材料-06弯曲变形

第六章弯曲变形材料力学§6–1概述§6–2梁的挠曲线近似微分方程及其积分§6–3按叠加原理求梁的挠度与转角§6–4梁的刚度校核第六章弯曲变形§6–5

梁内的弯曲应变能§6–6简单超静定梁的求解方法§6–7提高梁弯曲刚度的措施§6－１概述弯曲变形研究范围：等直梁在平面弯曲时位移的计算。研究目的：①对梁作刚度校核；②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w(x)表示。符号：与y轴同向为正，反之为负。[w(x)]

2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用

表示，逆时针转动为正，反之为负。

二、挠曲线：变形后，梁的轴线变为纵向对称面内的一条光滑连续的曲线，称为挠曲线。其方程：

w=w(x)挠曲线方程三、转角与挠曲线的关系：弯曲变形一、度量梁变形的两个基本位移量FxwCqC1y小变形q

§6-2

梁的挠曲线近似微分方程及其积分一、挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程EIxMxw)()(=¢¢

弯曲变形小变形yxM>0yxM<0对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：二、积分法求挠曲线方程（弹性曲线）1.微分方程的积分弯曲变形

支座边界条件：

连续条件：

光滑条件：弯曲变形FABCFD2.待定系数的确定（边界条件及光滑连续条件）讨论：①适用于小变形情况下、线弹性材料、平面弯曲。②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。③积分常数由挠曲线变形的位移条件确定。支座边界条件连续条件光滑条件④优点：使用范围广，直接求出挠曲线的精确解；基本方法。缺点：计算较繁。弯曲变形例1求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。

建立坐标系并写出弯矩方程

写出微分方程的积分并积分

应用位移边界条件求积分常数弯曲变形解：FLxyx

写出弹性曲线方程并画出曲线

最大挠度及最大转角弯曲变形xyFL解：

建立坐标系并写出弯矩方程

写出微分方程的积分并积分弯曲变形xyFLa例2求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。

应用位移边界条件求积分常数弯曲变形FLaxy

写出弹性曲线方程并画出曲线

最大挠度及最大转角弯曲变形FLaxy弯曲变形例3用积分法求图示梁（刚度为EI）的wA

、

B、

A及最大挠度。解：求支反力，列弯矩方程：建立微分方程并积分：用边界条件确定积分常数：Cl/2l/2ABMeFAxy弯曲变形例3用积分法求下列各梁（刚度为EI）的wA

、

B、

A及最大挠度。Cl/2l/2ABMeFAxy列挠度方程和转角方程，求指定截面的挠度和转角：[例4]用积分法求梁（刚度为EI）的wA和

B。解：求支反力，列弯矩方程：建立微分方程并积分：FBClaABF弯曲变形xy[例4]用积分法求梁（刚度为EI）的wA和

B。弯曲变形用边界条件确定积分常数：FBClaABFxy列挠度方程和转角方程，求指定截面的挠度和转角：弯曲变形FBClaABFxy［例5］试画出下列梁的挠曲线大致形状，并写出边界条件。（a）CaaABmDa（b）CaaABq（c）C3aaABqD（d）CaaABmDam弯曲变形[例5]试画出下列梁的挠曲线大致形状，并写出边界条件。解：作弯矩图：边界条件：（a）CaaABmDam/2m/2解：作弯矩图：边界条件：（b）CaaABqqa2/49qa2/32解：作弯矩图：边界条件：（c）C3aaABqDqa2/28qa2/9解：作弯矩图：边界条件：（d）CaaABmDamm§6-3按叠加原理求梁的挠度与转角一、载荷叠加（直接叠加法）：

多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。弯曲变形CL/2L/2BF1F2F3Fn弯曲变形Cl/2l/2ABMeCl/2l/2ABFCl/2l/2ABqCl-bbABFP188表6－1弯曲变形qlABFlABlABMe例1按叠加原理求A截面转角和C截面挠度。解、

载荷分解如图

由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。弯曲变形qqFF=+AAABBBCaa表1弯曲变形qqFF=+AAABBB

Caa

叠加例2按叠加原理求C截面挠度。解：

载荷无限分解如图

由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。

叠加弯曲变形q00.5L0.5LxyC表1xdx例3用叠加法求梁（刚度为EI）的wB和

B。解：Cl/2l/2ABF弯曲变形2Cl/2l/2ABFqCl/2l/2ABq

BqwBq例4用叠加法求梁（刚度为EI）的wB

和

B。解：弯曲变形Cl/2l/2ABqCl/2l/2ABqCl/2l/2ABq

B2wB22弯曲变形qCABl/2l/2例5用叠加法求梁（刚度为EI）的wC。qCABl/2l/2qCABl/2l/2qwC1wC2wC解：1例6用叠加法求梁（刚度为EI）的wA和

