普通物理学课件

§1-1质点运动的描述§1-3圆周运动和一般曲线运动§1-4相对运动§1-5牛顿运动定律力学中的常见力§1-6伽利略相对性原理非惯性系惯性力第一章运动和力§1-2抛体运动可以把物体当作质点（几何点）来处理的情形：做平动的物体；两相互作用着的物体，且它们本身的线度远小于它们之间的距离。一、质点质点（masspoint，particle）：具有质量但其形状和大小可以忽略的理想物体。§1-1质点运动的描述能作为质点处理的物体不一定是很小的，而很小的物体未必能看成质点；同一物体在不同的情形下有时可看成质点,有时却不能看成质点。研究地球公转地球上各点的公转速度相差很小，忽略地球自身尺寸的影响，可以作为质点处理。研究地球自转地球上各点的速度相差很大，因此，地球自身的大小和形状不能忽略，这时不能作为质点处理。分析质点运动是研究实际物体的复杂运动的基础。

常用的坐标系有笛卡儿坐标系(x,y,z)、球坐标系(r,

,

)、柱坐标系(

,

,z)、平面极坐标系(r,

)。

要定量描述物体的位置与运动情况，就要在参考系上固定一个坐标系（coordinatesystem）。参考系（referenceframe）：描述物体运动时，被选作参考的物体。二、参考系和坐标系描述物质运动具有相对性物质运动具有绝对性

目前的时空范围：宇宙的尺度1026m(~150亿光年)到微观粒子尺度10-15m，从宇宙的年龄1018s(~150亿年)到微观粒子的最短寿命10-24s。

物理理论指出，空间和时间都有下限：分别为普朗克长度10-35m和普朗克时间10-43s。三、空间和时间

空间（space）反映了物质的广延性，与物体的体积和位置的变化联系在一起。

时间（time）反映物理事件的顺序性和持续性。四、位矢

在坐标系中，用来确定质点所在位置的矢量，叫做位置矢量（positionvector），简称位矢。位矢是从坐标原点指向质点所在位置的有向线段。直角坐标系中表示为位矢的大小为位矢的方向余弦：五、运动学方程

质点运动时，质点的位置用坐标表示为时间的函数，叫做运动学方程（kinematicalequation）。直角坐标系中表示为

将运动方程中的时间消去，得到质点运动的轨迹方程。或可写成分量方程知道运动方程就能确定任一时刻质点的位置，从而确定质点的运动。；；六、位移在

t时间内，位矢的变化量（即A到B的有向线段）称为位移（displacement）。在直角坐标系中：设质点运动轨迹AB：

t时刻位于A点，位矢；t+

t时刻位于B点，位矢。3.位移和路程

s

不同：且只当时

s=AB4.

注意

与

r

的区别：

只有当同方向时，取等号。讨论1.位移是矢量，有大小和方向，按平行四边形法则合成。2.位移与所选原点无关。七、速度速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量。平均速度（averagevelocity）：

平均速度是矢量，其方向与位移的方向相同。平均速率是标量。平均速度的大小并不等于平均速率。平均速率（averagespeed）:瞬时速度（instantaneousvelocity）：质点在某一时刻所具有的速度（简称速度）。

速度的方向是沿着轨道上质点所在处的切向，指向质点前进的方向。瞬时速率（instantaneousspeed）：（瞬时）速度的大小等于（瞬时）速率。速度的大小：直角坐标系中：其中速度的方向用方向余弦确定位矢和速度是描述质点运动状态的两个重要物理量加速度是反映速度变化的物理量。

t时间内，速度增量为平均加速度（averageacceleration）：八、加速度包括速度方向的变化和速度量值的变化。瞬时加速度（instantaneousacceleration）：加速度的方向就是时间

t趋近于零时，速度增量的极限方向。加速度与速度的方向一般不同。加速度与速度的夹角为0或180，质点做直线运动。加速度与速度的夹角等于90，质点做圆周运动。加速度与速度的夹角大于90，速率减小。加速度与速度的夹角小于90，速率增大。质点做曲线运动时，加速度总是指向轨迹曲线凹的一边直角坐标系中：瞬时加速度加速度的大小：（1）已知质点的运动方程，求质点在任意时刻的位置、速度和加速度。解决这类问题需要用微分法解决这类问题需要用积分法九、运动学的两类问题（2）已知质点运动的加速度或速度及初始条件，求质点的运动方程。

例1-1已知质点的运动方程式中r的单位是m，t的单位是s。解：（1）轨迹方程（1）求质点的轨迹，并作图表示；（2）求之间的和平均速度；（3）求两时刻的速度和加速度；（4）在什么时刻质点离原点最近，其距离多大？平均速度（2）（3）（4）时

r=3.0m，离原点最近。例1-2

曲柄OA长为r，连杆AB长为l。当曲柄以均匀角速度

绕轴O旋转时，通过连杆将带动B处的活塞在气缸内往复运动，试求活塞的运动学方程、速度v和加速度a与t的关系式。解：曲柄A端从点P处开始运动t时刻转角φ=

t此时B处活塞的位置x=OR+RB按二项式定理展开为级数略去高阶小量，得到活塞的运动方程例1-3

已知质点做匀加速直线运动，加速度（1）a=常量；（2）；（3）（4），求质点在任意时刻的速度和运动学方程（开始时x=x0,v=v0,k1,k2,k3为正值常量）。解：（1）

对于做直线运动的质点，采用标量形式两边积分（2）将代入，两边积分定义两边积分（3）将代入这是物体在黏性流体中运动的情况（4）代入并积分可解得简谐振动的运动方程又

§1-2抛体运动（projectilemotion）

以抛射点为坐标原点建立坐标系，水平方向为x轴，竖直方向为y轴。设抛出时刻t=0的速率为v0，抛射角为

，则初速度分量分别为加速度恒定为故任意时刻的速度为运动学方程为上式表明抛体运动可看作是由水平方向的匀速直线运动与竖直方向的匀变速直线运动叠加而成。运动的叠加可有多种方法，上述运动学方程又可写为所以抛体运动也看作叠加而成沿抛射方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动。抛体运动的轨迹方程为（抛物线运动）

