平面向量的概念与线性运算知识点及平面向量的概念练习(教师版)

平面向量的概念与线性运算知识点一.平面向量的有关概念１．向量：既有大小，又有方向的量．２．数量：只有大小，没有方向的量．３．有向线段的三要素：起点、方向、长度．４．零向量：长度为的向量．５．单位向量：长度等于个单位的向量．６．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．注：任一组平平行向量都可以平移到同一直线上７．相等向量：长度相等且方向相同的向量．８．相反向量：长度相等且方向相反的向量二．向量的表示法１．字母表示法：如：，等２．几何表示法：用一条有向线段表示向量３．代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量的起点Ｏ是坐标原点，终点坐标是（，），则（，）称为的坐标，记作：＝（，）三．向量的运算１．向量加法运算：=1\*GB2⑴三角形法则的特点：首尾相连．=2\*GB2⑵平行四边形法则的特点：共起点．=3\*GB2⑶三角形不等式：．=4\*GB2⑷运算性质：=1\*GB3①交换律：；=2\*GB3②结合律：；=3\*GB3③．=5\*GB2⑸坐标运算：设，，则．２．向量减法运算：=1\*GB2⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．=2\*GB2⑵坐标运算：设，，则．设、两点的坐标分别为，，则．３．向量数乘运算：=1\*GB2⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．=1\*GB3①；=2\*GB3②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．=2\*GB2⑵运算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．=3\*GB2⑶坐标运算：设，则．４．向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．四．跟踪训练１．（）A．B．0C．D．２．给出命题（1）零向量的长度为零，方向是任意的.（2）若，都是单位向量，则＝.（3）向量与向量相等.（4）若非零向量与是共线向量，则，，，四点共线.以上命题中，正确命题序号是A.（1）B.（2）C.（1）和（3）D.（1）和（4）３．在四边形中，如果，，那么四边形的形状是A.矩形B.菱形C.正方形D.直角梯形４．如图，在△中，、、分别是、、上的中线，它们交于点，则下列各等式中不正确的是A.B.C.D.５．给出命题：（1）在平行四边形中，.（2）在△中，若，则△是钝角三角形.（3）在空间四边形中，分别是的中点，则.以上命题中，正确的命题序号是.1、下列说法正确的是（）A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小.B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.C、向量的大小与方向有关.D、向量的模可以比较大小.2、给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若，则；③若，则四边形ABCD是平行四边形；④平行四边形ABCD中，一定有；⑤若，，则；⑥，，则.其中不正确的命题的个数为（）A、2个B、3个C、4个D、5个3、设O是正方形ABCD的中心，则向量是（）A、相等的向量B、平行的向量C、有相同起点的向量D、模相等的向量4、判断下列各命题的真假：（1）向量的长度与向量的长度相等；（2）向量与向量平行，则与的方向相同或相反；（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量和向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为（）A、2个B、3个C、4个D、5个5、若为任一非零向量，为模为1的向量，下列各式：①||＞||②∥③||＞0④||＝±1，其中正确的是（）A、①④B、③C、①②③D、②③6、下列命中，正确的是（）A、||＝||＝B、||＞||＞C、＝∥D、｜｜＝0＝07、下列物理量：①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程，其中是向量的有（）A、2个B、3个C、4个D、5个8、平行向量是否一定方向相同？9、不相等的向量是否一定不平行？10、与零向量相等的向量必定是什么向量？11、与任意向量都平行的向量是什么向量？12、若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？14、如图所示，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，ABECABECD（2）找出图中与相等的向量；（3）找出图中与｜｜相等的向量；（4）找出图中与相等的向量.15、如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：DEABDEABFCO写出与共线的向量；（3）写出与模相等的向量；（4）向量与是否相等？参考答案一、选择题1、D；2、C；3、D；4、C；5、B；6、C；7、C二、填空题8、不一定9、不一定10、零向量11、零向量12、平行向量13、长度相等且方向相同三、解答题14、解：∵E、F分别是AC、AB的中点∴EF∥BC且EF＝BC又因为D是BC的中点∴①与共线的向量有：，②与的模大小相等的向量有③与相等的向量有：.15、解：（1），；（2）与共线的向量为：（3）与模相等的向量有：（4）向量与不相等.因为它们的方向不相同.1、下列各量中不是向量的是（）A、浮力B、风速C、位移D、密度2、下列说法中错误的是（）A、零向量是没有方向的B、零向量的长度为0C、零向量与任一向量平行D、零向量的方向是任意的3、把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（）A、一条线段B、一段圆弧C、圆上一群孤立点D、一个单位圆4、在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则（）A、与共线B、与共线C、与相等D、与相等5、下列命题正确的是（）A、向量与是两平行向量B、若a、b都是单位向量,则a=bC、若=,则A、B、C、D四点构成平行四边形D、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同6、在下列结论中,正确的结论为（）(1)a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件(2)a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件(3)a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件(4)a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件A、(1)(3)B、(2)(4)C、(3)(4)D、(1)(3)(4)7、“两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的条件、8、已知非零向量a∥b,若非零向量c∥a,则c与b必定、9、已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c与a共线,则c与b必定把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是;若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是11、已知||=1,||=2,若∠BAC=60°,则||=12、在四边形ABCD中,=,且||=||,则四边形ABCD是13、设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证：=14、某人从A点出发向西走了200m到达B点,然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点,最后又改变方向,向东走了200m到达D点(1)作出向量、、(1cm表示200m)(2)求的模第1