2024北京西城区高三数学(理)一模试题及答案

京翰高考网：/PAGE第7页共12页北京市西城区2024年高三一模试卷高三数学〔理科〕2024.4第一卷〔选择题共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．全集，集合，，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2．假设复数的实部与虚部相等，那么实数〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3．执行如以下列图的程序框图．假设输出，那么输入角〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4．从甲、乙等名志愿者中选知名，分别从事，，，四项不同的工作，每人承担一项．假设甲、乙二人均不能从事工作，那么不同的工作分配方案共有〔A〕种〔B〕种〔C〕种〔D〕种5．某正三棱柱的三视图如以下列图，其中正〔主〕视图是边长为的正方形，该正三棱柱的外表积是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕6．等比数列中，，那么“〞是“〞的〔A〕充分而不必要条件〔B〕必要而不充分条件〔C〕充分必要条件〔D〕既不充分也不必要条件7．函数，其中．假设对于任意的，都有，那么的取值范围是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕8．如图，正方体中，为底面上的动点，于，且，那么点的轨迹是〔A〕线段〔B〕圆弧〔C〕椭圆的一局部〔D〕抛物线的一局部第二卷〔非选择题共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．9．曲线的参数方程为〔为参数〕，那么曲线的直角坐标方程为．10．设等差数列的公差不为，其前项和是．假设，，那么______．11．如图，正六边形的边长为，那么______．12．如图，是圆的直径，在的延长线上，切圆于点，于．假设，，那么圆的半径长为______；______．13．在直角坐标系中，点与点关于原点对称．点在抛物线上，且直线与的斜率之积等于，那么______．14．记实数中的最大数为，最小数为.设△的三边边长分别为，且，定义△的倾斜度为．〔ⅰ〕假设△为等腰三角形，那么______；〔ⅱ〕设，那么的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值13分〕函数的一个零点是．〔Ⅰ〕求实数的值；〔Ⅱ〕设，求的单调递增区间．16．〔本小题总分值13分〕某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法〔层内采用简单随机抽样〕从甲、乙两组中共抽取名同学进行学业检测．〔Ⅰ〕求从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率；〔Ⅱ〕记为抽取的名同学中男同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望．17．〔本小题总分值14分〕在如以下列图的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，//，，，．〔Ⅰ〕求证：平面；〔Ⅱ〕求与平面所成角的正弦值；〔Ⅲ〕线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论．18．〔本小题总分值13分〕函数，，其中．〔Ⅰ〕求的极值；〔Ⅱ〕假设存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围．19．〔本小题总分值14分〕如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点．当直线经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为．〔Ⅰ〕求该椭圆的离心率；〔Ⅱ〕设线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点．记△的面积为，△〔为原点〕的面积为，求的取值范围．20．〔本小题总分值13分〕集合．对于，，定义；；与之间的距离为．〔Ⅰ〕当时，设，．假设，求；〔Ⅱ〕〔ⅰ〕证明：假设，且，使，那么；〔ⅱ〕设，且．是否一定，使？说明理由；〔Ⅲ〕记．假设，，且，求的最大值．北京市西城区2024年高三一模试卷高三数学〔理科〕参考答案及评分标准2024.4一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.1．B；2．A；3．D；4．B；5．C；6．B；7．D；8．A．二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．；10．；11．12．，；13．；14．，．注：12、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.假设考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：依题意，得，………………1分即，………………3分解得．………………5分〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕得．………………6分………………7分………………8分………………9分．………………10分由，得，．………………12分所以的单调递增区间为，．………………13分16．〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为，……………1分所以，从甲组抽取的学生人数为；从乙组抽取的学生人数为．………2分设“从甲组抽取的同学中恰有名女同学〞为事件，………………3分那么，故从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率为．………………5分〔Ⅱ〕解：随机变量的所有取值为．………………6分，，，．……………10分所以，随机变量的分布列为:………………11分．………………13分17．〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕证明：因为，，在△中，由余弦定理可得，所以．………………2分又因为，所以平面．………………4分〔Ⅱ〕解：因为平面，所以．因为，所以平面．………………5分所以两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系．………………6分在等腰梯形中，可得．设，所以．所以，，．设平面的法向量为，那么有所以取，得．………………8分设与平面所成的角为，那么，所以与平面所成角的正弦值为．………………9分〔Ⅲ〕解：线段上不存在点，使平面平面．证明如下：………………10分假设线段上存在点，设，所以．设平面的法向量为，那么有所以取，得．………………12分要使平面平面，只需，………………13分即，此方程无解．所以线段上不存在点，使平面平面．………………14分18.〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：的定义域为，………………1分且．………………2分①当时，，故在上单调递减．从而没有极大值，也没有极小值．………………3分②当时，令，得．和的情况如下：↘↗故的单调减区间为；单调增区间为．从而的极小值为；没有极大值．………………5分〔Ⅱ〕解：的定义域为，且．………………6分③当时，显然，从而在上单调递增．由〔Ⅰ〕得，此时在上单调递增，符合题意．………………8分④当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意．……9分⑤当时，令，得．和的情况如下表：↘↗当时，，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意．………………11分当时，，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意．综上，的取值范围是．………………13分19．〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕解：依题意，当直线经过椭圆的顶点时，其倾斜角为．………………1分设，那么．………………2分将代入，解得．………………3分所以椭圆的离心率为．………………4分〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕，椭圆的方程可设为．………………5分设，．依题意，直线不能与轴垂直，故设直线的方程为，将其代入，整理得．………………7分那么，，．………………8分因为，所以，．………………9分因为△∽△，所以………………11分．………………13分所以的取值范围是．………………14分20．〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：当时，由，得，即．由，得，或．………………3分〔Ⅱ〕〔ⅰ〕证明：设，，．因为，使，所以，使得，即，使得，其中．所以与同为非负数或同为负数．………………5分所以．………………6分〔ⅱ〕解：设，且，此时不一定，使得．………………7分反例如下：取，，，那么，，，显然．因为，，所以不存在，使得．………………8分〔Ⅲ〕解法一：因为，设中有项为非负数，项为负数．不妨设时；时，．所以因为，所以，整理得．所以．……………10分因为；又，所以．即．……………12分对于，，有，，且，．综上，的最大值为．