令y=0，得到抛物线与x轴的另一个交点坐标

，它就是射程（range）：根据轨迹方程的极值条件，求得最大射高为注意：以上结论忽略空气阻力

在质点的运动轨迹上任一点建立如下坐标系，其中一根坐标轴沿轨迹在该点P的切线方向，该方向单位矢量用表示；另一坐标轴沿该点轨迹的法线并指向曲线凹侧，相应单位矢量用表示，这种坐标系就叫做自然坐标系（naturalcoordinates）。沿轨迹上各点，自然坐标轴的方位是不断地变化着的。一、切向加速度和法向加速度§1-3圆周运动和一般曲线运动质点速度的方向沿着轨迹的切向，表示为切向加速度（tangentialacceleration）：法向加速度（normalacceleration）：切向加速度表示速率变化的快慢。法向加速度表示速度方向变化的快慢。

总加速度大小：方向（与法向的夹角）：如果质点做匀速圆周运动常量即速度只改变方向不改变大小二、圆周运动的角量描述

设质点在Oxy平面内绕O点、沿半径为R的轨道做圆周运动，以Ox轴为参考方向。角位置（angularposition）：

角位移（angulardisplacement）：

(rad)

（规定反时针转向为正）角速度（angularvelocity）：

匀变速圆周运动（角量描述）匀变速直线运动（线量描述）式中

、

0、

、

0

和

分别表示角位置、初角位置、角速度、初角速度和角加速度。角加速度（angularacceleration）：vs.

质点做圆周运动时，线量（速度、加速度）和角量（角速度、角加速度）之间，存在着一定的关系：三、角量和线量的关系圆周运动中，法向加速度也叫向心加速度。

例1-4

计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。地球自转周期T=246060s，角速度大小为地面上纬度为

的P点，其圆周运动的半径为P点速度的大小为速度的方向与运动圆周相切。解：P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为方向在运动平面上由P指向地轴如已知北京的纬度是北纬3957，则

四、一般平面曲线运动中的加速度设曲线的任意一点处的曲率半径为

法向加速度切向加速度法向加速度处处指向曲率中心解：例1-5

一飞轮边缘上一点所经过的路程与时间的关系为，v0、b都是正的常量。（1）求该点在时刻t

的加速度。（2）t

为何值时，该点的切向加速度与法向加速度的大小相等？已知飞轮的半径为R。（1）该点的速率为该点做匀变速圆周运动。切向加速度为法向加速度为t

时刻该点的加速度为加速度的方向与速度的夹角为（2）切向加速度与法向加速度的大小相等，即例1-6

一气球从地面以速率v0匀速上升，由于风的影响，在上升过程中，其水平速率按vx=by的规律增大。求：（1）气球的运动学方程；（2）气球运动的切向加速度和法向加速度；（3）轨迹曲率半径与高度y的关系。解：（1）如图所示，可以写出消去t它是一条抛物线（2）气球的速度大小（3）曲率半径上式成立的条件?§1-4相对运动

对于同一个质点P，任意时刻在两个坐标系中的位置矢量分别为和，则有

考虑两个相对运动为平动的参考系，分别建立坐标系和,设为对O的位矢。构成经典力学的绝对时空观空间两点的距离在任何坐标系测量结果都相同---空间绝对性运动所经历的时间在任何坐标系测量结果都相同---时间绝对性称为伽利略（坐标）变换式（Galileantransformation）即得对时间t求导，可得质点在两个坐标系中的速度关系：即称为（伽利略）速度变换式。注意：上述速度变换式只适用于低速运动的物体。速度关系对时间t求导，可得质点在两个坐标系中的加速度关系：称为（伽利略）加速度变换式。对相对做匀速运动的各个参考系加速度是相同的加速度对相对做匀速运动的各个参考系绝对量例1-7

某人以4km/h的速度向东行进时，感觉风从正北吹来。如果将速度增加一倍，则感觉风从东北方向吹来。求相对于地面的风速和风向。

取地面为基本参考系K，人为运动参考系K’。解：

45由图中的几何关系：解得风速的方向：东偏南45

45例1-8

一货车在行驶过程中，遇到5m/s竖直下落的大雨，车上紧靠挡板平放有长为l=1m的木板。如果木板上表面距挡板最高端的距离h=1m，问货车以多大的速度行驶，才能使木板不致淋雨？

车在前进的过程中，雨相对于车向后下方运动，使雨不落在木板上，挡板最上端处的雨应飘落在木板的最左端的左方。解：一、牛顿运动定律1687年，牛顿（I.Newton）发表他的名著《自然哲学的数学原理》，标志经典力学体系的确立。§1-5牛顿运动定律力学中的常见力虽然牛顿运动定律是对质点而言，但这并不限制定律的广泛适用性。因为复杂的物体（刚体、流体、弹性体等）在原则上可看作是质点的组合。

任何物体都保持静止的或沿一直线作匀速运动的状态，直到作用在它上面的力迫使它改变这种状态为止。惯性（inertia）：任何物体具有保持其运动状态不变的性质。

惯性系与非惯性系。

力是引起运动状态改变的原因。地面系、地心系、日心系、银心系

又称惯性定律（lawofinertia）。1.牛顿第一定律2.牛顿第二定律物体受到外力作用时，它所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。数学形式：或（3）瞬时性，矢量性分量式：Fx=max

,Fy=may,Fz=maz

或Ft=mat,Fn=man（自然坐标系）讨论（1）力是产生加速度的原因。（2）惯性质量：平动惯性大小的量度（4）在惯性系中成立3.牛顿第三定律（作用力和反作用力定律）当物体A以力作用在物体B上时，物体B也必定同时以力作用在物体A上，两力作用在同一直线上，大小相等，方向相反。数学形式：（1）作用力和反作用力总是成对出现。（2）作用力和反作用力作用于不同物体，不能平

衡或抵消。（3）作用力和反作用力属于同一种性质的力。讨论1.万有引力（universalgravitation）存在于任何两个物体间的相互吸引力。牛顿万有引力定律：其中m1和m2为两个质点的引力质量，r为两个质点的距离，G叫做引力常量。

引力质量与惯性质量在物理意义上不同，但是二者相等，因此不必区分。

忽略地球自转的影响物体所受的重力就等于它所受的万有引力：二、力学中的常见力2.重力（gravity）重力是地球表面物体所受地球吸引而受的力。φ地理纬度角重力与重力加速度的方向都是竖直向下。

g0是地球两极处的重力加速度。在重力作用下任何物体产生的加速度就是重力加速度g。考虑到地球自转，重力是地球引力的一个分力。在计算精度要求不高时重力近似于地球引力3.弹力（elasticforce）

发生形变的物体，由于要恢复原状，对与它接触的物体会产生力的作用。弹簧的弹力绳中的张力只有不受摩擦的轻绳上的张力才处处相等。（k称为劲度系数）Fa正压力（normalforce）

