机械制图课件第4章：立体的投影

第4章立体的投影第4章立体的投影

任何机件，不管其形状多么复杂，都可看成由棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆球等单一几何形体按一定方式组合而成。圆柱棱柱圆柱圆锥圆球圆环圆柱4.1平面立体的投影4.2

曲面立体的投影4.3立体的截交线4.4立体的相贯线第4章立体的投影4.1

平面立体的投影4.1.1棱柱4.1.2棱锥

平面立体上相邻两表面的交线称为棱线。因此，绘制平面立体的投影可归纳为绘制各表面和各棱线的投影，而各表面都是由直线段所组成，直线段又都是由其两端点来确定。其中可见线的投影用粗实线画出，不可见的用虚线画出。平面立体——表面由平面围成的立体。ZXYHWVa'b'c'd'd"c"b"a"d(c)(b)aBC1.棱柱的投影

图示为一正六棱柱，它由上、下两个底面（正六边形）和六个棱面（长方形）组成。

由于上、下两底面均为水平面，所以其水平投影重合并反映实形。

正面和侧面投影分别为矩形线框。AD棱柱体三视图的特点：在棱线所垂直的投影面上的投影为反映棱柱底面实形的多边形，其余两投影由矩形线框组成。a’b’c’d’a(b)d(c)a”b”d”c”1.棱柱的投影作图步骤:①先画反映六边形实形的水平投影；②

按照投影规律，并根据六棱柱的高度画出正面投影；③按照投影规律画出侧面投影；④检查并加深图线。正六棱柱三视图的画法：a'b'c'd'd"c"b"a"d(c)(b)aABCDZXYHWVm'n'n"m"nmN棱柱表面上取点和取线M

在立体表面上取点时，必须首先确定该点是在平面立体的哪一个表面上。若点在某个表面上，则该点的投影必在该表面的各同面投影范围内。若该表面的投影可见，则该点的同面投影也可见；反之为不可见。a’b’n’c’d’n”m’am”m(b)d(c)na”b”d”c”棱柱表面上取点和取线

已知正六棱柱表面上点M的正面投影及点N的水平投影，分别求它们的其余两面投影。

请同学们思考：

如果将已知点加上括号，会是什么结果？ZXYHWVa'Sb'sBs'baAcCb”(c”)s”a”2.棱锥的投影

图示为一正三棱锥，它由底面△ABC和三个棱面△SAB、△SBC、△SAC所组成。

其底面为水平面，它的水平投影反映实形，正面和侧面投影分别积聚成一直线。

棱面△SAC为侧垂面，因此侧面投影积聚成一直线，水平投影和正面投影都是类似形。棱面△SAB和△SBC为一般位置平面，它的三面投影均为类似形。棱锥体三视图的特点：在底面所平行的投影面上的投影轮廓为反映棱锥底面实形的多边形，其余两投影由三角形线框组成。a’ss’s”c’b’baa”(c”)cb”2.棱锥的投影正三棱锥三视图的画法：作图步骤:①先画三棱锥底面△ABC的三面投影图；②

根据三棱锥的高度找出锥顶S的三面投影；③分别连接锥顶S到锥底ABC的同面投影；④检查、擦去多余线条、加深图线。a'Sb'sBs'baAcCb”(c”)s”a”m'mm”MZXYHWV1'122'棱锥表面上取点

组成棱锥体的表面有特殊位置平面，也有一般位置平面。特殊位置平面上点的投影，可利用该平面投影的积聚性直接作图。一般位置平面上点的投影，可通过在平面上作辅助线的方法求得。ⅠⅡa’ss’s”b’baa”(c”)cb”m’1’1nm”棱锥表面上取点

