中考数学二轮培优复习几何专项练习：相似模型-母子型相似（含解析）

试卷第=page22页，共=sectionpages22页资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】试卷第=page11页，共=sectionpages11页资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】中考数学几何专项练习：相似模型--母子型相似一、解答题1．如图，SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为．【答案】2【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出SKIPIF1<0，代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=AB-AD即可求出结论．【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴SKIPIF1<0．∵AC=SKIPIF1<0，AD=1，∴SKIPIF1<0，∴AB=3，∴BD=AB-AD=3-1=2．故答案为2【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键．2．如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD．(1)求证：△ABC∽△ACD；(2)当AD＝2，AB＝3时，求AC的长．【答案】(1)见解析(2)AC的长为SKIPIF1<0．【分析】（1）由∠ABC=∠ACD及∠A=∠A，可证出△ABC∽△ACD；（2）利用相似三角形的性质，可求出AC的长．【详解】（1）证明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴AC=SKIPIF1<0(负值已舍)．∴AC的长为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出△ABC∽△ACD；（2）利用相似三角形的对应边成比例，求出AC的长．3．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．【答案】（1）见解析；（2）AD=SKIPIF1<0．【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，即可得出结论；（2）证明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE•BC，求出BC，则可求出AD．【详解】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴SKIPIF1<0，∴AC2=AD•AB．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，又∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C，又∵∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴SKIPIF1<0，∴BF2=BE•BC，∴BC=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴AD=SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．4．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0，分别交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求证：SKIPIF1<0．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得SKIPIF1<0，再由线段垂直平分线的性质可得SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0，进而得到SKIPIF1<0，即可求证；（2）先证明SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，即可求证．(1)证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直平分AB，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)证明：由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的性质和判定，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．5．如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，SKIPIF1<0于点G，SKIPIF1<0于点F，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求CD的值．【答案】(1)见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）先根据垂直的定义推出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0即可推出SKIPIF1<0，最后根据SKIPIF1<0，即可证明SKIPIF1<0；（2）由相似三角形的性质得到SKIPIF1<0，由此求出AB的长即可得到答案．【详解】（1）解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．6．如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面积为15，(1)求证：△DAC∽△ABC；(2)求△ACD的面积．【答案】(1)见解析(2)△ACD的面积为5【分析】（1）由∠DAC＝∠B，SKIPIF1<0即可证明△DAC∽△ABC；（2）设△ACD的面积为S，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，列出方程求解即可．【详解】（1）证明：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△DAC∽△ABC；（2）设△ACD的面积为S，∵△ABD的面积为15．∴△ABC的面积为15+S，∵△DAC∽△ABC，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得S=5，∴△ACD的面积为5．【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定．7．如图，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0延长线上一点，连接SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0和SKIPIF1<0于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两点．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求证：SKIPIF1<0；(3)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求当该菱形SKIPIF1<0改变为正方形，其余条件不变时正方形的边长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)SKIPIF1<0【分析】（1）只需证明SKIPIF1<0即可得到SKIPIF1<0．（2）想证明SKIPIF1<0，通过观察SKIPIF1<0为比例中项，只需证明SKIPIF1<0，即可到得答案．（3）根据学过的知识，出现比例中项的只有在三角形相似这个章节，所以只要证明SKIPIF1<0即可到得答案．