当物体与接触面存在相对滑动趋势时，物体所受到接触面对它的阻力，其方向与相对滑动趋势方向相反。注：静摩擦力的大小随外力的变化而变化。最大静摩擦力：（

s为静摩擦因数）滑动摩擦力（slidingfrictionforce）

当物体相对于接触面滑动时，物体所受到接触面对它的阻力，其方向与滑动方向相反。（

k为滑动摩擦因数）4.摩擦力（frictionforce）

静摩擦力（staticfrictionforce）对于给定的一对接触面，有考虑放在水平面上的箱子在水平外力作用下运动箱子所受摩擦力f与外力FA的关系如下图所示*三、基本相互作用自然界中存在四种相互作用：引力相互作用电磁相互作用强相互作用弱相互作用四、牛顿运动定律应用举例适用范围：惯性系、低速运动的宏观物体。两类具体问题:1.常力作用下的连接体问题

2.变力作用下的单体问题（2）进行受力分析，画出受力图；（3）建立坐标系；（4）对各隔离体建立牛顿运动方程（分量式）和物理量间的其他关系；（5）解方程、讨论。（1）确定研究对象，对于物体系，画出隔离图；解题步骤：1.常力作用下的连结体问题例1-9

设电梯中有一质量可以忽略的滑轮，在滑轮两侧用轻绳悬挂着质量分别为m1和m2的重物A和B，已知m1>m2

。当电梯(1)匀速上升，(2)匀加速上升时，求绳中的张力和物体A相对电梯的加速度。m1m2以地面为参考系，物体A和B为研究对象，分别进行受力分析。在竖直方向建立坐标系Oy.Oym1m2解：(1)电梯匀速上升，物体对电梯的加速度ar等于它们对地面的加速度。根据牛顿第二定律，对A和B分别得到：(2)电梯以加速度a上升时，A对地的加速度a-ar，B的对地的加速度为a+ar，根据牛顿第二定律，对A和B分别得到：当a=-g时，ar=0，T=0，即滑轮、质点都成为自由落体，两个物体之间没有相对加速度。讨论Oym1m2例1-10

一个质量为m、悬线长度为l的摆锤，挂在架子上，架子固定在小车上，如图所示。求在下列情况下悬线的方向(用摆的悬线与竖直方向所成的角

表示)和线中的张力：

(1)小车沿水平方向以加速度a1做匀加速直线运动。

(2)当小车以加速度a2沿斜面(斜面与水平面成

角)向上做匀加速直线运动。ml

a1

mla2

O

yxm(1)以小球为研究对象，当小车沿水平方向做匀加速运动时，分析受力如图，建立图示坐标系。x方向：y方向：ml

a1解：yxOa2m

(2)以小球为研究对象，当小车沿斜面作匀加速运动时，分析受力如图，建立图示坐标系。x方向：y方向：

mla2例1-11一质量为m的小球开始时位于图中A点，释放后沿半径为R的光滑轨道下滑，求小球到达C点时的速度和圆轨道的作用力。

解：对小球做受力分析，

得到方程在自然坐标系中转换积分变量代入前式积分得圆轨道的作用力2.变力作用下的单体问题例1-12

计算一小球在水中竖直沉降的速度。已知小球的质量为m，水对小球的浮力为Fb，水对小球的粘性力为Fv=-Kv，式中K是和水的黏性、小球的半径有关的一个常量。以小球为研究对象，分析受力如图。小球的运动在竖直方向，以向下为正方向，列出小球运动方程：解：令分离变量后积分得Ot称为物体在气体或液体中沉降的终极速度（terminalvelocity）讨论例1-13

有一密度为

的细棒，长度为l，其上端用细线悬着，下端紧贴着密度为

的液体表面。现将悬线剪断，求细棒在恰好全部没入水中时的沉降速度。设液体没有黏性。在下落的过程中，棒受力如图所示。取竖直向下为Ox轴的正方向。当棒的浸没长度为x时，浮力大小为（设棒的截面积s=1）此时棒受到的合外力为解：由牛顿第二定律得代入速度定义式：积分得例1-14

图为船上使用的绞盘，将绳索绕在绞盘固定圆柱上。如绳子与圆柱的静摩擦因数为μ，绳子绕圆柱的张角为θ0.当绳在柱面上将要滑动时，求绳子两端张力FTA与FTM大小比。考虑张角d

的一段绳元d

很小，解：整理得消去dFN，并积分张力随按指数θ0减小

一切彼此做匀速直线运动的惯性系，对于描写机械运动的力学规律来说是完全等价的。一、伽利略相对性原理

在一个惯性系的内部所做的任何力学的实验都不能够确定这一惯性系本身是在静止状态，还是在做匀速直线运动，称为力学的相对性原理，或伽利略相对性原理（Galileanprincipleofrelativity）。§1-6伽利略相对性原理非惯性系惯性力

以经典力学的时空观为基础，伽利略坐标变换指出了质点的加速度对于相对做匀速运动的不同惯性系K与K′来说是个绝对量，即牛顿力学中：因此有二、经典力学的时空观宏观低速物体的力学规律在任何惯性系中形式相同，或牛顿力学规律在伽利略变换下形式不变。又如：动量守恒定律三、非惯性系

牛顿运动定律成立的参考系是惯性系。一切相对于惯性系（如地面系）做匀速直线运动的参考系也是惯性系。非惯性系（noninertiasystem）：相对（地面）惯性系做加速运动的物体。在非惯性系内牛顿运动定律不成立。xyy´x´mgF=k

xFN平动加速系：相对于惯性系做加速直线运动，但是本身没有转动的物体。例如：在平直轨道上加速运动的火车。转动参考系：相对惯性系转动的物体。例如：在水平面匀速转动转盘。四、惯性力惯性力：(inertialforce)为了使牛顿第二定律的形式在非惯性系内成立而引进的一个虚构的力。

是非惯性系相对惯性系的加速度。在非惯性系中，动力学方程表示为注意：惯性力不是真正作用在物体上的力！惯性力无施力者，也无反作用力。惯性力的实质是物体的惯性在非惯性系中的表现。惯性力的应用——加速度计例1-15

