2024届贵州安顺市平坝区集圣中学高三下学期3月统一联合考试数学试题

2023届贵州安顺市平坝区集圣中学高三下学期3月统一联合考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，，则（）A． B． C． D．2．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各节，自习课节的功课表，其中上午节，下午节，若要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（）A． B． C． D．3．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A． B．C． D．4．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到次结束为止．某考生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围为()A． B． C． D．5．已知，是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于，两点，若，则△的内切圆的半径为（）A． B． C． D．6．若函数的图象经过点，则函数图象的一条对称轴的方程可以为()A． B． C． D．7．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则8．已知是虚数单位，若，，则实数（）A．或 B．-1或1 C．1 D．9．设是等差数列的前n项和，且，则()A． B． C．1 D．210．在中，“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件11．将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则的最小值为（）A． B． C． D．12．若双曲线：（）的一个焦点为，过点的直线与双曲线交于、两点，且的中点为，则的方程为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5，则a1=_____，a1+a2+…+a5=____14．已知数列是等比数列，，则__________.15．若双曲线C：（，）的顶点到渐近线的距离为，则的最小值________.16．已知向量，，若，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为，且成绩分布在的范围内，规定分数在50以上（含50）的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中构成以2为公比的等比数列.（1）求的值；（2）填写下面列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？文科生理科生合计获奖6不获奖合计400（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为，求的分布列及数学期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）在曲线上取一点，直线绕原点逆时针旋转，交曲线于点，求的最大值.19．（12分）若函数在处有极值，且，则称为函数的“F点”.（1）设函数（）.①当时，求函数的极值；②若函数存在“F点”，求k的值；（2）已知函数（a，b，，）存在两个不相等的“F点”，，且，求a的取值范围.20．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC＝CD＝2，E为AB的中点，底面四边形ABCD满足∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝1．（Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．21．（12分）改革开放年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示在分以上为交通安全意识强.求的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；已知交通安全意识强的样本中男女比例为，完成下列列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；安全意识强安全意识不强合计男性女性合计用分层抽样的方式从得分在分以下的样本中抽取人，再从人中随机选取人对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查，求至少有人得分低于分的概率.附：其中22．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求的面积的值（或最大值）．已知的内角，，所对的边分别为，，，三边，，与面积满足关系式：，且，求的面积的值（或最大值）．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

根据集合的基本运算即可求解.【详解】解：，，，则故选：D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．2．C【解析】

根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．【详解】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻，将节语文课和节数学课分别捆绑，然后在剩余节课中选节到上午，由于节英语课不加以区分，此时，排法种数为种；②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但节语文课不加以区分，节数学课不加以区分，节英语课也不加以区分，此时，排法种数为种.综上所述，共有种不同的排法.故选：C．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．3．B【解析】

选B.考点：圆心坐标4．A【解析】

根据题意，分别求出再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可【详解】由题可知，，，则解得，由可得，答案选A【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功5．B【解析】

设左焦点的坐标，由AB的弦长可得a的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.【详解】由双曲线的方程可设左焦点，由题意可得，由，可得，所以双曲线的方程为:所以，所以三角形ABF2的周长为设内切圆的半径为r，所以三角形的面积，所以，解得，故选：B【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.6．B【解析】

由点求得的值，化简解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得的对称轴，由此确定正确选项.【详解】由题可知.所以令，得令，得故选：B【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.7．D【解析】试题分析：，,故选D.考点：点线面的位置关系.8．B【解析】

由题意得，，然后求解即可【详解】∵，∴.又∵，∴，∴.【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题9．C【解析】

利用等差数列的性质化简已知条件，求得的值.【详解】由于等差数列满足，所以，，.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题.10．C【解析】

由余弦函数的单调性找出的等价条件为，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“”是“”的充分必要条件.【详解】余弦函数在区间上单调递减，且，，由，可得，，由正弦定理可得.因此，“”是“”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.11．B【解析】

由余弦的二倍角公式化简函数为，要想在括号内构造变为正弦函数，至少需要向左平移个单位长度，即为答案.【详解】由题可知，对其向左平移个单位长度后，，其图像关于坐标原点对称故的最小值为故选：B【点睛】本题考查三角函数图象性质与平移变换，还考查了余弦的二倍角公式逆运用，属于简单题.12．D【解析】

求出直线的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得的方程组，求得的值，即可得到答案.【详解】由题意，直线的斜率为，可得直线的方程为，把直线的方程代入双曲线，可得，设，则，由的中点为，可得，解答，又由，即，解得，所以双曲线的标准方程为.故选：D.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．80211【解析】

由，利用二项式定理即可得，分别令、后，作差即可得.【详解】由题意，则，令，得，令，得，故.故答案为：80，211.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于中档题.14．【解析】