已知正三棱锥表面上点M的正面投影及点N的水平投影，分别求它们的其余两面投影。

mc’a’ss’s”b’baa”(c”)cb”m’22’nn”m”棱锥表面上取点

已知正三棱锥表面上点M的正面投影及点N的水平投影，分别求它们的其余两面投影。

(n’)mn’c’请同学们思考：

如果将已知点加上括号，会是什么结果？4.2

曲面立体的投影

工程中常见的曲面立体是回转体。回转面是由一条母线（直线或曲线）围绕轴线回转而形成。回转面上任一位置的母线称为素线，母线上任一点的运动轨迹均为垂直于轴线的圆，称为纬圆。

由回转面或回转面与平面所围成的立体，称为回转体。

主要有圆柱、圆锥、球、圆环等。

1.圆柱轴线母线素线圆柱体三面投影分析

从上往下看在H面上的投影为一个圆周：它既是圆柱面的顶圆和底圆的重合投影，反映顶圆和底圆的实形，又是圆柱面的积聚投影。

从前往后看在V面的投影是一个矩形：上下两条水平线分别是顶圆和底圆的投影，长度为圆周的直径。左右两条直线为圆柱面V面投影的外形线（最左和最右素线），也是前半圆柱面和后半圆柱面的分界线。

从左向右看在W面的投影是一个矩形：上下两条水平线分别是顶圆和底圆的投影，长度为圆周的直径。左右两条直线为圆柱面W面投影的外形线（最前和最后素线），也是左半圆柱面和右半圆柱面的分界线。

轴线⊥H面，所以在H面上的投影积聚为一点，用两条互相垂直的点画线的交点来表示；轴线//V面和W面，所以在V面与W面的投影反映实长。

一直线（母线）绕与其平行的轴线旋转一周，形成圆柱面。（2）圆柱的三视图轴线与H面垂直轴线与V面垂直轴线与W面垂直圆柱体三视图的特点：在轴线所垂直的投影面上的投影为一圆周，另二个投影为大小相同的矩形。ZXYHWVm’mm”M（3）圆柱表面上取点当圆柱轴线垂直于侧面时，圆柱面的侧面投影具有积聚性，圆柱面上点的侧面投影一定重影在侧面圆周上，因此利用圆柱表面的积聚性就能求出圆柱表面上的点投影。完成圆柱体表面指定点的另两投影。

m’m”m(n)(n’)k’n”(k)k”注意判断所求点的可见性！n（3）圆柱表面上取点圆锥体三面投影分析

从上往下看在H面上的投影为一个圆：圆周是底圆的投影，反映了底圆的实形；圆周以及圆周之内的整个圆是圆锥面的投影；锥顶在H面的投影即为这个圆的圆心。

从前往后看在V面上的投影为一个等腰三角形：底边是底圆的积聚投影，长度为底圆的直径；两腰为圆锥面上的外形线（最左和最右素线），也是前半圆锥面和后半圆锥面的分界线。轴线母线素线

从左往右看在W面上的投影为一个等腰三角形：底边是底圆的积聚投影，长度为底圆的直径；两腰为圆锥面上的外形线（最前和最后素线），也是左半圆锥面和右半圆锥面的分界线。

轴线⊥H面，所以在H面上的投影积聚为一点，用两条互相垂直的点画线的交点来表示；轴线//V面和W面，所以在V面与W面的投影反映实长。

一直线（母线）与轴线相交，并绕该轴线旋转一周，则形成圆锥面。2.圆锥圆锥体三视图的特点：在轴线所垂直的投影面上的投影为一圆周，另二个投影为大小相同的等腰三角形。（2）圆锥的三视图轴线与H面垂直轴线与V面垂直轴线与W面垂直前左最左素线最右素线最前素线最后素线ZXYHWVa’Ss’ss”a”c”caACc’m’mm”（3）圆锥表面上取点M两种求解方法：方法二：辅助素线法方法一：辅助圆法（纬圆法）（3）圆锥表面上取点完成圆锥体表面指定点的另两投影。

s’s”s3’2’32mm’m”nn”1’1n’()作图步骤:①辅助圆法求M点：过m’点作水平线2’3’，它的水平投影为一直径等于2’3’的圆，圆心为s，由m’作OX的垂线，与辅助圆的交点即为m。然后再按点的投影规律由m’和m作出m”。②辅助素线法求M点：连接s’m’，并延长到与底面的正面投影相交于1’，求得s1；再由m’根据点在线上的投影规律，求出m；然后再由m’和m求出m”。③