【详解】（1）证明：SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）证明：SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（3）该菱形SKIPIF1<0改变为正方形时，由（2）知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理可得正方SKIPIF1<0的边长SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了三角形全等、相似的内容，熟练掌握三角形全等及相似的证明方法是解决此题的关键．8．如图，点P是菱形SKIPIF1<0的对角线SKIPIF1<0上一点，连接SKIPIF1<0并延长交SKIPIF1<0于点E，交SKIPIF1<0的延长线于点F．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求证：SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0．【分析】（1）根据菱形的性质，利用SKIPIF1<0即可证明SKIPIF1<0；（2）根据菱形的性质，全等三角形的性质推出SKIPIF1<0，即可证明SKIPIF1<0；（3）根据相似三角形的性质结合条件可求得SKIPIF1<0，再根据全等三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形SKIPIF1<0是菱形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）证明：∵四边形SKIPIF1<0是菱形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了菱形，全等三角形，相似三角形，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，是解题的关键．9．（1）【基础模型】：如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．（2）【尝试应用】：如图2，在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0延长线上一点，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．（3）【更上层楼】：如图3，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，请直接写出菱形SKIPIF1<0的边长．

【答案】（1）见解析；（2）9；（3）SKIPIF1<0【分析】（1）直接利用两个角对应相等证明SKIPIF1<0即可得到结论；（2）首先说明SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的长，再利用平行四边形的性质可得SKIPIF1<0的长；（3）延长SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，利用两组对边分别平行可得四边形SKIPIF1<0是平行四边形，得SKIPIF1<0，在利用SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，代入化简即可．【详解】解：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）如图所示，延长SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴菱形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了相似综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握共边共角三角形相似是解题的关键．10．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且SKIPIF1<0，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，进而求出SKIPIF1<0，再利用相似三角形的性质得出答案即可；（2）由SKIPIF1<0可证SKIPIF1<0，进而得出SKIPIF1<0，再由（1）可证SKIPIF1<0，由此即可得出线段之间关系．【详解】（1）证明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0AD是△ABC的中线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出SKIPIF1<0是解题关键．11．解答下列各题：（1）[基础巩固]如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．（2）[尝试应用]如图2，在平行四边形ABCD中，F为AB上一点，E为BC延长线上一点，∠AEF＝∠D．若AE＝6，BF＝5，求CD的长．（3）[拓展提高]如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝4EF，∠EDF＝SKIPIF1<0∠BAD，AE＝3，DF＝4，求菱形ABCD的边长．【答案】（1）见解析；（2）9；（3）5【分析】（1）证明SKIPIF1<0，利用对应边相似求解．（2）证明SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，利用对应边关系列出方程求解．（3）延长SKIPIF1<0，交于点SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，表示对应关系SKIPIF1<0，再利用SKIPIF1<0．【详解】解：（1）证明：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0（舍去）．∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（3）如图，延长SKIPIF1<0，交于点SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0是菱形，∴SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0为平行四边形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴菱形SKIPIF1<0的边长为5．【点睛】本题考查了相似三角形的运用以及菱形的性质，利用相似比求解即可．12．已知正方形ABCD中，点E是边CD上一点（不与C、D重合），将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，如图1，连接EF分别交AC、AB于点P、G．（1）求证：△APF∽△EPC；（2）求证：PA2＝PG•PF（3）如图2，当点E是边CD的中点时，PE＝1，求AG的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AG=SKIPIF1<0．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）证明△APG∽△FPA，即可解决问题．（3）如图2中，设正方形的边长为2a．想办法用a表示AG，EG，GP，证明AG2=GP•GE，由此构建方程求出a，即可解决问题．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，由旋转的性质可知，AF=AE，∠FAE=90°，∴∠AFP=∠ECP=45°，∵∠APF=∠EPC，∴△APF∽△EPC；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB=45°，∵∠AFE=45°，∴∠PAG=∠AFP，∵∠APG=∠FPA，∴△APG∽△FPA，∴SKIPIF1<0，∴PA2=PG•PF；（3）解：如图2中，设正方形的边长为2a．∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，∴∠ABF=∠D=90°，DE=BF，∵∠ABC=90°，∴∠FBC=180°，∴F，B，C共线，∵DE=EC=BF=a，BC=2a，∴CF=3a，EF=SKIPIF1<0，∵BG∥EC，∴BG：EC=FB：CF=FG：FE=1：3，∴BG=SKIPIF1<0a，AG=SKIPIF1<0a，GE=SKIPIF1<0，∵∠GAP=∠AEG=45°，∠AGP=∠EGA，∴△AGP∽△EGA，∴SKIPIF1<0，∴AG2=GP•GE，∴（SKIPIF1<0a）2=（SKIPIF1<0a－1）•SKIPIF1<0a，∴a=SKIPIF1<0，∴AG=SKIPIF1<0×SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转变换，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．13．如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发，以SKIPIF1<0的速度沿SKIPIF1<0向点SKIPIF1<0匀速运动，同时点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发，以SKIPIF1<0的速度沿SKIPIF1<0向点SKIPIF1<0匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．（1）求经过几秒后，SKIPIF1<0的面积等于SKIPIF1<0面积的SKIPIF1<0？（2）经过几秒，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相似？【答案】（1）经过3秒后，SKIPIF1<0的面积等于SKIPIF1<0面积的SKIPIF1<0；（2）经过SKIPIF1<0秒或SKIPIF1<0秒时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相似【分析】（1）分别表示出线段PC和线段CQ的长后利用SKIPIF1<0列出方程求解；（2）设运动时间为SKIPIF1<0秒，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相似，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相似时，则有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，分别代入可得到关于t的方程，可求得t的值．【详解】（1）设经过x秒，SKIPIF1<0的面积等于SKIPIF1<0面积的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，答：经过3秒后，SKIPIF1<0的面积等于SKIPIF1<0面积的SKIPIF1<0；（2）设经过t秒，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相似，因为SKIPIF1<0，所以分为两种情况：①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，答：经过SKIPIF1<0秒或SKIPIF1<0秒时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相似．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．14．如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG．（1）求证：AG＝CG；（2）求证：△AEG∽△FAG；（3）若GE•GF＝9，求CG的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CG＝3【分析】（1）根据正方形的性质得到∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝CD，从而利用全等三角形的判定定理推出△ADG≌△CDG（SAS），进而利用全等三角形的性质进行证明即可；（2）根据正方形的性质得到AD∥CB，推出∠FCB＝∠F，由（1）可知△ADG≌△CDG，利用全等三角形的性质得到∠DAG＝∠DCG，结合图形根据角之间的和差关系∠DAB−∠DAG＝∠DCB−∠DCG，推出∠BCF＝∠BAG，从而结合图形可利用相似三角形的判定定理得到△AEG∽△FAG，（3）根据相似三角形的性质进行求解即可．【详解】（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，又AD＝CD，在△ADG和△CDG中，SKIPIF1<0，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴AG＝CG；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CB，∴∠FCB＝∠F，由（1）可知△ADG≌△CDG，∴∠DAG＝∠DCG，∴∠DAB−∠DAG＝∠DCB−∠DCG，即∠BCF＝∠BAG，∴∠EAG＝∠F，又∠EGA＝∠AGF，∴△AEG∽△FAG；（3）∵△AEG∽△FAG，∴SKIPIF1<0，即GA2＝GE•GF，∴GA＝3或GA＝−3（舍去），根据（1）中的结论AG＝CG，∴CG＝3．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，注意运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的和差关系．15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，联结DB，线段AE⊥线段BD交BC于点E交DB于点G，垂足为点G．（1）求证：EB2＝EG•EA；（2）联结CG，若∠CGE＝∠DBC．求证：BE＝CE．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）先证明SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0证明SKIPIF1<0可得结论；（2）证明SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0从而可得结论．【详解】解：（1）证明：∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（2）在SKIPIF1<0中，点D是斜边SKIPIF1<0的中点∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0由（1）得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，证明SKIPIF1<0是解答本题的关键．16．如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，连接DE、DC，DE交AC于点G，且DE＝DC．（1）请证明∠ACD＝∠BDE；（2）若AB＝mAD，求SKIPIF1<0的值（用含m的式子表示）（3）如图2，将△ABC沿BC翻折，若点A的对应点A'恰好落在DE的延长线上，求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形的外角性质即可证得SKIPIF1<0；（2）过点E作SKIPIF1<0交AB于点F，先证明SKIPIF1<0，由此可得SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0即可证得SKIPIF1<0；（3）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，先证明SKIPIF1<0，由此可得SKIPIF1<0，再根据等腰三角形的性质以及翻折的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由此可得SKIPIF1<0，由此计算即可求得答案．