2024年中考数学专题训练 专题06 四点共圆（知识解读）

专题06四点共圆（知识解读）【专题说明】四点共圆在圆内接四边形综合问题的求解中占据了重要地位，都是在大题中结合题目的几何背景进行综合考查，重在考查学生对知识的应用能力．考查的基本类型有：利用四点共圆证相似，利用四点共圆求最值，这些问题大都利用转化思想，将几何问题转化为四点共圆问题，使题目能简单求解.【方法技巧】1.四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．2．四点共圆的性质(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等．(2)圆内接四边形的对角互补．(3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．3．四点共圆的判定(1)用“角”判定：①一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上；②一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上；③如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个角相等，则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上．(2)“等线段”判定：四顶点到同一点的距离相等，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点共圆．(3)用“比例线段”判定：若线段AB，CD(或其延长线)交于点P，且PA·PC＝PB·PD，则A，B，C，D四点共圆.模型解读：模型1：对角互补型：若∠A+∠C=180º或∠B+∠D=180º,则A、B、C、D四点共圆模型2：同侧等角型（1）若∠A=∠C,则A、B、C、D四点共圆（2）手拉手(双子型)中的四点共圆条件：△OCD∽△OAB结论：①△OAC∽△OBD②AC与BD交于点E,必有∠AEB=∠AOB；③点E在△OAB的外接圆上,即O、A、B、E四点共圆.同理：ODCE也四点共圆.模型3：直径是圆中最长的弦1.定圆中最长的弦是直径；2.经过圆中定点最短的弦是垂直于过这点直径的弦；3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。【典例分析】【模型1：对角互补型】【典例1】如图,正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形AEFG,连接BE,延长BE交于CF于点M,求证：M是线段CF的中点.【变式1】如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P、E分别是线段AC、BC上的点,四边形PEFD为矩形,若AP=2,求CF的长。【模型2：同侧等角型】【典例2】在Rt△ABC中,∠ACB=90º,将△ABC绕点A顺时针旋转αº(0＜α＜180)得△ADE,∠AED=90º,直线BD与直线CE的交点为P.求证：PB=PD【模型3：直径是圆中最长的弦】【典例3】在△ABC中,∠ACB=90º,AC=6,BC=8,O为AB的中点,过O作OE⊥OF,OE、OF分别交射线AC,BC于E、F,则EF的最小值为?【变式3】如图,在⊙O中,直径AB=12,点D是圆上任意一点(A,B除外),点P为CD的中点,过点D作DE⊥AB于点E,连接AD,EP.求EP的最大值。【随堂精练】1．（2021秋•永泰县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将△ABC绕A点顺时针旋转得到△ADE，使D点落在BC边上．（1）求∠BAD的度数；（2）求证：A，D，B，E四点共圆．2．如图，四边形ABCD是某高新区核心地块用地示意图，经测量得如下数据：AB＝30km，BC＝40km，∠B＝120°，∠A+∠C＝180°，请计算这块规划用地的最大面积．3．如图，已知AC＝BC＝4，点D是AB下方一点，且∠C＝∠D＝90°，求四边形ACBD面积的最大值． 专题06四点共圆（知识解读）【专题说明】四点共圆在圆内接四边形综合问题的求解中占据了重要地位，都是在大题中结合题目的几何背景进行综合考查，重在考查学生对知识的应用能力．考查的基本类型有：利用四点共圆证相似，利用四点共圆求最值，这些问题大都利用转化思想，将几何问题转化为四点共圆问题，使题目能简单求解.【方法技巧】1.四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．2．四点共圆的性质(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等．(2)圆内接四边形的对角互补．(3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．3．四点共圆的判定(1)用“角”判定：①一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上；②一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上；③如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个角相等，则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上．