2022年云南省高考文科数学第三次模拟试卷及答案解析

2022年云南省高考文科数学第三次模拟试卷

本试卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座

位号和考生号填写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码

粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项

的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不

能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；

不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是符合题目要求的。

1.（5分）若全集U和集合A,8的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（）

A.4n(CuB)B.Cu(AUB)C.CU(4CB)D.(QM)CB

2.(5分)已知向量Z3满足1=(3,0),b=(0,4),则向一&=()

A.1B.3C.5D.7

3.(5分)已知复数z满足z・2-2z+2i=0,贝I]z=()

A.\+iB.-1+zC.1-JD.-1-z

/y2

4.(5分)若双曲线"一J=1(a>0,b>0)的一条渐近线为)=倔;，则双曲线的离心

a2b2

率为()

A.V3B.2C.V5D.V6

5.（5分）如图是某几何体的三视图，每个小正方形的边长均为1,则该几何体的体积为（）

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54

A.-7TB.nC.~TTD.2TT

63

6.（5分）2021年10月160,航天员翟志刚、王亚平、叶光富进驻天和核心舱，中国空间

站开启有人长期驻留时代，而中国征服太空的关健是火箭技术，在理想情况下，火箭在

发动机工作期间获得速度增量的公式言，其中△口为火箭的速度增量，吨为喷

流相对于火箭的速度，，如和川分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量.在未来，假

设人类设计的某火箭小达到5公里/秒，她从100提高到200,则速度增量增加的百

分比约为（）

（参考数据：/〃2比0.7,/〃5F.6）

A.13%B.15%C.17%D.19%

7.（5分）函数y=sin（2x）・log2|x|的图象大致是（）

8.（5分）斐波那契数列他那满足01=42=1，an=an.\+an.2（n>3）,其每一项称为“斐波

那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面

222

积关系，推出归一+…+9照一是斐波那契数列的第（）项

a2021

——

n=ln­2n—3n=4n=5

A.2020B.2021C.2022D.2023

9.（5分）2021年7月24日，中共中央办公厅国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教

第2页共28页

育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，要求学校做好课后服务，结合学生的兴趣

爱好，开设体育、美术、音乐、书法等特色课程.某初级中学在课后延时一小时开设相

关课程，为了解学生选课情况，在该校全体学生中随机抽取50名学生进行问卷调查，得

到如下数据：(附：计算得到k2的观测值为上々8.333.)

喜欢音乐不喜欢音

乐

喜欢体育2010

不喜欢体515

育

P（非》0.050.0250.0100.0050.001

ko）

ko3.8415.0246.6357.87910.828

根据以上数据，对该校学生情况判断不正确的是()

A.估计该校既喜欢体育又喜欢音乐的学生约占;

B.从这30名喜欢体育的学生中采用随机数表法抽取6人做访谈，则他们每个个体被抽

1

到的概率为F

C.从不喜欢体育的20名学生中任选4人做访谈，则事件“至少有2人喜欢音乐”与“至

多有1人不喜欢音乐”为对立事件

D.在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜欢体育”与“喜欢音乐”有关系

25

251(x,

10.(5分)己知(―),b=1.025°,c=|oi,则()

24

A.a〈b〈cB.b〈c<aC.c<a<bD.b〈a〈c

11.(5分)设矩形ABC。(AB>BC)的周长为20,把△ABC沿AC向△ADC折叠，A5折

叠后交DC于点P,则线段AP的长度最小值为()

A.10-4aB.10V5-18C.10V3-13D.10V2-10

12.(5分)已知定义在R上的函数f(x),f(x)为其导函数，满足①f(x)=/(-x)

-2x,②当x50时，f(x)+2x+120.若不等式f(2x+l)+3，+3x>/(x+l)有实数解，

则其解集为()

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2

C.(0,+8)D.(-8,--)U(0,+8)

二、填空题，本题共4小题，每小题5分。共20分。

x-y—3W0

13.(5分)已知实数x,)，满足约束条件卜+2y—6M0,则z=3x+y的最大值为.

x-2>0

14.(5分)设｛斯｝是公差不为零的等差数列，其前〃项和为S?,且〃i=l,a\,。2，。5成等

比数列，则S9=.

