.，由此知，故答案为B.法3:令，那么，设，令，那么，要使y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点只需，整理得，于是可取来研究，当时，，解得，此时，此时；当时，，解得，此时，此时.答案应选B。法4：令可得。设不妨设，结合图形可知，当时如右图，此时，即，此时，，即；同理可由图形经过推理可得当时.答案应选B。15.【2024高考辽宁理11】设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|，那么函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为(A)5(B)6(C)7(D)8【答案】B【命题意图】此题主要考查函数的奇偶性、对称性、周期性、函数图像、函数零点等根底知识，是难题.【解析】法1：因为当时，f(x)=x3.所以当，f(x)=f(2x)=(2x)3，当时，g(x)=xcos；当时，g(x)=xcos，注意到函数f(x)、g(x)都是偶函数，且f(0)=g(0)，f(1)=g(1)，，作出函数f(x)、g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间上各有一个零点，共有6个零点，应选B法2：由知,所以函数为偶函数，所以，所以函数为周期为2的周期函数，且，而为偶函数，且，在同一坐标系下作出两函数在上的图像，发现在内图像共有6个公共点，那么函数在上的零点个数为6，应选B.【点评】此题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点，考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想，难度较大。16.【2024高考江西理2】以下函数中，与函数定义域相同的函数为A．B.C.y=xexD.【答案】D【命题立意】此题考查常有关对数函数，指数函数，分式函数的定义域以及三角函数的值域.【解析】函数的定义域为。的定义域为,的定义域为，函数的定义域为，所以定义域相同的是D,选D.【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中，分母不为零;(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对数的真数大于0：〔4〕实际问题还需要考虑使题目本身有意义.表达考纲中要求了解一些简单函数的定义域，来年需要注意一些常见函数：带有分式，对数，偶次根式等的函数的定义域的求法.17.【2024高考江西理3】假设函数，那么f(f(10)=A.lg101B.2【答案】B【命题立意】此题考查分段函数的概念和求值。【解析】，所以，选B.【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，表达考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式.18.【2024高考江西理10】如右图，正四棱锥所有棱长都为1，点E是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两局部，记截面下面局部的体积为那么函数的图像大致为【答案】A【命题立意】此题综合考查了棱锥的体积公式，线面垂直，同时考查了函数的思想,导数法解决几何问题等重要的解题方法.【解析】〔定性法〕当时，随着的增大，观察图形可知，单调递减，且递减的速度越来越快；当时，随着的增大，观察图形可知，单调递减，且递减的速度越来越慢；再观察各选项中的图象，发现只有A图象符合.应选A.【点评】对于函数图象的识别问题，假设函数的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，没必要去求解具体的解析式，不但方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃；再次，作为选择题也没有太多的时间去给学生解答；因此，使用定性法，不但求解快速，而且准确节约时间.19．【2024高考湖南理8】两条直线：y=m和：y=(m＞0)，与函数的图像从左至右相交于点A，B，与函数的图像从左至右相交于C,D.记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时，的最小值为A．B.C.D.【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y=m，y=(m＞0)，图像如以以下列图，由=m，得，=，得.依照题意得.，.【点评】在同一坐标系中作出y=m，y=(m＞0)，图像，结合图像可解得.20.【2024高考湖北理9】函数在区间上的零点个数为A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C考点分析：此题考察三角函数的周期性以及零点的概念.【解析】，那么或，，又，所以共有6个解.选C.21.【2024高考广东理4】以下函数中，在区间〔0，+∞〕上为增函数的是A.y=ln〔x+2〕B.y=-C.y=〔〕xD.y=x+【答案】A【解析】函数y=ln〔x+2〕在区间〔0，+∞〕上为增函数；函数y=-在区间〔0，+∞〕上为减函数；函数y=〔〕x在区间〔0，+∞〕上为减函数；函数y=x+在区间〔0，+∞〕上为先减后增函数．应选A．22.【2024高考福建理7】设函数那么以下结论错误的选项是A.D〔x〕的值域为{0,1}B.D〔x〕是偶函数C.D〔x〕不是周期函数D.D〔x〕不是单调函数【答案】Ｃ．考点：分段函数的解析式及其图像的作法。难度：中。分析：此题考查的知识点为分段函数的定义，单调性、奇偶性和周期性的定义和判定。解答：A中，由定义直接可得，的值域为。B中，定义域为，，所以为偶函数。C中，，所以可以找到1为的一个周期。D中，，所以不是单调函数。23.【2024高考福建理10】函数f〔x〕在[a,b]上有定义，假设对任意x1，x2∈[a,b]，有那么称f〔x〕在[a,b]上具有性质P.设f〔x〕在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：①f〔x〕在[1,3]上的图像时连续不断的；②f〔x2〕在[1,]上具有性质P；③假设f〔x〕在x=2处取得最大值1，那么f〔x〕=1，x∈[1,3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有其中真命题的序号是A.①②B.①③C.②④D.③④【答案】D．考点：演绎推理和函数。难度：难。分析：此题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误只需举出反例即可，说明一个结论正确要证明对所有的情况都成立。【解析】法1：假设函数在时是孤立的点，如图，那么①可以排除；函数具有性质p，而函数不具有性质p，所以②可以排除；设，那么,即，又，所以，因此③正确；所以④正确.应选D.法2：A中，反例：如以下列图的函数的是满足性质的，但不是连续不断的。B中，反例：在上具有性质，在上不具有性质。C中，在上，，，所以，对于任意。D中，二、填空题24.【2024高考福建理15】对于实数a和b，定义运算“﹡〞：，设，且关于x的方程为f〔x〕=m〔m∈R〕恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，那么x1x2x3的取值范围是_________________.