中考数学全程复习方略第十三讲二次函数的图象与性质课件

第十三讲二次函数的图象与性质考点一二次函数的图象和性质【主干必备】一、二次函数的概念及其关系式1.二次函数的概念:形如________________(a,b,c是常数,a≠0)的函数.

y=ax2+bx+c2.二次函数的解析式:(1)一般式:______________________.

(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其顶点坐标是____________.

y=ax2+bx+c(a≠0)(h,k)二、二次函数的图象与性质函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)图象a>0a<0

函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)性质抛物线开口向上抛物线开口向下对称轴是直线x=____,顶点是________当x<-时,y随x的增大而___________;当x>-时,y随x的增大而___________

当x<-时,y随x的增大而___________;当x>-时,y随x的增大而___________

减小增大增大减小函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)性质抛物线有最低点,当x=-时,y有最小值,y最小值=抛物线有最高点,当x=-时,y有最大值,y最大值=【核心突破】例1(2018·成都中考)关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是 (

)A.图象与y轴的交点坐标为(0,1)B.图象的对称轴在y轴的右侧C.当x<0时,y的值随x值的增大而减小D.y的最小值为-3D【明·技法】由二次函数解析式判断性质的方法1.由函数顶点式直接确定顶点坐标和对称轴.2.根据开口方向和顶点坐标确定函数的增减性或函数的最值.3.根据b2-4ac的符号确定其与x轴的交点个数.【题组过关】1.(2019·自贡中考)一次函数y=ax+b与反比例函数y=

的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象是 世纪金榜导学号(

)A2.(2019·兰州中考)已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是 (

)世纪金榜导学号A.2>y1>y2

B.2>y2>y1C.y1>y2>2 D.y2>y1>2A3.(2019·安庆桐城市期末)二次函数y=-x2+(8-m)x+12,当x>2时,y随着x的增大而减小;当x<2时,y随着x的增大而增大,则m的值为 (

)A.-4

B.4

C.6

D.10B4.(2019·上海静安区一模)抛物线y=ax2+(a-1)(a≠0)经过原点,那么该抛物线在对称轴左侧的部分是____________的.(填“上升”或“下降”)

下降考点二二次函数图象的平移【核心突破】例2(1)(2019·济宁中考)将抛物线y=x2-6x+5向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得到的抛物线解析式是 (

)A.y=(x-4)2-6

B.y=(x-1)2-3C.y=(x-2)2-2 D.y=(x-4)2-2D(2)(2018·绍兴中考)若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点(

)A.(-3,-6) B.(-3,0)C.(-3,-5) D.(-3,-1)B【明·技法】二次函数图象的平移变换(1)具体步骤:先利用配方法把二次函数化成y=a(x-h)2+k的形式,确定其顶点(h,k),然后作出二次函数y=ax2的图象,将抛物线y=ax2平移,使其顶点平移到(h,k).具体平移方法如图所示:(2)平移规律:在原有函数的基础上“左加右减”.【题组过关】1.(2019·绍兴中考)在平面直角坐标系中,抛物线y=(x+5)(x-3)经变换后得到抛物线y=(x+3)(x-5),则这个变换可以是 (

)A.向左平移2个单位 B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位 D.向右平移8个单位B2.(2019·台州温岭市期末)把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得的图象的解析式是y=x2+5x+5,则a-b+c的值为

(

)A.2

B.4 C.8

D.14A3.(2019·广东模拟)如图,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C,D两点(C在D的左侧),点C的横坐标最小值为-3,则点D的横坐标最大值为________.

84.(2019·安徽模拟)如图,抛物线y1=ax2-x+c与x轴交于点A(-3,0)和点B,并经过点,抛物线y1的顶点为C.将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2. 世纪金榜导学号(1)求抛物线y2的表达式.(2)在直线l上是否存在点P,使△PBC为等腰三角形?若存在,请求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由于抛物线y1=ax2-x+c与x轴交于点A(-3,0)和点B,并经过点,∴解得∴抛物线y1=当y1=0时,=0,解得x1=-3,x2=1,∴B点的坐标为(1,0),∵将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2.∴抛物线y2的表达式为:y2=-(x-1)2.(2)在直线l上存在点P,使△PBC是等腰三角形,由y1=-x2-x+=-(x+1)2+2可知C点的坐标为(-1,2),根据勾股定理得BC=设P点的坐标为(1,m),分三种情况:①当PB=PC时,m2=22+(m-2)2,解得m=2,此时点P坐标为(1,2);②当PB=BC时,m2=(2)2,解得m=±2,此时点P坐标为(1,2)或(1,-2);③当PC=BC时,22+(m-2)2=(2)2,解得m=4或m=0(舍去),此时点P坐标为(1,4);综上,△PBC是等腰三角形时,点P的坐标为(1,2)或(1,2)或(1,-2)或(1,4).考点三二次函数图象与系数的关系【核心突破】例3(2019·随州中考)如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=OC,对称轴为直线x=1,则下列结论:①abc<0;②a+=0;③ac+b+1=0;④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根.其中正确的有 (

