2022届四川大学附中高三压轴卷数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.方程2（x-l）sinzv+l=0在区间［-2,4］内的所有解之和等于（）

A.4B.6C.8D.10

2.已知集合4=卜卜<1},6={%卜<1},贝I］（）

A.AcB={xk<l}B.AuB={x|x<e}

C.A<JB-^x\x<11D.AcB={x［0<x<l}

3.已知AABC是边长为1的等边三角形，点O,E分别是边AB,的中点，连接。E并延长到点尸，使得

Z）E=2£F,则赤•配的值为（）

11511

A.—B.-C.—D.一

8448

4.如图所示，已知双曲线C:《-4=1（。>0力>0）的右焦点为尸，双曲线C的右支上一点A,它关于原点0的对称

ab~

点为8,满足NAEB=120°,且|8用=2|4用，则双曲线C的离心率是（）.

A.—B.—C.百D.77

32

5.若函数/（x）=Asin（s：+。）（其中A>0,1夕1<1）图象的一个对称中心为（。，0）,其相邻一条对称轴方程为

77r

x=—,该对称轴处所对应的函数值为-1,为了得到g（x）=cos2x的图象，则只要将/（X）的图象（）

12

A.向右平移?个单位长度B.向左平移三个单位长度

612

C.向左平移?个单位长度D.向右平移三个单位长度

o12

2+3/,、

6.

1-z

15.1.

A.----F—1—i

22222

7.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球表面积为（）

6瓜

tWE

A.12万B.16%

C.24〃D.48乃

2

且与双曲线r三-丁=1的渐近线相同，则双曲线。的标准方程为（

8.已知双曲线C的一个焦点为（0,5）,)

4

222

2y.B.匕-二=1D.)/一土=1

X----=1

45202054

9.设集合A={1,2,6},8={-2,2,4},C={xe/?|—2<x<6},贝|J(AUB)nC=()

A.{2}B.{1,2,4)

C.{1,2,4,6)D.{A:eR|-1<x<5}

10.已知集合{/={1,2,3,4,5,6},A={2,4},5={3,4},则(板)0(/)=()

A.{3,5,6}B.{1,5,6}C.{2,3,4}D.{1,2,3,5,6}

11.某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的表面积是()

便视图

伯视图

22

A.8cmB.12c/C.[有+2）cMD.（4^+4）c/n

12.某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据（X,y）分别为（2,1.5）,（3,4.5）,（4,5.5）,（5,6.5）,

由最小二乘法得到回归直线方程为9=L6x+6,若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为

（）

A.8年B.9年C.10年D.11年

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知实数X、y满足1,且可行域表示的区域为三角形，则实数〃?的取值范围为,若目标函数

y<m

2=%一丁的最小值为-1,则实数加等于.

14.已知数列｛《,｝的前”项满足q+2a2+3q+…+=2C，（〃eN*）,则an=.

15.直线/nx-政一1=0（机>0,〃>O）过圆C:x2+y2—2x+2y—l=0的圆心，则，+’的最小值是.

mn

16.已知函数=则过原点且与曲线y=/（x）相切的直线方程为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/（x）=*—x（acR,e为自然对数的底数），g（x）=lnx+〃ix+l.

（1）若/（x）有两个零点，求实数”的取值范围；

（2）当a=l时，^[/⑺+可"⑴对任意的反他^^功恒成立，求实数"?的取值范围.

18.（12分）设函数二（二）=sin（2Z-j）+sin（2Z+5Z6Z.

⑺求二（二）的最小正周期；

（〃）若二e（1,Z）fiZ（1）=<求sin（2口+1的值.

19.（12分）已知数列｛可｝的前〃项和为S“，且满足4=一1,%>0（〃N2）,S"=向$，”eN*,各项均为正

数的等比数列也,｝满足伪=4也=/

（1）求数列｛叫,也｝的通项公式；

（2）若配=g%%求数列匕,｝的前"项和7；

20.（12分）如图，在直三棱柱ABC—中，A8=AC=&，6c=A4=2,。为BC的中点，点V在线

段AA1上，且。0〃平面C4A.