15.(5分)已知点A(2,1),B(-2,1),直线AM,3M相交于点M,且直线AM的斜

率与直线8M的斜率之差为1,过M作圆C：?+(y-4)2=1的切线A/p,尸为切点，

则|MP|的最小值为.

16.(5分)如图，在正方体A8CQ-4B1C1Q1中，点E在8。上，点F在8C上，且BE

=CF.则下列四个命题中所有真命题的序号是.

①当点E是8。中点时，直线EF〃平面。CCiOi；

②当OE=2EB时，EFA.BD-,

③直线EF分别与直线BD,BiC所成的角相等;

7T

④直线EF与平面ABCD所成的角最大为

6

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、英明过程或演算步骤。

17.(12分)已知a、6、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，且KasiziC+ccosA=V3c,

A为锐角.

(1)求角4的大小；

(2)在①AABC的面积为2V5,②/•品1=12,③|豆+品|=|泉:|这三个条件中任

选一个补充在下面的横线上.

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问题：若4=2,b>c,___»求b、c的值.

18.（12分）某省在新高老改革中，拟采取“3+1+2”的考试模式，其中“2”是指考生从政

治、化学、生物、地理中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：考

生原始成绩（满分100分）从高到低划分为A,B,C,D,£五个等级，确定各等级人数

所占比例分别为15%,30%,35%,15%,5%,等级考试科目成绩计入考生总成绩时，

将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到[86,100],[71,85],

[56,70],[41,55],[26,40]五个分数区间，得到考生的等级分，等级分满分为100分.具

体如表：

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等级ABCDE

比例15%30%35%15%5%

赋分区间[86,100][71,85][56,70][41,55][26,40]

转换公式：MM,其中看，也分别表示某个等级所对应原始区间的下限和上限，

Ti,乃分别表示相应等级所对应原始区间的下限和上限，y表示某等级内某考生的原始

分，T表示相应等级内该考生的等级分(需四舍五入取整).

例如某学生的政治考试原始成绩为60分，成绩等级为C级,原始分区间为［50,65］；等

65-6070-T”,

级分区间为［56,70］,设该学生的等级分为7,根据公式得:------=------,所以a

60-50T-56

65.

己知某学校高二年级学生有200人选了政治，以政治期末考试成绩为原始分参照上述等

级赋分规则转换本年级的政治等级分，其中所有获得A等级的学生原始分区间［82,94］,

(2)从政治的等级分不小于97分的学生中任取2名，求这2名同学的等级分都不小于

98分的概率.

19.(12分)己知三棱锥。-ABC,ZVIBC与△ABO都是等边三角形，AB=2.

(1)若CO=H，求证：平面A8C_L平面48£＞；

(2)若求三棱锥D-ABC的体积.

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D

20.(12分)已知函数f(x)=2+工-2(e是自然对数的底).

(1)求/G)的单调区间；

(2)若/(%])=/(X2)，求证：Xl+X220.

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xy

21.（12分）已知椭圆C：=+—=1与直线/（不平行于坐标轴）相切于点M（xo-和）,

164

过点M且与/垂直的直线分别交x轴、y轴于A（团，0）,B（0,〃）两点.

（1）证明：直线4-=1与椭圆。相切；

（2）当点M运动时，点P（m,几）随之运动，求点尸的轨迹方程.

第8页共28页

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B

铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.（10分）在平面直角坐标系xOy中，以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲

线C的极坐标方程为p=2sin0,直线/的极坐标方程为psin（。一力=2.

第9页共28页

(1)求C与/的直角坐标方程；

(2)设点M是曲线C上的一个动点，点P满足后点P的轨迹记为G，求

G与/的交点极坐标(p,。)，其中2n),p>0.