【详解】解：（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（2）如图，过点E作SKIPIF1<0交AB于点F，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由（1）可知SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（舍负），∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由题意可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（舍负），∴SKIPIF1<0【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质以及翻折的性质，熟练掌握它们的基本性质是解决本题的关键．17．如图，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延长线于点E，连结AE交BD于点F，交CD于点G，连结CF．(1)求证：AF＝CF；(2)求证：AF2＝EF•GF；(3)若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，求FG的长．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)SKIPIF1<0【分析】(1)先由菱形的性质得到AB=BC，∠ABF=∠CBF，然后结合BF=BF，得到△ABF≌△CBF，进而得到AF=CF；(2)先由菱形得到∠BAD=∠BCD，AD//BE，从而得到∠DAF=∠DCF，∠DAF=∠FEC，再结合∠CFG=∠EFC，得到△CFG∽△EFC，然后利用相似三角形的性质得到CF2=EF×GF，最后结合AF=CF，得到AF2=EF×GF；(3)先由∠BAD=120°，得到∠DCE=60°，然后结合菱形边长为2得到CD的长，进而利用DE⊥BC，得到CE、AE的长，然后通过证明△FAD∽△FEB，△GAD∽△GEC，进而得到AF、AG的长，最后得到FG的长．【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∠ABF=∠CBF，∵BF=BF，∴△ABF≌△CBF(SAS)，∴AF=CF；（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD=∠BCD，AD//BE，∴∠DAF=∠FEC，∵△ABF≌△CBF，∴∠BAF=∠BCF，∴∠DAF=∠DCF，∴∠GCF=∠CEF，∵∠CFG=∠EFC，∴△CFG∽△EFC，∴SKIPIF1<0，∴CF2=EF×GF，∵AF=CF，∴AF2=EF×GF；（3）∵∠BAD=120°，∴∠DCE=60°，∵菱形边长为2，∴CD=AD=2，∵DE⊥BC，∴∠ADE=∠CED=90°，∴∠CDE=30°，∴CE=SKIPIF1<0CD=1，DE=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，BE=BC+CE=2+1=3，∵AD//BE，∴△FAD∽△FEB，△GAD∽△GEC，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴FG=AG-AF=SKIPIF1<0-SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的三边关系、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知菱形的性质得到相关的角相等．18．如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG．(1)求证：AG＝CG；(2)若GE•GF＝9，求CG的长．【答案】(1)见解析(2)CG=3．【分析】（1）根据正方形的性质得到∠ADB=∠CDB=45°，AD=CD，从而利用全等三角形的判定定理推出△ADG≌△CDG（SAS），进而利用全等三角形的性质进行证明即可；（2）根据正方形的性质得到AD∥CB，推出∠FCB=∠F，由（1）可知△ADG≌△CDG，利用全等三角形的性质得到∠DAG=∠DCG，结合图形根据角之间的和差关系∠DAB-∠DAG=∠DCB-∠DCG，推出∠BCF=∠BAG，从而结合图形可利用相似三角形的判定定理即可得到△AEG∽△FAG；再根据相似三角形的性质进行求解即可．【详解】（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ADB=∠CDB=45°，又AD=CD，在△ADG和△CDG中，SKIPIF1<0，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴AG=CG；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CB，∴∠FCB=∠F，由（1）可知△ADG≌△CDG，∴∠DAG=∠DCG，∴∠DAB-∠DAG=∠DCB-∠DCG，即∠BCF=∠BAG，∴∠EAG=∠F，又∠EGA=∠AGF，∴△AEG∽△FAG，∴SKIPIF1<0，即GA2=GE•GF=9，∴GA=3或GA=-3（舍去），根据（1）中的结论得AG=CG，∴CG=3．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，注意运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的和差关系．19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，CE⊥AB于E，点F是CE上一点，连接AF并延长交BC于点D，CG⊥AD于点G，连接EG．(1)求证：CD2＝DG•DA；(2)如图1，若点D是BC中点，求证：CF＝2EF；(3)如图2，若GC＝2，GE＝2SKIPIF1<0，求证：点F是CE中点．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）先证明△ACD∽△CGD，根据相似三角形性质即可证得结论；（2）如图1，过E作EH∥AD交BC于点H，运用平行线分线段成比例定理即可证得结论；（3）根据∠AGC＝∠AEC＝90°，得出A、C、G、E四点共圆，过点E作EM⊥AD于点M，可得△EGM是等腰直角三角形，再证明△CGF≌△EMF，即可证明F是CE中点．【详解】（1）证明：∵CG⊥AD，∠ACB＝90°，∴∠CGD＝∠ACB＝90°，∵∠CDA＝∠CDG，∴△ACD∽△CGD，∴CD：DG＝DA：CD，∴CD2＝DG•DA；（2）如图1，过E作EH∥AD交BC于点H，∵HE∥AD，∴BH：HD＝BE：EA，CD：HD＝CF：EF，∵CB＝CA，∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴E为AB的中点，∴BE：EA＝1，∴BH：HD＝BE：EA＝1∵D为BD的中点∴CD=BD，∴CD：HD＝2，∵EH∥AD∴CD：HD＝CF：EF＝2∴CF＝2EF．（3）∵CB＝CA，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°，∵CE⊥AB，CG⊥AD，∴∠AGC＝∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∴A、C、G、E四点共圆，∴∠EGF＝∠ACF＝45°，过点E作EM⊥AD于点M，∴△EGM是等腰直角三角形，EM＝GE•sin45°＝2SKIPIF1<0＝2，∵CG＝2，∴CG＝EM，∵∠CFG=∠EFM，∠CGF=∠EMF=90°，∴△CGF≌△EMF，∴CF＝EF，即点F是CE中点．【点睛】∴本题考查了等腰直角三角形性质与判定，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线并结合相关知识进行解题．20．