旋度散度电场强度

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朱英伟

学习内容回顾0引言1.1电磁场物理模型的构成1.2矢量分析1.3场论基础科学内涵和应用领域发展历程与发展简史考察标量场等值面的变化率。设等值面方程为

(x,y,z)=C。标量场梯度的图示标量场的特性分析梯度是描述标量场各点最大空间变化率的矢量。方向导数是描述标量场各点空间变化率的数值。电磁场是矢量场，矢量场的性质由其散度和旋度确定.——通量源强度的量度——旋涡源强度的量度矢量场的特性分析？散度是通量（矢量面积分）的体密度，旋度是环量（矢量线积分）的面密度。考察环向矢量F的环量密度，取其围定的微小面积为

S，令en为S的法向单位矢量，它与环向矢量l构成右螺旋关系，则定义旋度为：

1.矢量场的旋度是一个矢量；2.其方向和环量积分路径循行的方向满足右螺旋定则，且为获得最大环量位置的面积元的法线方向en；3.其大小表征了每单位面积上矢量场的最大环量。2.矢量场的旋度旋度描述了旋涡源的强度，也表明了场的形状。旋度表达式旋度的物理意义矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数;点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值;在矢量场中，若

A=J

0,称之为旋度场(或涡旋场)，J称为旋度源(或涡旋源)；点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向;若矢量场处处

A=0，称之为无旋场。无旋场：无旋场是旋度恒为零的场，即存在矢量恒等式可以看出，无旋场可以用另一个标量的梯度表达，即一般称标量

是矢量场F的标量位。静电场的电场强度E旋度处处为零，静电场是一个无旋场，因此，电场强度E可以表示为标量电位的梯度，即1.通量通量：矢量

A

沿某一有向曲面S

的面积分称为矢量

A通过该有向曲面

S的通量，以标量

表示，即

1.3.3矢量场的散度一般取曲面的外侧为正侧，即由内侧指向外侧为法向正方向。闭合面通量：

>0

(有正源)

<0

(有负源)

=0(无源)如果S为闭合曲面，一般取其外表面法线向外为正方向。表示穿出闭合面S的净通量。例：如果曲面s是闭合的，并规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：闭合面通量物理意义：表示穿入穿出曲面矢量通量的代数和。

在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量；在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。

考察矢量F对闭合通量的体密度。作包围P点的一相当小的封闭曲面S如图示，则当

V→0时，即V收缩为P点时，定义通量

对于体积

V的变化率的极限值为矢量F在P点的散度，记作2.矢量场的散度1.散度是一个标量；2.它可以理解为通过包围单位体积闭合面的通量，即通量的体密度；3.它可以判断通量源(有无源、正负源)。散度描述了发散源的强度，也表明了场的形状。散度的计算：不失一般性，令包围P点的微体积

V为一直平行六面体散度的物理意义在矢量场中，若

•

A=0，称之为有源场，

称为(通量)源密度；若矢量场中处处

•A=0

，称之为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；散度代表矢量场的通量源的分布特性。

(无源）

(正源)

(负源)无散场：无散场是散度恒为零的场，即

由矢量恒等式可以看出，任意矢量场A的旋度的散度恒等于零。

无散场可以用另一个矢量的旋度表达，即一般称A是矢量场F的矢量位。恒定磁场的磁感应强度B的散度处处为零，恒定磁场是一个无散场，因此，磁感应强度B可以表示矢量磁位A的旋度，即。方向导数梯度通量散度环量环量面密度旋度取体密度取最大值取最大值梯度、散度、旋度定义：判断下列矢量场的散度和旋度是否为零？上式称为散度定理,也称为高斯公式。1.3.4高斯定理既然矢量的散度代表的是其通量的体密度,因此直观地可知,矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量,即从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域

V

中的场和包围区域

V

的闭合面

S上的场之间的关系。如果已知区域

V中的场，根据高斯定理即可求出边界

S上的场，反之亦然。散度定理的物理意义：因为旋度代表环量的面密度,因此矢量场在闭曲线l上的环量就等于l所包围的曲面S上的旋度之总和,即此式称为斯托克斯定理或斯托克斯公式。1.3.5斯托克斯定理

同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯定理建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯定理建立了区域

S中的场和包围区域

S

的闭合曲线

l上的场之间的关系。因此，如果已知区域

S中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界

l上的场，反之亦然。1.3.6唯一性定理

+亥姆霍兹定理在空间有限区域V内的某一矢量场F，由它的散度、旋度和边界条件唯一地确定，且可被表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和，即

式中研究一个矢量场时一定要从散度和旋度两个方面进行。既要导出矢量场散度应满足的关系，又要导出矢量场旋度应满足的关系，这种关系决定了场的基本性质,故又称为微分形式的基本方程。也可用矢量沿闭合面的通量和矢量沿闭合路径的环流去研究，从而得到积分形式的基本方程。亥姆霍兹定理定理的意义电磁场基本规律麦克斯韦方程组积分形式麦克斯韦方程组微分形式全电流定律电磁感应定律磁通连续性原理高斯定律辅助方程：1.4麦克斯韦方程组电磁能流方程：第一章静电场