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知函数f(x)=|x+l|-|x-2|>xGR.

(1)画出/(x)的图象，若g(x)=x+机与y=f(x)的图象有三个交点，求实数机的

取值范围；

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12

（2）已知函数八X）的最大值为〃，正头数。，4C满足/+淑=%求证:a+2b+3c

23.

第11页共28页

2022年云南省高考文科数学第三次模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是符合题目要求的。

1.(5分)若全集U和集合4B的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为()

A.AH(Cu8)B.Cu(AUB)C.CU(AAB)D.(CUA)CB

解：根据集合的交、并、补集运算定义与论〃〃图结合可知阴影部分用AC(CuB)表示.

故选：A.

2.(5分)已知向量力不满足1=(3,0),b=(0,4),则万一百=()

A.1B.3C.5D.7

解：向量Z1满足：=(3,0),b=(0,4),

・,.Q—b=(3,-4),

A\a-b\=J32+(-4)2=5.

故选：C.

3.(5分)己知复数z满足zD-2z+2i=0,则z=()

A.1+zB.-1+zC.1-zD.-1-/

解：设z=a+/?i,a,b£R,

・・・z•，-2z+2i=0,

二(a+bi)(a-bi)-2(a+bi)+2i=0,即/+必_2"+(2-2b)i=0,

.•.暝吕彳匚；a=0,解得“=QI.

故选：A.

%2y2

4.(5分)若双曲线"一匕=1(a>0,fe>0)的一条渐近线为则双曲线的离心

a2bz

率为()

A.V3B.2C.V5D.V6

第12页共28页

X4L

解：双曲线一^—言=1（a>0,Z?>0）的渐近线方程为）=±/,

a2bza

由题意可得2=y[i,

a

贝！］c=y/a2+b2=y/a2+3a2=2a,

贝ije==2.

故选：B.

5.（5分）如图是某儿何体的三视图，每个小正方形的边长均为1,则该几何体的体积为（）

解：由三视图还原原几何体如图,

可知该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆锥，

半球的半径为1,圆锥的底面半径为1,高为2,

则该几何体的体积V=1x^7rxl3+|xnX12X2=拉

故选：C.

6.（5分）2021年10月16日，航天员翟志刚、王亚平、叶光富进驻天和核心舱，中国空间

站开启有人长期驻留时代，而中国征服太空的关健是火箭技术，在理想情况下，火箭在

发动机工作期间获得速度增量的公式△"=%》言，其中为火箭的速度增量，吨为喷

流相对于火箭的速度，，"0和m分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量.在未来，假

设人类设计的某火箭相达到5公里/秒，吨从100提高到200,则速度增量Av增加的百

分比约为（）

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(参考数据：血2比0.7,比5*1.6)

A.13%B.15%C.17%D.19%

解：当"2=100时，速度的增量为△vi=5加100,当空2=200时，速度的增量为△艺;

m1m1

5/n200=5/«100+5/n2,

~,LVO-LVA5b12Ln2ln2

所以，--------=-------=------=----------《15%・

5bli002bil02(Zn2+Zn5)

故选：B.

7.(5分)函数y=sin(2x)・log2|x|的图象大致是()

解：函数的定义域为｛MrWO｝,

/(-x)=-sin2r*log2|-x\=-sin2xlog2W=-f(x),即/(x)是奇函数，排除CD,

当0<xVl时，/(x)<0,排除C,

故选：A.