(1)求证：AM=A{M；

(2)求平面例0q与平面4所成二面角的正弦值.

21.(12分)如图，椭圆。：1+与=1(。＞方＞0)的左、右顶点分别为4,A,上、下顶点分别为用，&,且4(0,1),

ab~

△48由2为等边三角形，过点(1,0)的直线与椭圆。在》轴右侧的部分交于M、N两点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求四边形为MNg面积的取值范围.

10

22.(10分)已知矩阵加=,MN=

01

(1)求矩阵N；

(2)求矩阵N的特征值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

画出函数'=5由值和>=一察一1的图像，y=sinnx^n^=——~均关于点0，°）中心对称，计算得到答案•

2（x-1）2（x—1）

【详解】

2(x-l)sin;rx+l=0,验证知x=l不成立，故sin〃x=—~-

2(x-l)

1

画出函数〉=5由心和^=的图像,

2(1)

易知：y=sin⑪和y=一371y均关于点（1,0）中心对称，图像共有8个交点,

故所有解之和等于4x2=8.

本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点（1,0）中心对称是解题的关键.

2.C

【解析】

求出集合3,计算出ACB和AU8,即可得出结论.

【详解】

•.•A={x|x<l},B=［卜'<1}={x|x<0},Ac3={xk<0},ADB={X|X<1}.

故选：C.

【点睛】

本题考查交集和并集的计算，考查计算能力，属于基础题.

3.D

【解析】

设丽=£，BC=b>作为一个基底，表示向量OE=gAC=g(B-a),DF^DE=,

AF=XD+DF=--a+-(b-a]=--a+-b,然后再用数量积公式求解.

24、'44

【详解】

设丽=a-BC-b，

所以诙=，*=，仿—£),DF^-DE^-(b-a),AF=AD+DF^-La+l(b-a\^--a+-b,

22、/24^>24、,44

531

7尻

所以至4-4-8-

故选：D

【点睛】

本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

4.C

【解析】

易得|4F|=2a,|3E|=4a,又时=g（而+丽），平方计算即可得到答案.

【详解】

设双曲线C的左焦点为E,易得AEBF为平行四边形，

所以|8巴一|AFH8F|-|B©=2a,又|8尸|=2|AF|,

故|AF|=2a,|8/q=4a,FO=-（FB+FA）,

2

所以c2=—（4cz2+16a2-2ax4a）,即2=3a2，

4c

故离心率为e=G.

故选：C.

【点睛】

本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立a,4c的方程或不等关系，是一道中档题.

5.B

【解析】

由函数的图象的顶点坐标求出4,由周期求出①，由五点法作图求出。的值，可得/（X）的解析式，再根据函数

>=Asin（5+°）的图象变换规律，诱导公式，得出结论.

【详解】

根据已知函数/(x)=Asin(s+e)

(其中A〉0,悯＜g)的图象过点,［［于一1］，

-312〃7〃*万

可得A=l,-...=-,

46yl23

解得：。=2.

再根据五点法作图可得2•方+9=万，

可得：夕=工，

3

可得函数解析式为：/(x)=sin(2x+q).

故把/(x)=sin(2x+g］的图象向左平移g个单位长度,

可得y=5布12%+(+看)=以为2》的图象，

故选&

【点睛】

本题主要考查由函数y=4sin(a)x+e)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出4,由周期求出0,由五

点法作图求出。的值，函数y=Asin(5+0)的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题.

6.A

【解析】

分子分母同乘1+z・，即根据复数的除法法则求解即可.

【详解】

2+3，(2+30(1+015.

解.-----=------------=----1--1

1-z(l-z)(l+z)22'

故选:A

【点睛】

本题考查复数的除法运算,属于基础题.