(2)“等线段”判定：四顶点到同一点的距离相等，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点共圆．(3)用“比例线段”判定：若线段AB，CD(或其延长线)交于点P，且PA·PC＝PB·PD，则A，B，C，D四点共圆.模型解读：模型1：对角互补型：若∠A+∠C=180º或∠B+∠D=180º,则A、B、C、D四点共圆模型2：同侧等角型（1）若∠A=∠C,则A、B、C、D四点共圆（2）手拉手(双子型)中的四点共圆条件：△OCD∽△OAB结论：①△OAC∽△OBD②AC与BD交于点E,必有∠AEB=∠AOB；③点E在△OAB的外接圆上,即O、A、B、E四点共圆.同理：ODCE也四点共圆.模型3：直径是圆中最长的弦1.定圆中最长的弦是直径；2.经过圆中定点最短的弦是垂直于过这点直径的弦；3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。【典例分析】【模型1：对角互补型】【典例1】如图,正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形AEFG,连接BE,延长BE交于CF于点M,求证：M是线段CF的中点.【简答】∵AC=AF,AB=AE且∠BAE=∠CAF∴△AEB∽△AFC,∴∠ABE=∠ACF,∴A、B、C、M四点共圆,∵∠ABC=90º,∴AC是直径,∴∠AMC=90º,∵AE=AC,∴AM垂直且平分CF(三线合一).【变式1】如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P、E分别是线段AC、BC上的点,四边形PEFD为矩形,若AP=2,求CF的长。【解析】∠PEF=∠PDF=∠DCE=90º,知D,F,C,D,P共圆,如下图,由∠1=∠2,∠4=∠5,易得△APD∽△DCF,CF:AP=CD:AD,得CF=1.5。【模型2：同侧等角型】【典例2】在Rt△ABC中,∠ACB=90º,将△ABC绕点A顺时针旋转αº(0＜α＜180)得△ADE,∠AED=90º,直线BD与直线CE的交点为P.求证：PB=PD【解析】由旋转的性质得∠CAE=∠BAD=α,AC=AE,AB=AD,∴∠CEA=∠ADB∴A,D,E,P四点共圆∴∠APD=∠AED=90º∴AP⊥BD∴PB=PD【模型3：直径是圆中最长的弦】【典例3】在△ABC中,∠ACB=90º,AC=6,BC=8,O为AB的中点,过O作OE⊥OF,OE、OF分别交射线AC,BC于E、F,则EF的最小值为?【解析】∵∠EOF=∠C=90º,∴C,O均在以EF为直径的圆上∵EF是圆的直径,O、C均在圆上,且OC长度固定,要使EF最短,则圆最小,要使圆最小,由于OC为固定长度,则OC为直径时,圆最小,此时EF=CO=OA=OB=5(斜边上中线等于斜边一半)【变式3】如图,在⊙O中,直径AB=12,点D是圆上任意一点(A,B除外),点P为CD的中点,过点D作DE⊥AB于点E,连接AD,EP.求EP的最大值。【解析】延长DE交⊙O于点F,连接FC,利用三角形的中位线得出PE=0.5FC.当FC为⊙O的直径时，PE最大=6。【随堂精练】1．（2021秋•永泰县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将△ABC绕A点顺时针旋转得到△ADE，使D点落在BC边上．（1）求∠BAD的度数；（2）求证：A，D，B，E四点共圆．【解答】（1）解：由旋转知，AD＝AC，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，∴∠ADC＝∠C＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣80°＝10°；（2）证明：连接BE，由旋转知，AB＝AE，∠EAD＝∠BAC＝90°，∵∠BAD＝10°，∴∠EAB＝∠EAD﹣∠BAD＝90°﹣10°＝80°，∴∠EBA＝∠BEA＝×（180°﹣∠EAB）＝×（180°﹣80°）＝50°，∴∠EBD＝∠EBA+∠ABC＝50°+40°＝90°，即△EBD是以ED为斜边的直角三角形，又∵△EAD也是以ED边为斜边的直角三角形，∴A，D，B，E四点在以ED为直径的圆上，即A，D，B，E四点共圆．2．如图，四边形ABCD是某高新区核心地块用地示意图，经测量得如下数据：AB＝30km，BC＝40km，∠B＝120°，∠A+∠C＝180°，请计算这块规划用地的最大面积．【解答】解：∵四边形ABCD中，∠DAC+∠DCB＝180°，∴A、B、C、D四点共圆，如图，延长CB，过点A作AE⊥CB于点E，连接AC，过点D作DF⊥AC于点F．∵∠ABC＝120°，∴∠ADC＝∠ABE＝60°，∴BE＝AB＝15km，AE＝＝15km，CE＝40+15＝55km，∴S△ABC＝＝＝300km2．则当△ADC的面积最大时，四边形ABCD的面积最大．当AD＝CD时，DF最大，此时四边形ABCD的面积最大．在Rt△ACE中，AC＝＝10km，AF＝AC＝5km，∵∠ADF＝＝30°，∴DF＝AF＝5km，∴S△ADC＝＝＝925km2．300+925＝1225km2．∴四边形ABCD的最大面积为1225km2．3．如图，已知AC＝BC＝4，点D是AB下方一点，且∠C＝∠D＝90°，求四边形ACBD面积的最大值．【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E