8.(5分)斐波那契数列｛斯｝满足0=42=1，〃“=即-1+Z-2(〃23),其每一项称为“斐波

那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面

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222

积关系，推出:十—+…+。2021是斐波那契数列的第（）项

a2021

——

n=ln=2n=3n=4n=5

A.2020B.2021C.2022D.2023

解：illCln+\—斯+2-则=。九+1（%1+2—%i）=^n—2^n+l—^n+l^n9

又41=42=1，

所以Q：=a2=Q3a2—Q2ai，a3=Q4a3—a3a2,…，逅021=^2022^2021—

a2021a2020f

则7202T=谟+a]+…+谈021=a2022a2021，

a]+a）+…+遂021__021_

改==^2022,

a2021a2021

故选：a

9.（5分）2021年7月24日，中共中央办公厅国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教

育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，要求学校做好课后服务，结合学生的兴趣

爱好，开设体育、美术、音乐、书法等特色课程.某初级中学在课后延时一小时开设相

关课程，为了解学生选课情况，在该校全体学生中随机抽取50名学生进行问卷调查，得

到如下数据：（附：计算得到K2的观测值为k^8.333.）

喜欢音乐不喜欢音

乐

喜欢体育2010

不喜欢体515

育

P（心0.050.0250.0100.0050.001

ko）

ko3.8415.0246.6357.87910.828

根据以上数据，对该校学生情况判断不正确的是（）

第15页共28页

A.估计该校既喜欢体育又喜欢音乐的学生约占|

B.从这30名喜欢体育的学生中采用随机数表法抽取6人做访谈，则他们每个个体被抽

1

到的概率为m

C.从不喜欢体育的20名学生中任选4人做访谈，则事件“至少有2人喜欢音乐”与“至

多有1人不喜欢音乐”为对立事件

D.在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜欢体育”与“喜欢音乐”有关系

解：对于A,在该校全体学生中随机抽取50名学生中，即喜欢体育又喜欢音乐的学生有

20人，

...估计该校既喜欢体育又喜欢音乐的学生约占*=|，故A正确：

对于B,从这30名喜欢体育的学生中采用随机数表法抽取6人做访谈,

则他们每个个体被抽到的概率为「=浣='故8正确；

对于C,从不喜欢体育的20名学生中任选4人做访谈，

则事件“至少有2人喜欢音乐”与“至多有1人不喜欢音乐”能同时发生，不为对立事

件，故C错误;

*1•干na50x（20x15-5x10）

xjr0,K--25x25x30x20*8.333>7.897,

...在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜欢体育”与“喜欢音乐”有关系，故

。正确.

故选：C.

25

10.（5分）已知〃=（一）25,6=1.0250,c=l.Ol100,则（）

24

A.B.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

25

解：\'a=（一）25,6=1.025。=（1.022）25,c=1.01100=（1.014）25,

24

—«1.041,1.022=1.0404,1.014=1.0406,

24

函数在（0,+8）上是增函数，

.'.b<c<a.

故选：B.

II.（5分）设矩形ABC。（AB>8C）的周长为20,把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折

叠后交OC于点P,则线段AP的长度最小值为（）

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A.10-4V2B.10A/5-18C.10V3-13D.1072-10

解：•.,矩形ABCO,且AABC沿AC向△ACC折叠，

：.AD=EC,NADP=NCEP=90°,NAPD=NCPE,

.".△ADP^ACEP,得AP=CP,

在直角三角形AOP中，设A8=x(cm),DP=y(cm),

.\AP=CP=x-y(cm),

又;矩形ABC。(AB>BC)的周长为20cm,.\A£)=10-x(cm),

由勾股定理，可得(10-X)2+)2=(x-y)2,

化简得产20晨10°=10聋,

"：AB>BC,：.0<\0-x<x,

解得5cxV10,即y=10—乎，5cx<10.

.".AP=x-10+—=x+—-10>2X---10=10V2-10,

A5XX

当且仅当》=:，即x=5VI时等号成立.

故选：D.

