新版高中数学北师大版必修2习题第一章立体几何初步1.6.1.1

§6垂直关系6.1垂直关系的判定第1课时直线与平面垂直的判定1.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()A.垂直 B.相交但不垂直 C.平行 D.不能确定解析:梯形的两腰所在的直线相交,根据线面垂直的判定定理可知选项A正确.答案:A2.若直线a不垂直于平面α,则平面α内与直线a垂直的直线有()A.0条 B.1条C.无数条 D.α内所有直线解析:a不垂直于α,但是过a上一点作平面α的垂线,令直线a与垂线确定的平面与α的交线为b,则在α内与b垂直的直线必与a垂直.答案:C3.已知矩形ABCD,AB=1,BC=2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中,()A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直解析:当AC=1时,由DC=1,AD=2,得∠ACD为直角,DC⊥AC,又因为DC⊥BC,所以DC⊥平面ABC.所以DC⊥AB.答案:B4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.AC B.BDC.A1D D.A1A解析:如图所示,连接AC,BD,∵BD⊥AC,A1C1∥AC,∴BD⊥A1C1.∵BD⊥A1A,∴BD⊥平面ACC1A1.∵CE⫋平面ACC1A1,∴BD⊥CE.答案:B5.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则点P到BC的距离是()A.5 B.25 C.35 D.45解析:如图所示,作PD⊥BC于D,连接AD,因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,PD∩PA=P,所以CB⊥平面PAD,所以AD⊥BC.因为AB=AC,所以CD=BD=3.在Rt△ACD中,AC=5,CD=3,所以AD=4,在Rt△PAD中,PA=8,AD=4,所以PD=82+42答案:D6.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,下列判断正确的是()A.A1C⊥面AB1D1B.A1C⊥面AB1C1DC.A1B⊥面AB1D1D.A1B⊥AD1解析:在正方体ABCDA1B1C1D1中,∵平面A1B1C1D1为正方形,∴A1C1⊥B1D1,B1D1⊥CC1,∴B1D1⊥面A1C1C,∴B1D1⊥A1C.同理可得A1C⊥AD1,又AD1∩B1D1=D1,∴A1C⊥面AB1D1.答案:A7.如图所示,平行四边形ABCD的对角线交于点O,点P在▱ABCD所在平面外,且PA=PC,PD=PB,则PO与平面ABCD的位置关系是.

解析:因为AO=CO,PA=PC,所以PO⊥AC,因为BO=DO,PD=PB,所以PO⊥BD.又AC∩BD=O,所以PO⊥平面ABCD.答案:PO⊥平面ABCD8.如图,在直角三角形BMC中,∠BCM=90°,∠MBC=60°,BM=5,MA=3,MA⊥BC,AB=4,则∠MCA的正弦值为.

解析:因为BM=5,MA=3,AB=4,所以AB2+AM2=BM2,所以MA⊥AB.又因为MA⊥BC,AB⫋平面ABC,BC⫋平面ABC,且AB∩BC=B,所以MA⊥平面ABC,所以MA⊥AC.又因为∠MBC=60°,所以MC=532,所以sin∠MCA=答案:29.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,给出下面四个结论:①AH⊥平面EFH;②AG⊥平面EFH;③HF⊥平面AEF;④HG⊥平面AEF.其中正确结论的序号是.

解析:在这个空间图形中,AH⊥HF,AH⊥HE,所以AH⊥平面EFH.答案:①★10.如图所示,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF,EF∥AB,EF⊥FB,BF=FC,H为BC的中点.求证:AC⊥平面EDB.证明如图所示,设AC与BD交于点G,则G为AC的中点,连接EG,GH,则GH∥AB∥EF,且GH=12AB=EF,∴四边形EFHG为平行四边形.由四边形ABCD为正方形,有AB⊥BC.又EF∥AB,∴EF⊥BC,又EF⊥FB,∴EF⊥平面BFC,∴EF⊥FH.∴AB⊥FH.又BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC,∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.又由四边形EFHG为平行四边形得FH∥EG,∴AC⊥EG.又AC⊥BD,EG⫋平面EDB,BD⫋平面EDB,EG∩BD=G,∴AC⊥平面EDB★11.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:(1)直线BC1∥平面EFPQ;(2)直线AC1⊥平面PQMN.分析在第(1)问中,可考虑利用线线平行去证明线面平行,连接AD1,可先证明AD1和FP平行,再证明BC1平行于AD1,从而可证BC1平行于平面EFPQ.在第(2)问中,可考虑利用线线垂直去证线面垂直,需证AC1与平面MNPQ内两条相交直线垂直.证明(1)如图所示,连接AD1,由ABCDA1B1C1D1是正方体,知AD1∥BC1.因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⫋平面EFPQ,BC1⊈平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图所示,连接AC,BD,则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD,BD⫋平面ABCD,可得CC