一质量为60kg的人，站在电梯中的磅秤上，当电梯以0.5m/s2的加速度匀加速上升时，磅秤上指示的读数是多少？

解：在电梯这个非惯性系中，人还受到一个当电梯加速上升时，磅秤读数FN>G，超重当电梯加速下降时，磅秤读数FN<G，失重例1-16

试分析物体重量与地球纬度的关系解：在地面上纬度φ处的惯性离心力物体的重量

解：例1-17一质量为m1、顶角为

的三角形光滑物体上。放有一质量为m2的物块。设各面间的摩擦力均可忽略不计。试用非惯性系中力学定律求解三角形物块的加速度。惯性力将坐标系建立在三角形物块上，方向如图，在该非惯性系中，应用非惯性系的力学定律，m1与m2的动力学方程如下：§2-1质点系的内力和外力质心质心运动定理一、质点系的内力与外力系统内，内力是成对出现的。内力（internalforce）:质点系内各个质点间的相互作用。外力（externalforce）:质点系外物体对系统内质点所施加的力。系统的内力之和为零，对整体运动不发生影响。§2-1质点系的内力和外力质心质心运动定理二、质心质心（centerofmass）是与质量分布有关的一个代表点，它的位置在平均意义上代表着质量分布的中心。考虑由刚性轻杆连接的两个小球系统将它斜向抛出，轻杆中心某点c作抛物线运动对于N个质点组成的质点系：直角坐标系中的分量式：质心的位矢：对于质量连续分布的物体分量式：面分布体分布线分布质心的位矢：

注意：质心与重心（centerofgravity）是两个不同的概念，重心是地球对物体各部分引力的合力(即重力)的作用点，质心与重心的位置不一定重合。例2-1一般均匀铁丝弯成半圆形，其半径为R，质量为m，求此半圆形铁丝的质心。解：在铁丝上取一小段，长度dl，质量dm

铁丝的线密度根据对称性分析可知三、质心运动定理由质心位矢公式：质心的速度为质心的加速度为由牛顿第二定律得对于系统内成对的内力由

质心的运动等同于一个质点的运动，这个质点具有质点系的总质量，它受到的外力为质点系所受的所有外力的矢量和。质心运动定理：例2-2质量为m1、长为L的木船浮在静止的河面上。今有一质量为m2的小孩以时快时慢不规则速率从船尾走到船头。假设船和水之间摩擦不计，求船相对于岸移动了多少距离。解：初始时的质心坐标小孩走到船头时，质心坐标由于系统不受外力作用，质心水平方向位置保持不变。小船向后移动的距离小孩相对岸行走的距离§2-2动量定理动量守恒定律一、质点的动量定理由牛顿运动定律：

表示力对时间的累积量，叫做冲量（impulseofforce)。其中，

质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。(1)冲量的方向和大小是由所有微分冲量的合矢量来决定。动量定理反映了力在时间上的累积作用对质点产生的效果。逆风行舟的分析：动量定理（theoremofmomentum）：讨论(2)

动量定理是矢量方程，可以写成分量形式(3)

在

冲击、

碰撞问题中估算平均冲力（implusiveforce）。(4)当物体质量改变时，牛顿第二定律不适用。但动量定理在处理变质量问题时很方便。F(t)Ft(5)动量定理是牛顿第二定律的积分形式，只适用于惯性系。

研究锤对工件的作用过程，在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。例2-3

质量m=0.3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间(1)

=0.1s，(2)

=0.01s。试求锤对工件的平均冲力。以重锤为研究对象，分析受力，作受力图。解：解法一：解法二：研究锤从自由下落到静止的整个过程，其动量变化为零。重力作用时间为支持力的作用时间为

由动量定理：例2-4矿砂从传送带A落到另一传送带B，其速度v1=4m/s，方向与竖直方向成30°角，而传送带B与水平成15°角，其速度v2=2m/s。如传送带的运送量恒定，设为k=20kg/s，求落到传送带B上的矿砂在落上时所受到的力。解：设在某极短的时间

t内落在传送带上矿砂的质量为m，即m=k

t，这些矿砂动量的增量为其大小为设这些矿砂在时间

t内所受的平均作用力为，由动量定理方向由近似竖直向上例2-5质量为m的均质链条，全长为L，手持其上端，使下端离地面的高度为h。然后放手让它自由下落到地上。求链条落到地上的长度为l时，地面所受链条作用力的大小。解：设t时刻长x的链条已落到地面对dm应用动量定理,取向下为正：dt时间内将有的链条落到地面地面受到的冲力向下自由下落速度：地面所受链条作用力大小为考虑到已落地部分链条的重力二、质点系的动量定理考虑两个质点的系统两式相加是一对作用力和反作用力质点系总动量的增量，等于作用在质点上所有外力在同一时间内的冲量的矢量和。扩展到有i个质点的系统对从t1到t2时间内积分=常矢量=常矢量根据质心运动定律：若三、动量守恒定律即

如果系统所受的外力之和为零，则系统的总动量保持不变，这个结论叫做动量守恒定律（lawofconservationofmomentum）。则(2)当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。（如：碰撞、打击过程等）(1)动量守恒是指系统动量总和不变，但系统内各个质点的动量可以变化,通过内力进行传递和交换。(3)

分量式(4)

定律不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。讨论例2-6

如图所示,设炮车以仰角

发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为m'

和m，炮弹的出口速度为v，求炮车的反冲速度v'。炮车与地面间的摩擦力不计。解：选取炮车和炮弹组成系统内、外力分析。炮车与地面间的摩擦力不计，系统水平方向动量守恒。得炮车的反冲速度为思考：竖直方向动量守恒吗？系统水平方向动量守恒：

炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒。例2-7

一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度（大小和方向）。解：即和及都成，且三者都在同一平面内

例2-8

质量为m1

和m2的两个小孩，在光滑水平冰面上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。问他们将在何处相遇？

把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向动量守恒。任取两个小孩连线上一点为原点，向右为x轴为正向。解：设开始时小孩的坐标分别为x10、x20，在任意时刻的速度分别v1为v2，坐标为x1和x2。由运动学关系：相遇时：x1=x2由动量守恒：（1）代入式（1）得结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们共同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定律求出。相遇时有*四、火箭飞行火箭的速度若不计重力和其他外力，由动量守恒定律可得