7.A

【解析】

由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代

入求得表面积公式计算.

【详解】

由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2,

底面为等腰直角三角形，斜边长为28，如图：

...AABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点O,OD1AC,且QDu平面SAC,

•••S4=AC=2,

SC的中点。为外接球的球心，

，半径R=y/3>

外接球表面积S=4/X3=12万.

故选：A

【点睛】

本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据

求得外接球的半径是解答本题的关键.

8.B

【解析】

根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解.

【详解】

•.•双曲线C与土-^=1的渐近线相同，且焦点在》轴上,

4-

22

...可设双曲线C的方程为菅-a=1，一个焦点为（。，5）'

.•.攵+4左=25,.•.%=5,故C的标准方程为乙一二=1.

520

故选：B

【点睛】

此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错.

9.B

【解析】

直接进行集合的并集、交集的运算即可.

【详解】

解：AuB={-2,l,2,4,6}；

••.（AuB）cC={l,2,4}.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查集合描述法、列举法的定义，以及交集、并集的运算，是基础题.

10.B

【解析】

按补集、交集定义，即可求解.

【详解】

。储={1,3,5,6},电8={1,2,5,6},

所以（瘩4）0（/）={1，5,6}.

故选：B.

【点睛】

本题考查集合间的运算，属于基础题.

11.D

【解析】

根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积.

【详解】

根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为2x2=4.侧面的高为在层=石，所以侧面积为

4xlx2xV5=4>/5.所以该几何体的表面积是（4A/5+4）C/»2.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.

12.D

【解析】

根据样本中心点（x,y）在回归直线上，求出”，求解y>15,即可求出答案.

【详解】

依题意还3.5,7=4.5,（3.5,4.5）在回归直线上，

4.5=1.6x3.5+a,a=—1.1,.1.y=1.6x—1.1，

由_y—1.6%-1.1>15,x>10-j-^,

估计第11年维修费用超过15万元.

故选:D.

【点睛】

本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.m>2m-5

【解析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数z=x-y的最小值，利用数形结合即可得到

结论.

【详解】

作出可行域如图，

则要为三角形需满足在直线=m下方，即1+1（机，m>2；

目标函数可视为丁=》-z,贝文为斜率为1的直线纵截距的相反数，

该直线截距最大在过点A时，此时Zmin=-1,

直线Q4：y=x+l,与A5：丁=2》一1的交点为4（2,3）,

该点也在直线AC：x+y=m±,故加=2+3=5,

故答案为：m>2；m—5.

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属

于基础题.

14.n+\

【解析】

由已知写出用〃-1代替〃的等式，两式相减后可得结论，同时要注意外的求解方法.

【详解】

■:4+2a,+3a3+■♦♦+—2(7；+2(1),

〃〃

22时，q+2a2+3a3+…+(-=2C^+1②，

①一②得nan=2c+2-C,：+1)=2c3=〃(〃+1),

：.q,=〃+1,

又4=2C；=2,

；.=n+1(

故答案为：n+1.

【点睛】

本题考查求数列通项公式，由已知条件.类比已知S“求鬼的解题方法求解.

15.4

【解析】

直线mx-T=0经过圆/+产-2x+2y-1=0的圆心(1,-1),可得,〃+"=1,再利用“乘1法”和

基本不等式的性质即可得出.

【详解】

mx-ny-1=0(m>0,n>0)经过圆炉+产-2x+2y-1=0的圆心(1,-1),

/.m+n-1=0,即m+n=l.

1]i:rnn\

-------1—=(1—)(m+n)=24------1>2+2=4,当且仅当机=〃=一时取等号.

mnmnnm2

.•.则的最小值是4.

mn

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了圆的标准方程、“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题.

16.2ex-y=0

【解析】

设切点坐标为1,e"),利用导数求出曲线y=/(x)在切点”,e”)的切线方程，将原点代入切线方程，求出/的值,

于此可得出所求的切线方程.