基本实验定律（库仑定律）基本物理量（电场强度）EE的旋度E的散度基本方程微分方程边值问题唯一性定理分界面衔接条件电位（

）边界条件数值法有限差分法解析法直接积分法分离变量法镜像法，电轴法静电参数(电容及部分电容)静电能量与力图1.0静电场知识结构图§1-1电场强度一预备知识

二电场强度矢量——从力的强弱侧面反映电场强弱

1.基本电荷

2.电荷守恒定律

3.研究静电荷的物理模型——点电荷模型

4.点电荷的静电作用力——库仑实验定律1.电场强度的定义

2.电场强度的计算一预备知识

1.基本电荷基本电荷：物体携带电荷电量的最小单位(e=1.602×10-19C)。

说明：任何带电体携带的电量都是基本电荷的整数倍。2.电荷守恒定律电荷守恒定律：当物体携带电荷发生转移时，其电荷总量守恒

说明：理论探明，电荷守恒是规范对称的必然要求3.研究静电荷的物理模型——点电荷模型当带电体自身线度和与其相互作用的带电体之间的距离相比可以忽略不计时，可将该带电体当作没有体积、但集中了所有电量的数学点，该数学点称为点电荷。自然界中只存在两种电荷：正电荷和负电荷。q1q2rF4.点电荷的静电作用力——库仑实验定律

真空中,点电荷q1对点电荷q2的作用力为

说明：A.适用条件：静电荷的点电荷模型。B.矢量性、独立性——大小、方向、运算法则、叠加原理。同号电荷相斥,异号电荷相吸。电力作用相互性：电力相互作用er

是从点电荷q1指向点电荷q2的单位矢量。r则表示两个点电荷之间的距离。

电力叠加原理实验证明：多个点电荷存在时，任意一个点电荷受的静电力等于其它各个点电荷对它的作用力的矢量和。q1q0q2q3qn库仑定律电力叠加原理是静止电荷相互作用的基本实验定律。有限大小的带电体间相互作用力的计算？在带电体上取电荷元点电荷点电荷系库仑定律积分电场强度的定义：二、电场强度矢量——从力的强弱侧面反映电场强弱

1.电场强度的定义

电场强度（ElectricFieldIntensity)E

表示单位正电荷在电场中所受到的力F,它是空间坐标的矢量函数,定义式给出了E的大小、方向与单位。a.任何电荷都在其周围空间产生电场。b.电荷之间的相互作用力是通过电场来进行的。电场电荷q1电荷

q2F12F21

设源电荷是由n个点电荷q1,q2,…qn构成,在该电场中试验电荷qo受的力为2.电场强度的叠加原理上式表示:在n个点电荷产生的电场中某点的电场强度等于每个点电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和,这一结果称为场强叠加原理。

式中，Ei

是电荷qi

单独存在时产生的电场强度。E的大小：E的方向：若q>0,电场方向由点电荷沿径向指向四周；若q<0,则反向。即点电荷的电场具有球对称性。3.电场强度的计算！0.位于原点的点电荷q

在P

点产生的电场V/ma)单个点电荷产生的电场强度叠加积分法计算电场强度E空间任意点电荷产生的电场其中，

b)n个点电荷产生的电场强度

(矢量叠加)c)连续分布电荷产生的电场强度由n个点电荷q1,q2,…qn

产生的电场，可利用点电荷场强公式，直接由叠加原理，求得对电荷连续分布的带电体,可划分为无限多个电荷元dq

,用点电荷的场强公式积分。电荷元电场

例1有一均匀带电直线，单位长度的电量为

(电荷线密度)，求离直线的距离为a的P点处的场强。

解:此类题可按下列步骤求解:(1)建立适当的坐标系，如图所示。

(2)将直线分为长dx

的无限多个电荷元dq

=

dx

(视为点电荷)，并写出一个有代表性(位置用变量x表示)的电荷元在P点产生的电场：由于不同位置的电荷元在P点产生的场强dE

方向不同,故应将dE

向x轴和y轴方向投影,有(3)分析问题的对称性。dExdEyoPaxy

xdq=

dx

dxrdEx=dE

cos

(4)统一积分变量,定积分限,完成积分,得到所求场强分量式x=-actg

dEy=dEsin

1

2dExdEyoPaxy

xdqdxr转换变量，方便积分运算dE

沿x和y方向的分量为：

(1)对无限长带电直线,说明:

(2)对平面、柱面的场强求解，可利用带电直线公式进行积分。

1=0和

2=

；代入得

1

2dExdEyoPaxy

xdqdxr例2.一无限大带电平面，面电荷密度

，求其电场分布。yx.P解：平面可看成无数条宽为dy

的细线组成每个dy

在P点产生的场为：由对称性：方向垂直于平面r

(匀强电场)E=0E=0

记住无限大平面电场！+

-

正负电极板间的电场两正电极板间的电场解：由对称性可知，P点场强只有x分量