B。解：将载荷分解：Cl/2l/2ABFLFCl/2l/2ABFCl/2l/2ABFl=+弯曲变形表2例6用叠加法求梁（刚度为EI）的wA和

B。解：将载荷分解：Cl/2l/2ABFLFCl/2l/2ABF=Cl/2l/2ABFl+弯曲变形表2Cl/2l/2ABFFl/2=+弯曲变形FL1L2ABCBCFL2w1w2等价等价xywFL1L2ABC刚化AC段FL1L2ABC刚化BC段FL1L2ABCMxyxy二、结构形式叠加（逐段刚化法）：例7用叠加法求梁（刚度为EI）的wA和

B。解：qCaABqaaaCaABqaaaqCaABaa=+弯曲变形表1表2wA1

B1例7用叠加法求梁（刚度为EI）的wA和

B。ACaBaaqCaABaa+=弯曲变形表1表2qa2/2qawA2

B2wA3qAB例7用叠加法求梁（刚度为EI）的wA和

B。qCaABqaaa+弯曲变形表1表2CaABqaaa=wA1

B1ACaBaa+qa2/2wA2

B2wA3qABqa例8已知：梁的刚度为EI，欲使wD＝0，求：F与q的关系及wC。解：F弯曲变形CaABaaDCFqCaABaaDqCaABaaDFaF例8已知：梁的刚度为EI，欲使wD＝0，求：F与q的关系及wC。弯曲变形FCaABaaDCFqCaABaaDqCaABaaDFaF§6-4梁的刚度校核一、梁的刚度条件其中[

]称为许用转角；[w]称为许用挠度。通常依此条件进行如下三种刚度计算：

、校核刚度：

、设计截面尺寸；

、确定许可载荷。弯曲变形L=400mmF2=2kNACa=100mm200mmDF1=1kNB例9

一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C截面的[w]=110-5m,B截面的[

]=0.001rad,试核此杆的刚度。=++=弯曲变形F1=1kNABDCF2BCDAF2=2kNBCDAF2BCaF2BCDAMF2BCa=++图1图2图3解：

结构变换，查表求简单

载荷变形。弯曲变形L=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNABDCF2BCDAMxy表1表2F2BCa=++图1图2图3弯曲变形L=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNABDCF2BCDAMxy

叠加求复杂载荷下的变形

校核刚度弯曲变形[例10]已知：F=20KN，E=200GPa，规定A处的许可转角为：[

]=0.50。试确定轴的直径。解：用逐段刚化法：（设轴的直径为d）CABF20001000CABF20001000mF=+弯曲变形表1dxxFSFS+dFSMM+dM弯曲应变能的计算：§6–5

梁的弯曲应变能

弯曲变形应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去dqM(x)F1MxyF2dxdqr例1用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能应用对称性，得：思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？弯曲变形FaaqxyC§6-6简单超静定梁的求解方法处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。解法：

建立静定基相当系统确定超静定次数，用反力代替多余约束得到原结构的静定基相当系统（基本结构）。=弯曲变形q0LABLq0MABAq0LFBABxy

几何方程——变形协调方程+弯曲变形q0LFBAB=FBABq0AB

物理方程——变形与力的关系

补充方程

求解其它问题（反力、应力、

变形等）表2弯曲变形q0LFBAB

求解其它问题（反力、应力、变形等）MAFAFSM由几何方程（变形协调方程）和物理方程（变形与力的关系）建立补充方程。弯曲变形

求多余约束反力，必要时需建立平衡方程。

求解其它问题（反力、应力、变形及强度与刚度计算。）解超静定梁的方法：

建立静定基相当系统：确定超静定次数，用反力代替多余约束，得到静定基相当系统（基本结构）。

几何方程——变形协调方程：解：

建立静定基相当系统=例1结构如图，求B点反力。LBC弯曲变形xyq0LABCq0LFBAB=FBAB+q0AB=LBC弯曲变形xfq0LABCFBAB+q0AB

物理方程——变形与力的关系

补充方程反力与EI、EA有关表2[例2]已知：梁AB、CD长度均为L，抗弯刚度均为EI，求：B点的挠度。解：此结构为一次超静定，取静定基相当系统如图所示：OL/2L/2ABPFODCL/2L/2F'利用变形协调条件建立补充方程：弯曲变形表1表2利用叠加法求B点的挠度：弯曲变形OL/2L/2ABPFODCL/2L/2F'[例3]已知：梁AB在自由端受集中力P、DF为加固梁，两梁在C点可视为简支支承，抗弯刚度均为EI，求：（1）C处反力F，（2）梁AB的最大弯矩和B点的挠度比无加固时减少