略去二阶无穷小量设t时刻，火箭质量为m，速度为v(向前)，在dt内，喷出气体dm(<0)，喷气相对火箭的速度(称喷气速度)为u(向后)，使火箭的速度增加了dv。设u是一常量，设火箭开始飞行的速度为零，质量为m0，燃料烧尽时，火箭剩下的质量为m，此时火箭能达到的速度是火箭的质量比多级火箭：第i级火箭喷气速率第i级火箭质量比最终速度：（2）火箭的推力取t时刻喷出的燃气-dm为研究对象，其速度v,t+dt时刻速度为v+dv-u由动量定理略去二阶无穷小量燃气受力向后火箭的推力向前引入质点对参考点O的角动量（angularmomentum）：大小：方向：右手螺旋定则确定一、角动量（动量矩）§2-3质点的角动量定理和角动量守恒定律自然界中行星围绕太阳公转特例：做圆周运动时，由于，质点对圆心的角动量大小为，大小不变，方向不变。

质点对圆心O的角动量为常量。例2-9按经典原子理论：氢原子中的电子在圆形轨道上绕核运动。电子与氢原子核之间的静电力因为电子的角动量具有量子化的特征，所以电子绕核运动的角动量只能等于的整数（n）倍。问电子运动的容许轨道半径等于多少？由于电子绕核运动时，角动量有量子化的特征联合解得即电子绕核运动的轨道半径只能与n的平方成正比，轨道半径是不连续的。解：由牛顿第二定律得二、质点的角动量定理定义合力对参考点O的力矩：上式又写为质点所受合外力矩等于它对同一参考点的角动量的时间变化率---质点的角动量定理由于一对内力对于同一参考点的合力矩为零，所以质点系的角动量定理可写成同样形式。M是质点系所受合外力矩L是质点系的总角动量角动量守恒定律（lawofconservationofangularmomentum）：如果作用在质点上的外力对某给定点的力矩为零，则质点对该点的角动量在运动过程中保持不变。若则(常矢量)由三、质点的角动量守恒定律表明小球对圆心的角动量保持不变。实验演示：质量为m的小球系在轻绳的一端，绳穿过一竖直的管子，一手握管，另一手执绳。用力向下拉绳，实验发现：即解释：作用在小球上的有心力对力心的力矩为零，故小球的角动量守恒。行星绕太阳的运动：

作用在行星上的万有引力（有心力）对太阳（力心）的力矩为零，因此，行星在运动过程中，对太阳的角动量保持不变。

在有心力场中，对于力心的角动量守恒。可以推得开普勒第二定理。解：例2-10

我国第一颗人造卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球的中心O为该椭圆的一个焦点。已知地球半径R=6378km，人造地球卫星距地面最近距离l1=439km，最远距离l2=2384km，若人造地球卫星在近地点A1的速度v1=8.10km/s，求人造地球卫星在远地点A2的速度。在近地点A1

、A2的角动量角动量守恒一、功的概念

物体在力的作用下发生一无限小的位移(元位移)时，此力对它做的功（work）定义为可以写成两个矢量的标积（scalarproduct）：功是标量，没有方向，但有正负。单位：Nm=J(焦耳)§2-4功能量动能定理（q为力与位移的夹角）如图行星绕日运动，万有引力做功a点为负，b点为零，c点为正功率（power）：单位时间做的功单位：J/s(W)变力从a到b做的总功在直角坐标系

能量是反映各种运动形式共性的物理量，各种运动形式的相互转化可以用能量来量度。各种运动形式的相互转化遵守能量守恒定律。

与机械运动直接相关的能量是机械能，它是物体机械运动状态（即位置和速度）的单值函数，包括动能和势能。二、能量

能量是物体状态的单值函数。物体状态发生变化，它的能量也随之变化。三、动能定理设质点在变力的作用下沿曲线从a点移动到b点，变力所做的功为：由牛顿第二定律：定义质点的动能（kineticenergy）：则有动能定理（theoremofkineticenergy）：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。

2.功是一个过程量，而动能是一个状态量。1.

与参考系有关，动能定理只在惯性系中成立。4.5.微分形式：讨论

3.用动能定理解决某些力学问题比牛顿运动定律简便。例2-11

装有货物的木箱，重量G=980N，要把它运上汽车。现将长l=3m的木板搁在汽车后部，构成一斜面，然后把木箱沿斜面拉上汽车。斜面与地面成30°角，木箱与斜面间的滑动摩擦因数

=0.20，绳的拉力与斜面成10°角，大小为700N。求：（1）木箱所受各力所做的功；（2）合外力对木箱所做的功；（3）如改用起重机把木箱直接吊上汽车能不能少做些功？木箱所受的力分析如图所示。拉力F

所做的功重力所做的功解：（1）每个力所做的功：正压力所做的功根据牛顿第二定律：摩擦力所做的功：（2）合力所做的功：（3）如改用起重机把木箱吊上汽车。所用拉力F'至少要等于重力。这时拉力所做的功为等于重力所做的功，而符号相反，这时合外力所做的功为零。与（1）中F做的功相比较，用了起重机能够少做功。（1）中推力F

所多做的功：其中，435J的功用于克服摩擦力，转变成热量；余下165J的功将使木箱的动能增加。例2-12

有一密度为

的细棒，长度为l，其上端用细线悬着，下端紧贴着密度为

的液体表面。现将悬线剪断，求细棒在恰好全部没入水中时的沉降速度。设液体没有黏性。在下落的过程中，棒受力如图所示。取竖直向下为Ox轴的正方向。当棒的浸没长度为x时，浮力大小为（设棒的截面积S=1）此时棒受到的合外力为解：下落过程中合外力作的功令末速度v，应用动能定理例2-13

柔软均质物体以初速v0

送上平台，物体前端在平台上滑行s距离后停止。设滑道上无摩擦，物体与台面间的摩擦因数为

，且s＞Ｌ，求初速度v0

。解：由动能定理：一、保守力

根据各种力做功的特点，可将力分为保守力和非保守力。保守力（conservativeforce）：如：重力、万有引力、弹性力以及静电力等。非保守力（non-conservativeforce）：如：摩擦力、回旋力等。做功与路径无关，只与始末位置有关的力。做功不仅与始末位置有关，还与路径有关的力。§2-5保守力成对力的功势能（1）重力的功

重力做功只与质点的起始和终点位置有关，与所经过的路径无关，重力是保守力！设物体m从a点沿任一曲线移动到b点。在元位移中，重力所做的元功为如果物体沿闭合路径adbca运动一周，容易计算重力所做的功为：

表明保守力沿任何闭合路径做功等于零。（L为任意闭合路径）或讨论（2）弹性力的功

弹性力做功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点运动的路径无关，弹性力是保守力！设光滑水平桌面一端固定的轻弹簧(k)，另一端连接质点

m，当质点由a点运动到b点的过程中：（3）万有引力的功设质量为m'的质点固定，另一质量为m的质点在m'