12.(5分)已知定义在R上的函数/(x),f(x)为其导函数，满足①f(x)=/(-x)

-2x,②当xNO时，f(x)+2x+l20.若不等式/(2r+l)+3?+3x>/(x+1)有实数解,

则其解集为()

22

A.(-8,--)B.(-°°,0)U(-,+8)

33

2

C.(0,+8)D,(-8,--)U(0,+8)

解：令g(x)=f(x)+x,

V/(x)=/(-x)-2x,

/./(x)+x=f(-x)+(-x),即g(-x)=g(x),

第17页共28页

・・・g(x)为R上的偶函数;

令h(x)=g(x)+X2,则h(-x)=h(x),即h(x)为R上的偶函数；

又当x20时，hr(x)=[f(x)+%]'+(x2)'=/(x)+2x+120,

：.h(x)在[0,+8)上单调递增；

又/(2r+l)+3X2+3JC>/(x+1)=/(2x+l)+(2x+1)2+2x+l>/(x+1)+(x+1)'+X+10/7

(2x+l)>h(x+1),

A|2x+l|>|x+l|=3/+2x〉0,

解得：x>0或xV-可，

故选：D.

二、填空题，本题共4小题，每小题5分。共20分。

x-y—3W0

13.(5分)己知实数x,y满足约束条件卜+2y—6S0，则z=3x+)，的最大值为13

X—20

解：由约束条件作出可行域如图，

联立｛'短31。,解得A(%1),

由z=3x+y,得y=-3x+z,由图可知，当直线y=-3x+z过A时,

直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3X4+1=13.

14.(5分)设｛“”｝是公差不为零的等差数列，其前〃项和为S”且ai=l,由，“2“5成等

比数列，则拆=81.

解：设等差数列｛“"｝的公差为d(dro),

由的=1,ai，“2，。5成等比数列，得(1+d)2=IX(l+4d),

即/-2(/=0,解得d=2.

第18页共28页

：.Sg=9%+竽（/=9*1+竽*2=81.

故答案为：81.

15.(5分)已知点A(2,1),8(-2,1),直线AM,8M相交于点且直线AM的斜

率与直线的斜率之差为1,过M作圆C：?+(y-4)2=1的切线MP,P为切点，

则|MP|的最小值为

解：设M(x,y),由题意可得：----—=1,

x-2x+2

整理得：?=4y.

曲线C的轨迹方程为/=4y(xW±2).

再设M(〃?，-n?),：圆C：7+(y-4)2=1的圆心c(0,4),

4

222

：.\MC\=m+(1m-4)2=*一m2+16,

4

\PM^=\MC^-|PC|2=-m2+15,当，“2=8,即机=±2/时，

lo

取得最小值为ii,则IMPI的最小值为ar.

故答案为：V1T.

16.(5分)如图，在正方体ABCQ-AiBiCRi中，点E在80上，点尸在BC上，且BE

=CF.则下列四个命题中所有真命题的序号是①②③.

①当点E是8。中点时，直线EF〃平面OCCOi；

②当OE=2EB时，EFLBD；

③直线EF分别与直线BO,81c所成的角相等；

7T

④直线EF与平面ABCD所成的角最大为三.

6

解：设正方体的边长为2,建立如图所示空间直角坐标系,

第19页共28页

设BE=CF=t,0<t<2V2,

①，当E是8。的中点时，F是81c的中点，

E(l,1,0),F(l,2,1),EF=(O,1,1),

平面。CCiDi的一个法向量为%=(1,0,0),n-EF=0,

由EF《平面DCC\D\,所以〃平面DCC\D\,①为真命题.

②1

-

3

44222

---2E>---以,2

333(-33(2

EF-DB=O,所以EF_LB。，所以②正确.

③，E((2^2-£)X,(2V2-t)X,0)=(2-t/2-t/0),

F(-^tf2,1)/EF=(V2t-2/t/1).

|FF|=J(岳-2)2+(孝t)2+(孝£)2=V3t2-4V2t4-4,

8(2,2,0),81(2，2,2),C(0,2,0),CBX=(2,0,2),

,//.2」2t-4+&t3J2t-4.

N

\cos{EF,DB)\=I,=----1=|f=----1，

13t2-4岳+4x2戊J3r-4V2t+4x2V2

17U>112/2t-4+-/2t1-3/2t—4.

|cos/(£E尸，CBQ|=I_----1=I,----1，

j3t2-4V2t+4x2V2J3t2—4笈t+4x2收

\cos(EF,DB)\=\cos(EF,CB^)\,所以直线E尸分别与直线BD,BiC所成的角相等.