求N点:

由于N点在圆锥的最后素线上，故不需用上述两种方法，直接根据点在线上的投影原理便可求得。ZXYHWVa’c’b’acbc”a”b”A（平行于V面）（主视轮廓线）B（平行于H面）（俯视轮廓线）C（平行于W面）（左视轮廓线）3.圆球（2）圆球的三视图前上左左前上前后半球的分界线前后半球的分界线前后半球的分界线上下半球的分界线上下半球的分界线上下半球的分界线左右半球的分界线左右半球的分界线左右半球的分界线（3）圆球表面上取点完成圆球表面指定点的另两投影。

m’m”m(n’)k”M注意：圆球表面求点只能用辅助圆法！（3）圆球表面上取点完成圆球表面指定点的另两投影。

m’m”m(n’)k”M注意：圆球表面求点只能用辅助圆法！（3）圆球表面上取点完成圆球表面指定点的另两投影。

m’m”m(n)(n’)k”(n”)kk’M注意：圆球表面求点只能用辅助圆法！4.3立体的截交线一、截交线概述二、平面与平面立体相交三、平面与曲面立体相交

立体被平面截切，截切的平面称截平面，截平面与立体表面的交线称截交线。截交线具有两个基本性质：封闭性和公有性。

依据立体表面性质不同，立体的截交线可分为：平面立体截交线和曲面立体截交线。一、截交线概述

平面截切平面立体，在平面立体表面留有的交线，称为平面立体的截交线。2、平面体截交线的形状是由直线段围成的平面多边形。（封闭）㈠平面体截交线的性质：1、平面体截交线是截平面与平面立体表面的公有线。3、平面多边形的顶点是平面立体棱线与截平面的交点，边是截平面与平面立体各表面的交线。二、平面与平面立体相交P㈡平面立体截交线的求法1、线面交点法2、面面交线法

将平面立体上参与相交的各条棱线与截平面的交点求出，然后将同一棱面上的两交点依次连接起来，即为所求的截交线。

将平面立体上参与相交的各棱面与截平面的交线求出，这些交线围成的平面就是截交线。1234SABCD㈢平面立体求截交线的作图步骤：2、空间分析4、画出截交线的投影

分析截平面与立体的相对位置，确定截交线的形状。

3、投影分析

分析截平面、立体表面与投影面的相对位置，确定截交线的投影特性。

运用线面交点法或面面交线法，求出截交线的投影。5、整理立体的棱线投影1、补全原始三面投影【例题1】完成五棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。1、空间分析2、投影分析3、投影作图4、整理图线——截交线为平面五边形

截平面为正垂面，截交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上；水平投影和侧面投影可以通过求出五边形的顶点获得（类似形）。1′2′3′4′5′513421〞2〞3〞4〞5〞【例题2】完成棱柱体被截切后的水平投影和侧面投影。5″4″3″2″1″12453676″7″1′2′3′4′5′6′7′1、空间分析：截交线为平面几边形？

——平面七边形2、投影分析：

截交线的正面投影？

——落在截平面的积聚性投影上；截交线的水平投影？——其中六条边落在六棱柱棱面的积聚性投影上，另一条边为截平面与棱柱顶面相交的一条正垂线。3、投影作图：4、整理图线：【例题3】求正四棱锥被截切后的水平和侧面投影。1、空间分析立体表面交线的形状？

5边形、4边形、5边形2、投影分析

截交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上；1′2′10′3′9′4′8′5′7′6′1210391″2″10″9″3″8″4″847″5″6″675