【答案】．【命题立意】此题属于新概念型题目，考查了根据条件确定分段函数解析式的能力，以及数形结合的思想和根本推理与计算能力，难度较大．【解析】法1：由新定义得，所以可以画出草图，假设方程有三个根，那么，且当时方程可化为，易知；当时方程可化为，可解得，所以，又易知当时有最小值，所以，即.法2：由题可得，可得，且所以时，，所以。25.【2024高考上海理7】函数〔为常数〕。假设在区间上是增函数，那么的取值范围是。【答案】【解析】令，那么在区间上单调递增，而为增函数，所以要是函数在单调递增，那么有，所以的取值范围是。【点评】此题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运用.此题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.此题属于中低档题目，难度适中.26.【2024高考上海理9】是奇函数，且，假设，那么。【答案】【解析】因为为奇函数，所以，所以，，所以。【点评】此题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数为奇函数，所以有这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，此题属于中档题，难度适中.27.【2024高考江苏5】〔5分〕函数的定义域为▲．【答案】。【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得。28.【2024高考北京理14】，，假设同时满足条件：①，或；②,。那么m的取值范围是_______。【答案】【解析】根据，可解得。由于题目中第一个条件的限制，或成立的限制，导致在时必须是的。当时，不能做到在时，所以舍掉。因此，作为二次函数开口只能向下，故，且此时两个根为，。为保证此条件成立，需要，和大前提取交集结果为；又由于条件2：要求，0的限制，可分析得出在时，恒负，因此就需要在这个范围内有得正数的可能，即应该比两根中小的那个大，当时，，解得，交集为空，舍。当时，两个根同为，舍。当时，，解得，综上所述．29.【2024高考天津理14】函数的图象与函数的图象恰有两个交点，那么实数k的取值范围是_________.【答案】或【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点，从而确定参数的取值范围.【解析】函数，当时，，当时，，综上函数，做出函数的图象(蓝线)，要使函数与有两个不同的交点，那么直线必须在四边形区域ABCD内(和直线平行的直线除外，如图，那么此时当直线经过，，综上实数的取值范围是且，即或。30.【2024高考江苏10】〔5分〕设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中．假设，那么的值为▲．【答案】。【考点】周期函数的性质。【解析】∵是定义在上且周期为2的函数，∴，即=1\*GB3①。又∵，，∴=2\*GB3②。联立=1\*GB3①=2\*GB3②，解得，。∴。三、解答题31.【2024高考江西理21】〔本小题总分值14分〕假设函数h(x)满足〔1〕h(0)=1，h(1)=0；〔2〕对任意，有h(h(a))=a；〔3〕在〔0,1〕上单调递减。那么称h(x)为补函数。函数〔1〕判函数h(x)是否为补函数，并证明你的结论；〔2〕假设存在，使得h(m)=m，假设m是函数h(x)的中介元，记时h(x)的中介元为xn，且，假设对任意的，都有Sn<,求的取值范围；〔3〕当=0，时，函数y=h(x)的图像总在直线y=1-x的上方，求P的取值范围。解：〔1〕函数是补函数。证明如下：①；②；③令，有，因为，所以当时，，所以在〔0，1〕上单调递减，故函数在〔0，1〕上单调递减。当，由，得：①当时，中介元；②当且时，由〔*〕可得或；得中介元，综上有对任意的，中介元〔〕于是，当时，有=当n无限增大时，无限接近于，无限接近于，故对任意的，成立等价于，即；当时，，中介元是①当时，，中介元为，所以点不在直线y=1-x的上方，不符合条件；②当时，依题意只须在时恒成立，也即在时恒成立，设，，那么，由可得，且当时，，当时，，又因为=1，所以当时，恒成立。综上：p的取值范围为〔1，+〕。【点评】此题考查导数的应用、函数的新定义，函数与不等式的综合应用以及分类讨论，数形结合的数学思想.高考中，导数解答题一般有以下几种考查方向：一、导数的几何意义，求函数的单调区间；二、用导数研究函数的极值，最值；三、用导数求最值的方法证明不等式.来年需要注意用导数研究函数最值的考查.32.【2024高考上海理20】〔6+8=14分〕函数．〔1〕假设，求的取值范围；〔2〕假设是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数〔〕的反函数.【解析】函数.〔1〕假设，求的取值范围；〔6分〕〔2〕假设是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.〔8分〕[解]〔1〕由，得.由得.……3分因为，所以，.由得.……6分〔2〕当x[1,2]时，2-x[0,1]，因此.……10分由单调性可得.因为，所以所求反函数是，.……14分【点评】此题主要考查函数的概念、性质、分段函数等根底知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题．33.【2024高考上海理21】〔6+8=14分〕海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系〔以1海里为单位长度〕，那么救援船恰好在失事船正南方向12海里处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为．〔1〕当时，写出失事船所在位置的纵坐标．假设此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；〔2〕问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【解析】〔1〕时，P的横坐标xP=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标yP=3.……2分由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时.……4分由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度.……6分〔2〕设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为.由，整理得.……10分因为，当且仅当=1时等号成立，所以，即.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.……14分34.【2024高考陕西理21】〔本小题总分值14分〕设函数〔1〕设，，证明：在区间内存在唯一的零点；〔2〕设，假设对任意，有，求的取值范围；〔3〕在〔1〕的条件下，设是在内的零点，判断数列的增减性。【解析】〔1〕。又当〔2〕当n=2时，对任意上的最大值与最小值之差,据此分类讨论如下：(Ⅰ)。(Ⅱ)。(Ⅲ)。综上可知，。注：(Ⅱ)(Ⅲ)也可合并并证明如下：用当〔3〕证法一：设，于是有，又由〔1〕知，所以，数列证法二：设，，那么所