模型建立：(1)如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；(2)类比探究：如图2，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，射线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，射线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0．①求证：SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②SKIPIF1<0【分析】（1）证明SKIPIF1<0，根据相似三角形的性质即可得出结论；（2）①连接SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，根据相似三角形的性质得出SKIPIF1<0；②由①得：SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，由①可知，SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，进而即可求解．【详解】（1）证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）①证明：如图2，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；②解：由①得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由①可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，由①得：SKIPIF1<0，同理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由①知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．21．已知矩形SKIPIF1<0，点E、F分别在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0边上运动，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交于点P．-

(1)如图1，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长度；(2)如图2，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(3)如图3，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长度．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）根据SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0，再证明SKIPIF1<0，根据相似三角形的性质即可进行解答；（2）根据矩形的性质可得SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，进而得出SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即可得出结论；（3）过点A作SKIPIF1<0于点H，过点P作SKIPIF1<0于点N，交SKIPIF1<0于点M，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，进而得出SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0根据SKIPIF1<0，列出方程求解即可．【详解】（1）解：∵四边形SKIPIF1<0为矩形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：∵四边形SKIPIF1<0为矩形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．（3）解：过点A作SKIPIF1<0于点H，过点P作SKIPIF1<0于点N，交SKIPIF1<0于点M，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（2）可得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0为矩形，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形对边相等，四个角都为直角，相似三角形对应边成比例．22．已知在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为射线BC上的一个动点，AE与边CD交于点G．（1）如图1，连接对角线BD交AE于点F，连接CF，若AF2＝CG•CD，试求∠CFE的度数；（2）如图2，点F为AE上一点，且∠ADF＝∠AED，若菱形的边长为2，则当DE⊥BC时，求△CFE的面积；（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，试求SKIPIF1<0的最小值．【答案】（1）30°；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0【分析】（1）如图1，证明△ABF≌△CBF（SAS），得AF＝CF，再证明△FCG∽△DCF，根据相似三角形的性质可得∠CFE＝∠FDC＝30°；（2）如图2，过点F作MN⊥BC于N，交AD于M，根据直角三角形30°角的性质得：CE＝1，根据勾股定理计算DE和AE的长，证明∠AFD∽△ADE，列比例式可得AF和EF的长，证明△AFM∽△EFN，得FN的长，根据三角形的面积公式可得结论；（3）如图3，过点E作EH⊥CD于H，过点A作AN⊥BC于N，设菱形ABCD的边长为a，CE＝x，分别计算AE2和DE2，变形后可得当a＝x时，SKIPIF1<0有最小值．【详解】解：（1）如图1，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，∵BF＝BF，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴AF＝CF，∴SKIPIF1<0，∵∠FCG＝∠FCG，∴△FCG∽△DCF，∴∠CFE＝∠FDC，∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°，∵∠BAD＝120°，∴∠ADC＝60°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠FDCSKIPIF1<0∠ADC＝30°，∴∠CFE＝30°；（2）如图2，过点F作MN⊥BC于N，交AD于M，∵AD∥BC，∴MN⊥AD，Rt△DCE中，∠DCE＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDE＝30°，∵CD＝2，∴CE＝1，DESKIPIF1<0，Rt△ADE中，AESKIPIF1<0，∵∠ADF＝∠AED，∠FAD＝∠FAD，∴∠AFD∽△ADE，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴AFSKIPIF1<0，∴EFSKIPIF1<0，∵AD∥BC，∴△AFM∽△EFN，∴SKIPIF1<0，∵MN＝DESKIPIF1<0，∴FNSKIPIF1<0，∴S△CEFSKIPIF1<0；（3）如图3，过点E作EH⊥CD于H，过点A作AN⊥BC于N，设菱形ABCD的边长为a，CE＝x，在Rt△CEH中，∠ECH＝60°，∴∠CEH＝30°，∴CHSKIPIF1<0x，EHSKIPIF1<0x，∴DH＝aSKIPIF1<0x，在Rt△DEH中，DE2＝DH2＋EH2＝SKIPIF1<0+SKIPIF1<0＝a2﹣ax＋x2，在Rt△ABN中，∠B＝60°，AB＝a，∴∠BAN＝30°，∴BNSKIPIF1<0a，ANSKIPIF1<0a，∴CN＝BC﹣BNSKIPIF1<0a，∴EN＝EC＋CNSKIPIF1<0a＋x，Rt△ANE中，AE2＝AN2＋EN2＝SKIPIF1<0+SKIPIF1<0＝a2＋ax＋x2，∴SKIPIF1<0（a＞0，x＞0），∴当SK