水平截平面截切的交线平行于四棱锥相应底边；

侧平截平面截切的交线平行于四棱锥前后棱线。3、投影作图4、整理图线【例题4】完成四棱台上部开槽后的水平投影和侧面投影空间分析

水平截平面与四棱台四个棱面相交，交于四条边；两个侧平截平面均与四棱台三个面相交，分别交于三条边；截平面之间有二条交线。（2个4边形、6边形）1′2′5′6′7′8′4′3′9′10′12562〞6〞1〞5〞4〞7〞3〞8〞10〞9〞3478109整理棱线投影

平面截切回转体，在回转体表面留有的交线，称为回转体的截交线。㈠回转体截交线性质

1、截交线是截平面与回转体表面的公有线。截交线上的点为截平面与回转体表面的公有点。

2、截交线的形状通常为平面曲线，特殊情况下可含有直线段。截交线的形状取决于回转体表面性质和截平面与回转体的相对位置。二、平面与回转立体相交㈡回转体截交线的求解方法与步骤2、空间分析

分析回转体的几何形状，以及截平面与回转体轴线的相对位置，确定截交线的形状。3、投影分析

分析截平面、回转体表面与投影面的相对位置，确定截交线的投影特性。4、投影作图

若截交线为非圆曲线或非直线段时，运用回转体表面取点取线方法，先作出截交线上的特殊点，在需要的地方补充一般点，然后用光滑曲线连接各点。5、整理回转体轮廓线

检查回转体被截切后的轮廓素线。1、补全三视图特殊点：（2）截交线的积聚投影与轴线的交点。（1）截交线的积聚投影与粗实线的交点。（3）如果是椭圆，应找出椭圆长、短轴的端点。

依据截平面与圆柱体轴线的相对位置不同，截交线的形状有以下三种：圆矩形椭圆1、圆柱体的截交线圆柱体截交线为椭圆的投影特性：1、当

＜45°截交线椭圆的长轴投影后，仍为投影椭圆的长轴；

＜45°

＞45°

＝45°2、当

＞45°截交线椭圆的长轴投影后，成为投影椭圆的短轴；3、当

＝45°截交线椭圆的长轴投影后，与短轴相等，椭圆的投影成为圆。【例题1】作出圆柱体被截切后的水平投影。c′d′d〞c〞a〞b〞ab1、空间分析

分析截平面与圆柱体轴线的相对位置，确定截交线的形状——椭圆。2、投影分析

截交线的正面投影和侧面投影分别落在截平面和圆柱面的积聚性投影上，要求的是截交线水平投影。3、投影作图4、整理轮廓线a′b′dc【例题2】完成圆柱体被截切后的水平投影和侧面投影。1、空间分析分析截平面与立体的相对位置——水平面截切，截交线为矩形；——侧平面截切为圆弧。2、投影分析

分析截平面与投影面的相对位置。1′(3′)2′(4′)3、投影作图（求水平投影）4、整理轮廓素线——截交线的正面投影落在水平截平面和侧平截平面的积聚性投影上；——截交线的侧面投影落在圆柱面和水平截平面的积聚性投影上；要求的是水平投影。1〞(2〞)3〞(4〞)12341′(3′)2′(4′)1〞(2〞)3〞(4〞)【例题3】完成圆柱体截切后的侧面投影。【例题4】完成圆柱体截切后的侧面投影。

依据截平面与圆锥体轴线的相对位置不同，截交线的形状有以下五种：2、圆锥体的截交线【例题1】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。1、空间与投影分析

截交线为椭圆，截交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上，要作出椭圆的水平投影和侧面投影。2、投影作图

运用锥面取点方法作出椭圆长短轴端点、特殊点、一般点，用曲线光滑连接各点。3、整理轮廓线【例题2】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。1、空间与投影分析

截交线形状为抛物线。抛物线的正面投影落在截平面的积聚性投影上，求作抛物线的水平投影和侧面投影。2、投影作图

运用锥面取点方法作出抛物线顶点、底端点、特殊点和一般点，用曲线光滑连接各点。3、整理轮廓线【例题3】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。1、空间与投影分析