④，平面ABCD的法向量为其=(0,0,1),

设直线EF与平面ABCD所成角为。,

T7

EF・m

sinO=

\EF\-\m\J3t2-4v2t+4

当t=2立时，sin0=3*,由于OS。4，所以。＞看，④错误.

故答案为：①②③.

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三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、英明过程或演算步骤。

17.（12分）已知“、6、c分别为△ABC三个内角A、8、C的对边，且gasinC+ccosA=V3c,

A为锐角.

（1）求角A的大小；

(2)在①AABC的面积为2百，②法•h1=12,③|扇+后|=|晶|这三个条件中任

选一个补充在下面的横线上.

问题：若a=2,b>c,___,求〃、c的值.

解：(1)/\ABC中，aastnC+ccosA=V3c,

.•♦由正弦定理得：V3sinAsinC+sinCcosA=\/3sinC,

又CG(0,TT),sinC>0,

/.V3sinA+cosA=A/3,即sin(A+5)=>,

OL

又A为锐角，

111

（2）若选①的面积为2存则产sim=/X2=2B=*=8W（1°）,

又a=2,由余弦定理得：。2=廿+°2-26CCOSA,即4=Z?2+?-2X8V3x=/»2+?-

24=即2=28(2°)；

联立(1°)(2°)及b>c,得人=4,c=2百；

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TT71_

若选②4B-AC=12,即bccosA=bccos-^=12=>Z?c=8V3,以下与选①时的解答相同;

6

选③\BA+BC\=\AC\,即y=a2+c2+2Z?ccosB,由余弦定理得廿=a2+c2-2bccosB,

所以2bccos8=-2bccosB,而bc>0,

故cosB=0,即B=*,△ABC为直角三角形，

所以方==券=4，c=bsin—=4x等=2>/3.

C

18.（12分）某省在新高老改革中，拟采取“3+1+2”的考试模式，其中“2”是指考生从政

治、化学、生物、地理中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：考

生原始成绩（满分100分）从高到低划分为A,B,C,D,E五个等级，确定各等级人数

所占比例分别为15%,30%,35%,15%,5%,等级考试科目成绩计入考生总成绩时，

将4至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到[86,100],[71,85],

[56,70],[41,55],[26,40]五个分数区间，得到考生的等级分，等级分满分为100分.具

体如表：

等级4BCDE

比例15%30%35%15%5%

赋分区间[86,100][71,85][56,70J[41,55J[26,40J

转换公式：其中匕，力分别表示某个等级所对应原始区间的下限和上限，

Ti,乃分别表示相应等级所对应原始区间的下限和上限，y表示某等级内某考生的原始

分，T表示相应等级内该考生的等级分（需四舍五入取整）.

例如某学生的政治考试原始成绩为60分，成绩等级为C级，原始分区间为[50,65]；等

级分区间为[56,70],设该学生的等级分为T,根据公式得：亭黑="，所以3

60—50/—56

65.

已知某学校高二年级学生有200人选了政治，以政治期末考试成绩为原始分参照上述等

级赋分规则转换本年级的政治等级分，其中所有获得A等级的学生原始分区间[82,94],

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其成绩统计如下表:

原始94939291908988878685848382

分

人数1112312322345

(1)已知某同学政治原始成绩为91分，求其转换后的等级分;

(2)从政治的等级分不小于97分的学生中任取2名，求这2名同学的等级分都不小于

98分的概率.

解：(1)该同学政治原始成绩为91分，在区间［82,94］上，满分区间为［86,100］,

94-91100-T

故转换后的等级分为;解得T-97分.