的引力场中从a点运动到b点。

万有引力的功仅由物体的始末位置决定，与路径无关，万有引力是保守力！（4）摩擦力的功

摩擦力做功与路径有关，摩擦力是非保守力！质量为m的物体在桌面上沿曲线路径从a点运动到b点，设物体与桌面的摩擦因数为

，其中sab为物体经过的路程，与物体的运动路径有关。二、成对力的功设有两个质点m1和m2，存在一对相互作用力和。在dt时间内分别经过元位移和，这一对力所做的元功为相对元位移成对力的功：(1)成对作用力和反作用力所做的总功只与作用力及相对位移有关，而与每个质点各自的运动无关。(2)质点间的相对位移和作用力都是不随参考系而变化的，因此，任何一对作用力和反作用力所做的总功具有与参考系选择无关的不变性质。(3)一对内力的功可有其中一个物体所受的力及这个物体相对于另一个物体的位移来计算。讨论三、势能

与物体的位置相联系的系统能量称为势能（potentialenergy），常用Ep表示。一对保守力的功可以写成如下形式即物体在保守力场中a、b两点的势能Epa、Epb之差等于质点由a点移动到b点过程中保守力做的功Aab

成对保守内力的功等于系统势能的减少。

保守力的功只与物体的始末位置有关，而与参照系无关。弹性势能重力势能引力势能如：若选势能零点

势能的大小只有相对的意义，相对于势能零点而言。势能零点可以任意选取。势能差有绝对意义。

势能是相互作用有保守力的系统的属性。

已知势能函数，可以计算保守力。由

保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐标的导数的负值。当质点在保守力作用下沿x轴发生位移则保守力做功讨论四、势能曲线（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置所受保守力的大小和方向。在系统总能量保持不变的条件下解：例2-141953年日本物理学家汤川秀树提出了核力理论,认为核子间的相互作用势能可以写成(V0=500MeV,r0=1.5×10-15m),试求核子相互作用力的表达式，并证明核力是短程力。在r>r0时(~10-15m)，核子间的相互作用力迅速趋于0，说明核力是一短程力。一、质点系的动能定理设系统由两个质点m1

和m2组成，对质点1和2分别应用动能定理：相加，得系统外力的功Ae系统内力的功Ai§2-6质点系的功能原理机械能守恒定律质点系的动能定理：系统的外力和内力做功的总和等于系统动能的增量。二、质点系的功能原理内力的功可分为保守内力的功和非保守内力的功：质点系的功能原理：当系统从状态1变化到状态2时，它的机械能的增量等于外力的功与非保守内力的功的总和。注意：用质点动能定理时重力等是外力，需计算其所做的功。而运用系统功能原理时由于重力等保守内力做的功已由系统势能的变化所代替，因此不必再计算。例2-15

一汽车的速度v0=36km/h，驶至一斜率为0.010的斜坡时，关闭油门。设车与路面间的摩擦阻力为车重G的0.05倍，问汽车能冲上斜坡多远？解法一：取汽车为研究对象。受力分析如图所示。解：设汽车能冲上斜坡的距离为s，此时汽车的末速度为0。根据动能定理：解法二：取汽车和地球这一系统为研究对象，运用系统的功能原理：以下同解法一。

物体受力：重力的作用、摩擦力和正压力。用功能原理进行计算，把物体和地球作为系统。例2-16

如图所示，一质量m=2kg的物体从静止开始，沿四分之一的圆周从A滑到B，已知圆的半径R=4m，设物体在B处的速度v=6m/s，求在下滑过程中，摩擦力所作的功。解：摩擦力和正压力都是变力。正压力不做功。三、机械能守恒定律若

由质点系的功能原理：则机械能守恒定律（lawofconservationofmechanicalenergy）：如果系统内非保守内力与外力做的功都为零，即只有保守内力做功，则系统内各物体的动能和势能可以互相转化，但机械能的总值保持不变。四、能量守恒定律

对孤立系统：能量守恒定律（lawofconservationofenergy）：一个孤立系统经历任何变化时，该系统的所有能量的总和是不变的，能量只能从一种形式变化为另外一种形式，或从系统内一个物体传给另一个物体。它是自然界最普遍的定律之一。则

由质点系的功能原理：例2-17

起重机用钢丝绳吊运一质量为m的物体，以速度v0做匀速下降，如图所示。当起重机突然刹车时，物体因惯性进行下降，问使钢丝绳再有多少微小的伸长？(设钢丝绳的劲度系数为k，钢丝绳的重力忽略不计。)这样突然刹车后，钢丝绳所受的最大拉力将有多大？研究物体、地球和钢丝绳所组成的系统。系统的机械能守恒。解：首先讨论起重机突然停止的瞬时位置处的机械能，

设物体因惯性继续下降的微小距离为h，并以这最低位置作为重力势能的零点，则有

设这时钢丝绳的伸长量为x0，则有再讨论物体下降到最低位置时的机械能：机械能守恒：物体做匀速运动时，钢丝绳的伸长量x0满足最低位置时相应的伸长量x=x0+h是钢丝绳的最大伸长量，所以钢丝绳所受的最大拉力例2-18用一弹簧将质量为m1和m2的上下两水平木板连接，下板放在地面上。（1）如以上板在弹簧上的平衡位置为重力势能和弹性势能的零点，试写出上板、弹簧以及地球这个系统的总势能。

（2）对上板加多大的向下压力F，才能突然撤去它，使上板向上跳而把下板拉起来？系统总势能将以弹性势能的单一形式出现。解：（1）取上板的平衡位置为原点弹簧恢复到原长时就是总势能（2）加力F时为初态，撤去力F后为末态根据机械能守恒定律恰好提起m2时，初态末态1.第一宇宙速度已知：地球半径为R，质量为mE，人造地球卫星质量为m。要使卫星在距地面h高度绕地球做匀速圆周运动，求其发射速度。设发射速度为v1，绕地球的运动速度为v。机械能守恒：万有引力提供向心力：例2-19

讨论宇宙速度得第一宇宙速度：2.第二宇宙速度宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度。(1)脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或等于零。(2)脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。由机械能守恒：得3.第三宇宙速度物体相对太阳的速度为物体脱离太阳引力所需的最小速度应满足地球相对太阳的速度：物体相对于地球的发射速度：