截交线为圆弧和两根直线段，两截平面间有一条交线。截交线的正面投影落在截平面的正面积聚性投影上，求作截交线的水平投影和侧面投影。2、投影作图

截交线圆弧的水平投影反映圆弧的实形。3、整理轮廓线【例题4】完成圆锥截穿孔后的水平投影和侧面投影。1、空间与投影分析

截交线为圆弧、椭圆弧和直线段组成的空间曲线，三条截平面间的交线。截交线的正面投影落在截平面的正面积聚性投影上。2、投影作图

分别求解各个截平面的截交线，截交线上的点可运用锥面取点方法获得。3、整理轮廓线浏览三维动画

平面截切圆球，其截交线的形状为圆。当截平面平行于投影面时，则截交线圆的投影反映实形；当截平面垂直于投影面时，则截交线圆的投影为直线段；当截平面倾斜于投影面时，则截交线圆的投影为椭圆。3、圆球的截交线【例题1】完成圆球截切后的水平投影和侧面投影。【例题2】完成半球被截切后的水平投影和侧面投影。

组合回转体通常由多个基本回转体组合形成，求解这类形体截交线时，应首先分析组合回转体是由哪些基本回转体组成，以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。4、组合回转体的截交线439(8”)ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩ1’(10’)2’(9’)3’(7’)(8’)16’5’4’102687510”1”2”3”7”5”6”9”(4”)【例3】完成铣床顶针的三面投影图。作图步骤①作完整立体的侧面投影和水平投影；②分段求出截交线上的点并光滑连线；③加深轮廓线，注意判断可见性，擦去多余线条。【例4】完成连杆头的三面投影图。11’2’3’2”3”作图步骤①作完整立体的正面投影；③求出圆台截交线上的点并连线；②求出圆柱及圆球截交线；④加深截交线及轮廓线，注意判断可见性。【例题1】完成组合回转体截切后的侧面投影。空间与投影分析

组合回转体是由同轴半球、圆柱体和圆台组合而成。截平面为侧平面，组合回转体截交线由半园、直线段和双曲线组成，其正面投影落在截平面的正面积聚性投影上，【例题2】完成组合回转体截切后的正面投影。【例题6】完成圆柱体穿三棱柱孔后的侧面投影。【例题3】完成圆球穿孔后的水平投影和侧面投影。3.5

相贯线

两立体表面相交时形成的交线，称为相贯线。根据立体的几何性质不同可分为：两平面立体相交；平面立体与曲面立体相交以及两曲面立体相交。在实际中，常见的是两曲面立体相交时求相贯线的问题。这里着重讨论圆柱、圆锥、圆球等回转体相交时相贯线的性质及作图方法。相贯线实例（1）相贯线的性质（2）相贯线的画法相贯线是两回转体表面的共有线，相贯线上的点是两回转体表面的共有点。一般情况下，相贯线是封闭的空间曲线，在特殊情况下是平面曲线或直线。求相贯线的实质，就是求两回转体表面上一系列共有点。先求特殊位上的点，然后求一般位置上的点，最后按顺序连接，可见的线段画粗实线，不可见的线段画虚线。3.5

相贯线3.5

相贯线3.5.1利用投影的积聚性求相贯线3.5.2利用辅助平面法求相贯线2.5.3相贯线的简化画法2.5.4相贯线的特殊情况2.5.5相贯线的尺寸注法2、相贯线的作图步骤：1、根据两立体表面的积聚性，找出相贯线的积聚投影（一面或两面）。2、找出相贯线上的特殊点：（1）与粗实线的交点。（2）与轴线的交点。3、求出特殊点的投影：运用立体表面求点的方法求出特殊点的投影。4、适当补充一般点。5、用光滑的曲线连接起来，可见的画粗实线，不可见的画虚线，并整理曲面体的轮廓素线。3.5.1

利用投影的积聚性求相贯线【例3-11】求正交两圆柱的相贯线。当两圆柱轴线正交时，相贯线的两面投影具有积聚性，此时可按表面取点的方法作出共有点的第三