91-82T-86

(2)设等级分为97分对应的原始分为y,

由题意得9一4-^y=-1-0-0---9-7--解得y^9L4分，

y-8297-86

但由(1)可得政治原始成绩为91分时，对应的拭分为97,

故政治的等级分不小于97分的学生有5人，设这5人分别为A,B,C,D,E,

94—Z100—98

设等级分为98分对应的原始分为z,则——=------,解得zg92.3,

Z-8298-86

设政治原始成绩为92分时，对应的拭分为5,

94—92100—S

则------=-------,故S-97.67,由题设取S=98,

92-82S-86

即政治的等级分不小于98分的学生有3人，设这3人分别为4,B,C,

故从政治的等级分不小于97分的学生中任取2名，共有如下取法:

(A,B),(.A,C),(A,£>),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),

(D,£).

其中政治的等级分不小于98分的取法为：(A,B),(A,C),(B,C),

3

故这2名同学的等级分都不小于98分的概率为

10

19.(12分)己知三棱锥。-4BC,△ABC与△48。都是等边三角形，AB=2.

(1)若CD=V6,求证：平面ABC_L平面ABD；

(2)若AOLBC,求三棱锥。-A8C的体积.

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D

解：（1）证明：取A8中点。，连接CO,DO,

•..棱锥Q-ABC,ZVIBC与△AB。都是等边三角形，

：.COLAB,DO1.AB,

.../COO是二面角。-AB-C的平面角，

'：AB=2,：.CO=DO=V22-I2=V3,

,:CD=瓜,：.CO1+DO2=CD2,：.ZCOD=90°,

平面ABC_L平面ABD：

（2）取8c中点E,连接AE,DE,

；△ABC是等边三角形，AB=2,：.AELBC,

\'AD±BC,ADHAE=A,，BC_L平面AQE,J.BCVDE,

△BCD是等边三角形，BC=y/22-I2=V3,

过。作。凡LBC,交8c于尸，则C尸=|8C=孥，

DF=J22_（孥4=孚

二三棱锥D-ABC的体积V=|xS&ABCXDF=|X|X2XV3X^=竽.

20.(12分)已知函数7(x)=+X-2(e是自然对数的底).

(1)求/(x)的单调区间；

(2)若/(XI)=7*(X2)，求证：无1+X22。.

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解：(1)函数/(x)=2+犬-2的导数为/(%)=(，-1),

所以X6(0,+8)时，f(x)>o,/(x)单调递增；(-8,0)时，f(x)<0,

/(x)单调递减，

所以/(x)的单调增区间为(0,+8),单调减区间为(-8,0)；

(2)证明：由/(用)=/(%2).结合(1)中的函数的单调性，

不妨设X1V0VX2，则-总>0,

令g(x)=fCx)-/(-x)=«'+工-2-(^-x-2)=ex-^+2x,

g'(x)=-ex-/+2=-ex-1)2<0,

所以g(x)是R上的减函数，

所以g(xi)=f(xi)-f(-xi)2g(0)=0,f(X2)=f(xi)2f(-xi),

因为/(X)在(0,+8)上单调递增，所以尤22-无1，即为+1220.

x2y2

21.(12分)已知椭圆C—+—=1与直线/(不平行于坐标轴)相切于点M(xo,和),

164

过点M且与/垂直的直线分别交x轴、y轴于4(机，0),B(0,〃)两点.

(1)证明：直线=1与椭圆C相切；

164

(2)当点M运动时，点PGn,n)随之运动，求点P的轨迹方程.

解：(1)证明：M在椭圆C上,

所以至+比”

44

所以xo2+4)>()2=16,

所以4yo2=16-刈2,

期+缗=1

16十41俨0%+4yoy=16

由

正+且_1'lx2+4y2=16

.16+4T

所以吃=16—xox

4y2=16

16yo2y2=(16-xx)2

所以o

.x2+4y2=16

2

即《火？.4y2=(i6-x0%)

所以(16-X()2)(16-7)=(16-xox)2

整理得/-2XOX+XO2=O,

所以A=4X()2-4x/=0,有唯一解,

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