【详解】

设切点坐标为Qf(x)=e2x,f,(t)=2e2',

则曲线y=〃x)在点)处的切线方程为y—e"=/a7),

由于该直线过原点，则一/'=一2招"，得，=1，

2

因此，则过原点且与曲线y=相切的直线方程为y=2ex,故答案为2ex-)，=0.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查过点作函数图象的切线方程，求解思路是：

(1)先设切点坐标，并利用导数求出切线方程；

(2)将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标；

(3)将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(1、

17.(1)0,--(2)(-co,l]

\e)

【解析】

]nrInV

(D将/(x)有两个零点转化为方程。=—有两个相异实根，令G(x)=—求导，利用其单调性和极值求解；

1nY11nYI

(2)将问题转化为mW/-一对一切xe(O,”)恒成立，令尸(力="一一--(x>0),求导，研究单调性,

XXXX

求出其最值即可得结果.

【详解】

(1)/(X)有两个零点o关于X的方程e-=X有两个相异实根

由e"'>。，知x>0

二/(x)有两个零点o。=皿有两个相异实根.

令G(x)=(，贝=

由G'(x)>0得：Q<x<e,由G'(x)<0得：x>e,

・•・G(x)在(O,e)单调递增，在(e,+8)单调递减

・•.G(x)max=G(e)=；,

又•.8)=0

・•・当Ovxvl时，G(x)<0,当尢>1时，G(x)>0

当％—>+oo时，G(x)f0

・••/(x)有两个零点时，实数4的取值范围为10,/);

(2)当a=l时，f(x)=ex-x,

原命题等价于xeA>lnx+mx+l对一切XG(O,-K)O)恒成立

u>m<ex-5f--对一切xe(0,+8)恒成立.

xx

令/(%)="_处_,(%〉0)

:,m<F(x\.

\/mu

P(x)=e，+¥=^ex+In九

2

X

令〃(%)=%2"+1口工，XG(0,+OO),则

〃(x)=2xe+x2ex+—>0

.•.Mx)在(0,+。)上单增

又〃(l)=e>0,/?[!)=e[2_]<e°_]=0

3JT()G|-,1J,使〃($)=0即x；e*+lnxo=0①

当xe（O,Xo）时，〃（x）＜0,当x€（x（）,+oo）时，/i（x）＞0,

即*x）在（0,朝）递减，在（均+8）递增，

."（%=小。）=6加-"一

AoAo

由①知=-Inx0

ln

品lnx01i1A11y

/.xQe^=------=一In一=In-e%

X。xoxoI

・・・函数0（"=%"在（0,+巧单调递增

।1

/.x0=In一即%0=-lnx0

x。

:.F（x）.=eTn%—3__L=J_+i_JL=]

、/mmY

人0人Y0人Y0人Y0

m＜\

，实数，〃的取值范围为（—co,.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，考查学生转化能力和分析能力，是一道难度较大的题目.

18.⑺二；（II）--

【解析】

（/）化简得到二（二）=Osin（2二+自，得到周期.

（II）二（"）=、，2sm（二+司=%故sm（二+司=¥，根据范围判断cos（二+自=一手，代入计算得到答案.

【详解】

（Z）二（匚）=sin（2L-j）+sin（2L+1）=sm（2匚一习+cos（22-j）

=\7sin（2二+1），故二=三=二.

(//)二(y)=v,jsin(二+/)=g故sin(二+/)=£cos(.二+jj)=±宁，

口e串口),故口+：e信署),|cos(口+))|>|血(口+凯

故二+*(芋二)，故cos(二+自=-一，

血(2口+乡=2血(口+初侬(口+5=-9

【点睛】

本题考查了三角函数的周期，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

nW

19.(1)Q〃=3〃—4；bn=2(2)Tn=(3/i—7)*2+7

【解析】

(1)由S.=生正空。化为a“j=6S“+9〃+l,利用数列的通项公式和前“项和的关系，得到｛%｝是首项为1,

6

公差为3的等差数列求解.