从地面发射物体要飞出太阳系，既要克服地球引力，又要克服太阳引力，所以发射时物体的动能必须满足第三宇宙速度：例2-20当质子以初速v0通过质量较大的原子核时，原子核可看作不动，质子受到原子核斥力的作用引起了散射，它运行的轨迹将是一双曲线，如图所示。求质子和原子核最接近的距离rs。解：原子核看作不动，取原子核所在处为坐标原点O。设原子核带电荷量为Ze，质子受到原子核的静电斥力，此力始终通过O点。故质子对O点的角动量守恒，即式中b是质子在无限远处的初速度v0的方向线与原子核间的垂直距离，vs是质子在离原子核最近处的速度。在无限远处，质子的总能量为在离原子核最近处，质子的总能量为（1）飞行过程中，质子的总能量也守恒，即（2）从方程（1）和（2）中消去vs，可得*五、黑洞任何物体都被它的引力所约束，不管用多大的速度都无法脱离，连光都跑不出来，称为黑洞。对于质量为mC的天体，若物体的逃逸速度为质量为mC的黑洞的半径：（史瓦西半径）第一个黑洞的侯选者：X射线双星天鹅座X-1太阳质量

RS=3km

如果两个或几个物体在相遇中，物体之间的相互作用仅持续一个极为短暂的时间，这些现象就是碰撞（collision）。如：撞击、打桩、锻铁等，以及微观粒子间的非接触相互作用过程即散射（scattering）等。讨论两球的对心碰撞或称正碰撞（directimpact）：即碰撞前后两球的速度在两球的中心连线上。1.碰撞过程系统动量守恒：§2-7碰撞2.牛顿的碰撞定律：碰撞后两球的分离速度(v2-v1)，与碰撞前两球的接近速度(v10-v20)成正比，比值由两球的材料性质决定。即恢复系数（coefficientofrestitution）：完全非弹性碰撞（perfectinelasticcollision）：

e=0v2=v1非弹性碰撞（inelasticcollision）：

0<e<1

完全弹性碰撞（perfectelasticcollision）：

e=1

v2-v1

=

v10-v20

1.完全弹性碰撞机械能损失：完全弹性碰撞过程，系统的机械能（动能）也守恒。（1）

当m1=m2时，则

质量相等的两个质点在碰撞中交换彼此的速度。（2）

若v20=0质量很小的质点与质量很大的静止质点碰撞后，反方向运动，而质量很大的质点几乎保持不动。m1>>

m2则质量很大的质点与质量很小的静止质点碰撞后速度几乎不变，但质量很小的质点却以近两倍的速度运动起来。讨论m1<<m2则2.完全非弹性碰撞3.非弹性碰撞碰后两球的速度为如打桩、打铁时m1/m2越大，机械能损失越小。打铁m1/m2越小，机械能损失越大；打桩机械能损失：例2-21

如图，A为一小球，B为蹄状物，质量分别为m1和m2.开始时，将A球从张角

处落下，然后与静止的B物相碰撞，嵌入B中一起运动，求两物到达最高处的张角φ。解：（1）先求小球从开始位置下落h1

到最低位置时的速度根据机械能守恒定律（2）小球与蹄状物碰撞，不受外力作用根据动量守恒定律（3）小球与蹄状物一起沿圆弧运动，上升到最大角处，悬线的拉力不做功，根据机械能守恒从前三式消去v和v’，可得例2-22

一质量为m光滑球A，竖直下落，以速度u与质量为m’的球B碰撞.球B由一根细绳悬挂着，绳长被看作一定。设碰撞时两球的连心线与竖直方向成

角，已知恢复系数为e，求碰撞后球A的速度。解：设A在碰撞后的速度分别为vx与vy，B只能沿水平方向运动，速度为v’。在x方向所受外力为零，根据动量守恒设碰撞相互作用力为F，应用动量定理分离速度接近速度联立解得例2-23光滑桌面上，质量为m1的小球以速度u

碰在质量为m2的静止小球上，u

与两球的连心线成θ

角(称为斜碰obliqueimpact)。设两球表面光滑，它们相互撞击力的方向沿着两球的连心线，已知恢复系数为e，求碰撞后两球的速度。x、y方向动量分别守恒：解：设碰后两球速度分别为v1、v2

，方向如图所示。恢复系数：两个质量相等的小球发生弹性斜碰：

m1=m2,e=1时，有联立三个方程后求解，得讨论即一、对称性和守恒定律

动量、能量和角动量守恒定律，基本上都是从牛顿运动定律“推导”出来的，但是这些守恒定律比牛顿运动定律有着更广泛的适用范围。这些基本量是和自然界的普遍属性——时空对称性联系在一起的。对称性又叫不变性：如果能对一个事物施加某种变换，并且变换以后的情况与原来的完全相同，则这个事物对于该种变换是对称的或不变的。

物理定律具有空间均匀性即空间平移对称性、空间各向同性即空间转动对称性、时间均匀性即时间平移对称性。*§2-8对称性和守恒定律

物理定律的一种对称性就对应一种守恒定律。

物理定律在时间平移、空间平移和转动下的不变性要求对物质系统的运动作出限制，这些限制就是系统在运动中必须遵守的能量守恒、动量守恒和角动量守恒等定律。二、守恒量和守恒定律

有些物理量在质点系内所发生的变化过程中始终保持不变，这些量就是守恒量。

研究自然现象中显现的各种守恒量和守恒定律，是人们认识自然规律的一个重要方面。根据守恒量和守恒定律的分析，可以揭示出基本粒子的属性和粒子间相互作用的性质，而一旦某种对称性遭到破坏（称为对称性破缺），那必是有了新的发现。

既考虑物体的质量，又考虑形状和大小，但忽略其形变的物体模型。一、刚体刚体（rigidbody）：

刚体可看作是质量连续分布的且任意两质量元之间相对距离保持不变的质点系。§3-1刚体模型及其运动二、平动和转动

当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫平动（translation）。

可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。平动时，刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度和加速度。刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动，如质心。1.平动

如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，这种运动就叫做转动（rotation），这一直线就叫做转轴。如果转轴是固定不动的，就叫做定轴转动（fixed-axisrotation）。

可以证明，刚体的一般运动可看作是平动和转动的叠加。如：门、窗的转动等。如：车轮的滚动。2.转动3.刚体的定轴转动

定轴转动时，刚体上各点都绕同一固定转轴做不同半径的圆周运动。

在同一时间内，各点转过的圆弧长度不同，但在相同时间内转过的角度相同，称为角位移，它可以用来描述整个刚体的转动。

做定轴转动时，刚体内各点具有相同的角量，包括角位移、角速度和角加速度。但不同位置的质点具有不同的线量，包括位移、速度和加速度。

线量与角量的关系：角位移角速度角加速度角量：对于匀角加速转动vs.匀加速直线运动做直线运动的质点：1个自由度做平面运动的质点：2个自由度做空间运动的质点：3个自由度质点：(x,y,z)i=3三、自由度