根据等比数列通项公式，首先求得，然后求得.【详解】设的公比为，由，得，故.故答案为：【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.15．【解析】

根据双曲线的方程求出其中一条渐近线，顶点，再利用点到直线的距离公式可得，由，利用基本不等式即可求解.【详解】由双曲线C：（，，可得一条渐近线，一个顶点，所以，解得，则，当且仅当时，取等号，所以的最小值为.故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.16．1【解析】

根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得与,再结合向量的模长公式即可求得的值.【详解】向量,则,则因为即,化简可得解得故答案为:【点睛】本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1），，.（2）填表见解析；在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关（3）详见解析【解析】

（1）根据频率分步直方图和构成以2为公比的等比数列，即可得解；（2）由频率分步直方图算出相应的频数即可填写列联表，再用的计算公式运算即可；（3）获奖的概率为，随机变量，再根据二项分布即可求出其分布列与期望.【详解】解：（1）由频率分布直方图可知，，因为构成以2为公比的等比数列，所以，解得，所以，.故，，.（2）获奖的人数为人，因为参考的文科生与理科生人数之比为，所以400人中文科生的数量为，理科生的数量为.由表可知，获奖的文科生有6人，所以获奖的理科生有人，不获奖的文科生有人.于是可以得到列联表如下：文科生理科生合计获奖61420不获奖74306380合计80320400所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.（3）由（2）可知，获奖的概率为，的可能取值为0，1，2，，，，分布列如下：012数学期望为.【点睛】本题考查频率分布直方图、统计案例和离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的阅读理解能力和计算能力，属于中档题．18．（1）（2）最大值为【解析】

（1）利用消去参数，求得曲线的普通方程，再转化为极坐标方程.（2）设出两点的坐标，求得的表达式，并利用三角恒等变换进行化简，再结合三角函数最值的求法，求得的最大值.【详解】（1）由消去得曲线的普通方程为.所以的极坐标方程为，即.（2）不妨设，，，，，则当时，取得最大值，最大值为.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，考查极坐标系下线段长度的乘积的最值的求法，考查三角恒等变换，考查三角函数最值的求法，属于中档题.19．（1）①极小值为1，无极大值.②实数k的值为1.（2）【解析】

（1）①将代入可得，求导讨论函数单调性，即得极值；②设是函数的一个“F点”（），即是的零点，那么由导数可知，且，可得，根据可得，设，由的单调性可得，即得.（2）方法一：先求的导数，存在两个不相等的“F点”，，可以由和韦达定理表示出，的关系，再由，可得的关系式，根据已知解即得.方法二：由函数存在不相等的两个“F点”和，可知，是关于x的方程组的两个相异实数根，由得，分两种情况：是函数一个“F点”，不是函数一个“F点”，进行讨论即得.【详解】解：（1）①当时，（），则有（），令得，列表如下：x10极小值故函数在处取得极小值，极小值为1，无极大值.②设是函数的一个“F点”（）.（），是函数的零点.，由，得，，由，得，即.设，则，所以函数在上单调增，注意到，所以方程存在唯一实根1，所以，得，根据①知，时，是函数的极小值点，所以1是函数的“F点”.综上，得实数k的值为1.（2）由（a，b，，），可得（）.又函数存在不相等的两个“F点”和，，是关于x的方程（）的两个相异实数根.又，，，即，从而，，即..，，解得.所以，实数a的取值范围为.（2）（解法2）因为（a，b，，）所以（）.又因为函数存在不相等的两个“F点”和，所以，是关于x的方程组的两个相异实数根.由得，.（2.1）当是函数一个“F点”时，且.所以，即.又，所以，所以.又，所以.（2.2）当不是函数一个“F点”时，则，是关于x的方程的两个相异实数根.又，所以得所以，得.所以，得.综合（2.1）（2.2），实数a的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数求函数极值，以及由函数的极值求参数值等，是一道关于函数导数的综合性题目，考查学生的分析和数学运算能力，有一定难度.20．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）．（Ⅲ）﹣．【解析】

（Ⅰ）由题知，如图以点为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，计算，证明，从而平面PAC，即可得证；（Ⅱ）求解平面PDE的一个法向量，计算，即可得直线PC与平面PDE所成角的正弦值；（Ⅲ）求解平面PBE的一个法向量，计算，即可得二面角D﹣PE﹣B的余弦值．【详解】（Ⅰ）PC⊥底面ABCD，，如图以点为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，又，平面PAC，平面PDE，平面PDE⊥平面PAC；（Ⅱ）设为平面PDE的一个法向量，又，则，取，得，直线PC与平面PDE所成角的正弦值；（Ⅲ）设为平面PBE的一个法向量，又则，取，得，，二面角D﹣PE﹣B