结构力学Ⅱ课件：坐标变换

坐标变换2在整体分析时，所有力和位移都要遵循整体坐标系，这样同一结点来自不同单元的力分量才可以代数相加;最后单元分析求内力时，力和位移都要遵循单元坐标系。力和位移均为矢量，在不同坐标系下分解。各分量不同。§9.3坐标变换坐标变换描述单元刚度方程中各量在两个坐标系之间的关系。3单元杆端力和杆端位移的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换本节主要内容§9.3坐标变换4

矢量的坐标变换矩阵形式：坐标变换矩阵：单元整体5矢量的坐标变换

坐标变化矩阵：单元整体坐标变换矩阵λ是正交矩阵yθxyθxyθxyθx6桁架单元的坐标变换矩阵

组合一起:坐标转换矩阵：单元整体杆端力变换杆端位移变换单元坐标变换矩阵正交矩阵已知整体坐标求单元坐标系7梁单元坐标变换矩阵坐标转换矩阵：假设已知整体坐标求单元坐标：杆端力变换杆端位移变换单元坐标变换矩阵正交矩阵8单元杆端力和杆端位移的坐标变换若已知整体坐标求单元坐标杆端力变换杆端位移变换杆端力变换杆端位移变换若已知单元坐标求整体坐标？平面刚架梁单元平面桁架链杆单元单元的坐标变换矩阵是正交矩阵单元刚度矩阵的坐标变换对单元坐标下的杆端力、杆端位移进行坐标变换：单元坐标描述：代入单元坐标下的刚度方程

两边同时左乘：整体坐标描述的单元刚度矩阵：?单元刚度方程整体坐标描述：数学理论推导每个块可以单独坐标变换，而且变换后块的位置不变;可根据需要只变换需要的刚度子块。刚度子块单独变换时，元素要完整。分块形式：单元刚度矩阵的坐标变换整体坐标描述的单元刚度矩阵结构整体分析时，要用整体坐标描述的单元刚度矩阵。建立整体坐标描述的单元刚度矩阵的途径：12对于一般的杆，可根据单元坐标描述的单元刚度矩阵通过坐标变换得到。对于水平、竖直的杆，可根据杆端位移和杆端力之间的关系，按概念直接写出。例8.平面桁架如图所示，各杆截面EA均为常数。试求桁架各单元的刚度矩阵。

1.单元坐标描述的刚度矩阵一、后处理法2.整体坐标描述的单元刚度矩阵单元（1）单元坐标和整体坐标一致，无需变换单元（2）两坐标系之间a=300，需要变换单元（2）整体坐标描述的单元刚度矩阵解：1.单元坐标描述的刚度矩阵2.整体坐标描述的单元刚度矩阵例8.桁架各杆EA均为常数。求先处理法的结构刚度矩阵。

3.装配结构刚度矩阵斜杆单元的杆端位移可以通过坐标变换得到：列出各单元杆端位移向量，求内力。若已经求得2结点的位移：1.各单元整体坐标描述的杆端位移：2.各单元坐标描述的杆端位移：单元(2)的杆端位移通过坐标变换：也可以通过几何关系直接求2点的轴向位移：3.单元坐标下，利用刚度方程求各单元的杆端内力（一般方法）3.单元坐标下，利用刚度方程求各单元的杆端内力

（快捷方法）（1）单元轴力为拉力：（2）单元轴力为压力：例11.

平面刚架如图所示，各杆截面相同。E=1×107kN/m2,A=0.24m2,I=0.0072m4，求各单元刚度矩阵。

解：结构离散化，各单元参数；单元①单元③单元②a=45°1.单元坐标表示的单元刚度矩阵

一、先处理法1234①②③yθx2.整体坐标表示的单元刚度矩阵

单元（1）(3)的单元坐标和整体坐标一致，所以无需变换单元（2）的单元坐标和整体坐标成450角，要坐标变换1234①②③yθx一、先处理法1.单元坐标描述的刚度矩阵

将各单元的参数代入自由梁单元的刚度矩阵：二、后处理法2.整体坐标表示的单元刚度矩阵

二、后处理法23小结单元的坐标变换矩阵都是正交矩阵平面梁单元平面链杆单元整体坐标杆端力单元坐标杆端力整体坐标杆端位移单元坐标杆端位移单元坐标刚度矩阵