所谓自由度就是决定系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目。C(x,y,z)物体有几个自由度，它的运动定律就归结为几个独立的方程。i=3个平动自由度+2个转动自由度=5个自由度刚性细棒：运动刚体：自由刚体有6个自由度：随质心的平动+绕过质心轴的转动确定质心位置3个平动自由度(x,y,z)确定过质心轴的方向

2个转动自由度(

，)确定定轴转动角位置1个转动自由度(

)1.只有垂直转轴的外力分量才产生沿转轴方向的力矩Mz

，而平行于转轴的外力分量产生的力矩Mxy

则被轴承上支承力的力矩所抵消。对O点的力矩：一、力矩大小：§3-2力矩转动惯量定轴转动定律讨论

是转轴到力作用线的距离，称为力臂。2.3.在转轴方向确定后，力对转轴的力矩的正负由右螺旋法则决定刚体所受的关于定轴的合力矩：Mz

叫做力F对转轴oz的力矩二、角速度矢量角速度的方向：与刚体转动方向呈右手螺旋关系。

在定轴转动中，角速度的方向沿转轴方向。因此，计算中可用正负表示角速度的方向。线速度和角速度之间的矢量关系：三、定轴转动定律应用牛顿第二定律，可得对刚体中任一质量元受外力和内力采用自然坐标系，上式切向分量式为对刚体内各个质点的相应式子，相加得对于成对的内力，对同一转轴的力矩之和为零，则称为刚体对转轴的转动惯量。

刚体在做定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。刚体定轴转动定律：与平动定律比较：转动惯量J是量度定轴刚体转动惯性的物理量,质量m是平动中惯性大小的量度。四、转动惯量定义：

刚体为质量连续体时：单位(SI)：转动惯量取决于刚体本身的性质，即刚体的形状、大小、质量分布以及转轴的位置。（

r为质元dm到转轴的距离）例3-1

求均质细棒(m

，l)的转动惯量：

(1)转轴通过中心C与棒垂直，

(2)转轴通过棒的一端O与棒垂直。解：(1)(2)CxOxdxdmdxdm

可见，转动惯量因转轴位置不同而变，故必须指明是关于某轴的转动惯量。平行轴定理（parallelaxistheorem）通过任一转轴A的转动惯量：CxdxdmAh（取C为坐标原点）

刚体对任一转轴的转动惯量J

等于对通过质心的平行转轴的转动惯量JC

加上刚体质量m

乘以两平行转轴间距离h

的平方。例3-2

求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。圆盘半径R，质量m

，密度均匀。解：圆盘质量面密度取半径r，宽度dr的圆环例3-3

物体：m1、m2(>m1)，

定滑轮：m、r，受摩擦阻力矩为Mr。轻绳不能伸长，无相对滑动。求物体的加速度和绳的张力。解：由于考虑滑轮的质量和所受的摩擦阻力矩，应用牛顿运动定律及转动定律：轮不打滑：联立方程，可解得FT1

，FT2，a，

。

此装置称阿特伍德机——可用于测量重力加速度

g

r例3-4圆形台面以恒定角速度

绕通过中心且垂直台面的轴旋转。现一半径R，质量为m的均质圆盘放在台面上。设圆盘与台面间摩擦因数为

，问经过多少时间才使圆盘达到角速度

？

把圆盘分成许多环形质元，每个质元的质量dm=

2πrdrδ，δ是盘的厚度，质元所受到的阻力矩为r

dmg

。解：

圆盘所受阻力矩为m=

δ

R2由定轴转动定律：一、力矩的功§3-3定轴转动中的功能关系对于刚体因两质元的相对距离不变，内力做功之和为零。对于定轴转动，平行于轴的外力对质元不做功。合外力对刚体做的元功：力矩的功：设作用在质元Dmi上的外力

位于转动平面内。二、刚体的转动动能刚体的转动动能刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。三、定轴转动的动能定理由定轴转动定律，若J不变，则物体在dt时间内转过角位移d

时，外力矩所做元功为四、刚体的重力势能以地面为势能零点，刚体和地球系统的重力势能：zOi例3-5

冲床上配置5000kg的飞轮，r1=0.3m，r2=0.2m。今用转速为900r/min,传动轴直径d=0.1m的电动机来驱动飞轮。（1）飞轮的转动动能；（2）冲断0.5mm的薄钢片需要冲力9.8x104N，所消耗的能量全部由飞轮提供，问冲断钢片后飞轮的转速。解：（1）飞轮的质量集中在轮缘，其近似转动惯量飞轮的角速度飞轮的转速（2）在冲断钢片过程中，冲力F做的功此后飞轮的能量由此求得飞轮转速飞轮转动动能例3-6

一质量为m

，长为l

的均质细杆OA，可绕其一端的光滑轴O在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时其中心点C和端点A的速度。解：由机械能守恒一、刚体的角动量因，所以的大小为质元对O点的角动量为刚体关于O的角动量：§3-4定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律对于定轴转动，对沿定轴的分量为称刚体绕定轴转动的角动量。刚体转动惯量：刚体绕定轴的角动量：称为角动量定理的微分形式。二、定轴转动刚体的角动量定理由定轴转动定律，若J不变，为时间内力矩M

对给定轴的冲量矩。角动量定理的积分形式：且系统满足角动量定理

角动量定理比转动定律的适用范围更广，适用于刚体，非刚体和物体系。

对几个物体组成的系统，如果它们对同一给定轴的角动量分别为，，

系统对该轴的角动量为三、定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动角动量定理：定轴转动角动量守恒定律：物体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零时，物体对转轴的角动量保持不变。当时，有即(常量)适用于刚体、非刚体和物体系。1.刚体(J

不变)的角动量守恒若

M=0，则J

=常量，而刚体的J

不变，故

的大小，方向保持不变。应用：定向回转仪如：直立旋转陀螺不倒。o

2.非刚体(J可变)的角动量守恒当J增大，w就减小，当J减小，w就增大。如：跳水中的转动，芭蕾舞、花样滑冰、恒星塌缩及中子星的形成等。3.物体系的角动量守恒