(2)由(1)得到c.=(3〃-4>2"T,再利用错位相减法求解.

【详解】

(1)vS,,="如二9"I可以化为4M2=6S„+9«+1,

6

:.a；=6S,i+9(n-l)+l,

二4+：-a,”6%+9(〃22),

(%+3)2,

又2时，>0

二%+1=4+3(〃N2)

•••数列｛/｝从«2开始成等差数列，

n2—9〃—1

・・・4=-1,代入S“=%~

”6

得。2=2,4-4=3

..•{4}是首项为1,公差为3的等差数列,

。〃=3〃-4,

4=%=2,b3=a4=8,bn=2".

(2)由(1)得c“=(3〃—4>2"T,

Tn=-1-2°+2-2'+?-+(3〃-4)-2"T,

27；,^-1^'^2-22+?+(n-)•",

两式相减得

-7；,=-l+3(2'+22+?--+2,,-1)-(3n-4)-2\

=-l+6(2"T-1)一(3〃-4)2,

.•工=(3〃-7>2"+7.

【点睛】

本题主要考查数列的通项公式和前〃项和的关系和错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

20.见解析

【解析】

(1)如图，连接BC，交C用于点N,连接AN,ON,则N为的中点，

因为。为8C的中点，所以ON//BB、,

又M&//BB、,所以ON〃MA，从而。，N,4，加四点共面.

因为〃平面CBM，QV/u平面平面Cl平面C4A=24,,所以。加〃人典.

又ON"M%,所以四边形ONAM为平行四边形，

所以肠4,=ON=；BB1=3的，所以AM=4/

(2)因为A8=AC,。为BC的中点，所以AO_L3C,

又三棱柱ABC—4gG是直三棱柱，ON

所以。4,OB,ON互相垂直，分别以前，ON，函的方向为x轴、轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间

直角坐标系。-肛z,

因为A5=AC=g，BC=AAi=2,所以0(0,(),0),B,(1,2,0),"(0,1,1),C(-l,0,0),

所以丽=丽=(0,1,1),西=(1,2,0),函-=(2,2,0).

、\OMm=0fy+z=0

设平面MOg的法向量为血=(x,y,z),贝时一，即｛,

OB,m=0[x+2y=0

令z=l,可得y=T,x=2,所以平面M。片的一个法向量为，”=(2,-U).

n=0b+c=O

设平面A的法向量为〃=3,dC),则

g-n=02。+2/?=0

令c=l,可得匕=一1,a=\,所以平面C4A的一个法向量为〃=(1,T,1),

2xl-lx(-l)+lxl42夜

所以cos〈/n,”〉=

百+㈠>+1.J[2+(_]>+]2第二亍

所以平面MOB,与平面CB]A所成二面角的正弦值为1.

2(3店

21.(1)—+V2=1；(2)—,1+——.

3,[23

【解析】

(1)根据坐标和的与与为等边三角形可得a,b,进而得到椭圆方程;

(2)①当直线MN斜率不存在时，易求M,N坐标,从而得到所求面积；②当直线MN的斜率存在时，设方程为

y=1),与椭圆方程联立得到韦达定理的形式,并确定k的取值范围；利用S=S&Y04+S^OMN+S4MOB?代

6

入韦达定理的结论可求得S关于攵的表达式，采用换元法将问题转化为S，〃€(夜+6,26)的值

"2d----25/3

m

域的求解问题，结合函数单调性可求得值域；结合两种情况的结论可得最终结果.

【详解】

(1)•.•4(0,1),.”=1,

2

•••△444为等边三角形，.”二园二百，.•椭圆的标准方程为,+V=1.

(2)设四边形的面积为S.

①当直线MN的斜率不存在时，可得M，,-丰)

,N1,

』"2+2司Xl=l+逅

2、3）3

②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=《(x-1),

设N（x2,y2）,

《+2-1

+>