)A.1个B.2个C.3个D.4个B【明·技法】二次函数y=ax2+bx+c的图象与字母系数的关系字母或代数式字母的符号图象的特征aa>0开口向上|a|越大开口越小a<0开口向下字母或代数式字母的符号图象的特征bb=0对称轴为y轴ab>0(b与a同号)对称轴在y轴左侧ab<0(b与a异号)对称轴在y轴右侧cc=0经过原点c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交字母或代数式字母的符号图象的特征b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点(顶点)b2-4ac>0与x轴有两个不同交点b2-4ac<0与x轴没有交点特殊关系当x=1时,y=a+b+c当x=-1时,y=a-b+c若a+b+c>0,即当x=1时,y>0若a+b+c<0,即当x=1时,y<0【题组过关】1.(2019·凉山州中考)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,有以下结论:①3a-b=0;②b2-4ac>0;③5a-2b+c>0;④4b+3c>0,其中错误结论的个数是(

)A.1

B.2

C.3

D.4A2.(2019·汕头潮南区期末)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(-1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①4ac<b2;②3a+c>0;③当x>0时,y随x的增大而减小;④当y>0时,x的取值范围是-1<x<3;⑤方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1,x2=3;其中结论正确的个数是 (

)A.4 B.3 C.2 D.1B3.(2019·秦皇岛卢龙县期末)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,其对称轴为x=1,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c<0;④若是抛物线上两点,则y1<y2,其中结论正确的是___________. 世纪金榜导学号

②④考点四确定二次函数解析式【核心突破】例4(1)(2018·北京中考)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为 (

)A.10m

B.15m

C.20m

D.22.5mB(2)(2018·湖州中考)已知抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)经过点(-1,0),(3,0),求a,b的值.【自主解答】∵抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)经过点(-1,0),(3,0),∴解得即a的值是1,b的值是-2.【明·技法】确定二次函数的解析式方法适用条件及求法一般式若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值,则可设所求二次函数解析式为y=ax2+bx+c顶点式若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值),可设所求二次函数为y=a(x-h)2+k方法适用条件及求法交点式若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0),(x2,0),可设所求的二次函数为y=a(x-x1)(x-x2)易错警示:(1)用顶点式代入顶点坐标时横坐标容易弄错符号.(2)所求的二次函数解析式最后要化成一般式.【题组过关】1.(2019·杭州下城区期末)已知二次函数y=ax2+4x+c,当x=-2时,函数值是-1;当x=1时,函数值是5,则此二次函数的解析式为 (

)A.y=2x2+4x-1 B.y=x2+4x-2C.y=-2x2+4x+1 D.y=2x2+4x+1A2.(2019·沧州青县期末)二次函数的部分图象如图所示,对称轴是x=-1,则这个二次函数的解析式为 世纪金榜导学号(

)A.y=-x2+2x+3B.y=x2+2x+3C.y=-x2+2x-3D.y=-x2-2x+3D3.抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2,4),B(6,4)两点,且顶点在x轴上,则该抛物线解析式为______________.

考点五二次函数与方程、不等式的关系【核心突破】例5(1)(2019·济宁中考)如图,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2+mx+c>n的解集是_________________.

x<-3或x>1(2)(2018·云南中考)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(0,3),B(-4,-)两点.①求b,c的值.②二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点,若有,求公共点的坐标;若没有,请说明情况.【自主解答】①把A(0,3),B(-4,-)分别代入y=-x2+bx+c,得解得

②由①可得,该抛物线解析式为:Δ=>0,所以二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴有公共点.∵-x2+x+3=0的解为:x1=-2,x2=8.∴公共点的坐标是(-2,0)或(8,0).【明·技法】二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系(1)二次函数与一元二次方程的关系①二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点,则两个交点的横坐标是相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个解.②二次函数的图象与x轴交点的个数由相应的一元二次方程的根的判别式的符号确定.(2)利用二次函数图象解不等式的方法不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上(下)方的点所对应的x的取值范围,