2020-2021学年北京市燕山区九年级上学期期末数学模拟试卷及答案解析

2020-2021学年北京市燕山区九年级上学期期末数学模拟试卷

一.选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1.下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（）

D.

2.某单位进行内部抽奖，共准备了100张抽奖券，设一等奖10个，二等奖20个，三等奖

30个.若每张抽奖券获奖的可能性相同，则1张抽奖券中奖的概率是（)

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.6

3.如图,已知AC是的直径，△ABC内接于。0,AB=BC,ZDBC=32Q,则N3CQ

A.113B.103°C.45°D.58

4.二次函数了=（x+1）2-2的最小值是（)

A.-2B.-1C.1D.2

ZC=90°,AB=5,AC=4,则cosB的值是()

3V74

A.-B.-C.D.

4545

6.如图，△48C中，ZA=65°,AB=6,AC=3,将△A8C沿图中的虚线剪开，剪下的阴

影三角形与原三角形不构成相似的是（)

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A.BB.B

C.&2

7.如图，太阳光线与水平线成a角，窗子高AB=小米，窗子外面上方0.2米的点C处安装

水平遮阳板CO=〃米，光线刚好不能直接射入室内，贝心”，”的关系式是（）

/

f

C,__—

A.n=tana*/w-0.2B.〃=tana・〃2+0.2

C.m=tana・〃-0.2D.〃=cosa•加+0.2

8.小悦乘座中国最高的摩天轮“南昌之星”,从最低点开始旋转一圈，她离地面的高度y（米）

与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画.经测试得出部分数据如

表.根据函数模型和数据，可推断出南昌之星旋转一圈的时间大约是（）

x（分）…13.514.716.0…

y（米）…156.25159.85158.33…

A.32分B.30分C.15分D.13分

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二.填空题(共8小题，满分16分，每小题2分)

9.如图，在△ABC中，。是BC边上一点，且满足NADE=NC,若处匹=马,

SbCDE3

且AE=2,则A8的长为.

10.体育课上，小聪，小明，小智，小慧分别在点O处进行了一次铅球试投，铅球分别落

在图中的点4,B,C,。处，则他们四人中，成绩最好的是

11.将二次函数y=5(x-1)2+3的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度

后得到的二次函数表达式为

12.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A(-4,0),与x轴夹角为30°,

将△43。沿直线AB翻折，点。的对应点C恰好落在双曲线(ZW0)上，则&的值

为.

13.一个扇形的圆心角为120。，半径为3,则这个扇形的面积为(结果保留ir)

14.如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C都在格点上，过4,B,C三点作一圆弧，则

圆心的坐标是.

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15.某物体对地面的压强尸(Pa)与物体和地面的接触面积S(w2)成反比例函数关系(如

图).当该物体与地面的接触面积为0.25,/时，该物体对地面的压强是Pa.

抽取件数(件)501001502005008001000

合格频数4288141176445724901

估计任取一件衬衣是合格品的概率是.

三.解答题(共12小题，满分68分)

17.(5分)计算:|tan300-l|+2sin600-tan450.

18.(5分)已知一个二次函数的图象经过点A(-1,0)、B(3,0)和C(0,-3)三点.

(1)求此二次函数的解析式；

(2)求此二次函数的图象的对称轴和顶点坐标.

19.(5分)如图，RtZ\ABC中，ZB=90°,点。在边AC上，且力交8c于点E.

(1)求证：XCDEsXCBN

(2)若AB=3,AC=5,E是8C中点，求。E的长.

20.(5分)如图，AB是。。的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点.

(1)依题意画出弦CD,并说明画图的依据；(不写画法，保留画图痕迹)

(2)若AP=2,CD=8,求OO的半径.

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21.（5分）图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1、2、3、

4,图②是一个正六边形棋盘.现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷

出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是儿，就从图②中的A点开始沿着顺

时针方向连续跳动几个顶点；第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动.

（1）随机掷一次骰子，则棋子第一次跳动到点C处的概率是

（2）随机掷两次骰子,用画树状图或列表的方法，求棋子第二次跳动到点C处的概率.

22.（5分）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图.汽车的车厢采用液

压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AQ的下方，AB与水平线之

间的夹角是5°,卸货时，车厢与水平线AO成60°,此时AB与支撑顶杆BC的夹角为

45。，若AC=2米，求BC的长度.（结果保留一位小数）

图1图2

（参考数据：sin650弋0.91,cos650弋0.42,tan650-2.14,sin70°-0.94,cos70°.

0.34,tan70°g2.75,V2«1.41）

23.（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3,-2）,直线/的解析式为：y

=日-2-3A�）,反比例函数），=一，上有两点M,N,若点M,N的纵坐标分别为2,

1.

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(1)当k=-l时，一次函数的解析式为,并直接在坐标系中画出直线/;

(2)通过计算说明：点A在直线/上；

(3)y=~l(x<0)图象上M,N两点及之间的部分记为G,若图象G与直线/有共公

点，求左的取值范围.

24.(6分)己知：如图，在RtZ\ABC中，NABC=90°,以A8为直径作。。，与4c交于

点、D,取BC的中点E,连接ED

求证：ED是。。的切线.

25.(6分)定义：在平面直角坐标系中，0为坐标原点，aABC的边AB平行于x轴.若△

ABC的三个顶点都在二次函数y^ax^+bx+c(aWO)的图象上，则称aABC为该二次函

数图象的“伴随三角形”.AABC为抛物产-#+x+擀的“伴随三角形”.

(1)若点A是抛物线与y轴的交点，求点3的坐标.

(2)若点C在该抛物线的对称轴上，且到边AB的距离为2,求aABC的面积.

(3)设A、。两点的坐标分别为(加，>1)、(2例，"),比较yi与”的大小，并求用的

取值范围.

(4)ZVIBC是抛物线y=-#+»-#+2〃-3的“伴随三角形”，点A在点B的左侧,

且AB=2,点C的横坐标是点A的横坐标的2倍,设该抛物线在n-1WXW2〃-2上最高

点的纵坐标为yo,当，S和W6时，直接写出n的取值范围和△ABC面积的最大值.

26.(6分)在平面直角坐标系xOy中，有抛物线y=mx2-3mx-4/n+3和直线y=3x+6其中，

直线与x轴，y轴分别交于点A,B.将点B向右平移6个单位长度，得到点C.

(1)求点C的坐标和抛物线的对称轴；

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(2)若抛物线与折线段A-8-C恰有两个公共点，结合函数图象，求机的取值范围.

27.(7分)(1)如图1,△ABC为等边三角形，点。、E分别为边A8、AC上的一点，将图

形沿线段QE所在的直线翻折，使点A落在边上的点F处.求证：BF'CF=BD'CE.

(2)如图2,按图1的翻折方式，若等边△ABC的边长为4,当。尸：EF=3：2时，求

sin/OFB的值；

(3)如图3,在中，NA=90°,NA8c=30°,AC=2次,点。是A8边上

的中点，在BC的下方作射线BE,使得/C8E=30°,点P是射线BE上一个动点，当

ZDPC=60°时，求BP的长；

28.(7分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,4),点B是x轴正半轴上一点,

连接AB,过点A作ACA.AB,交x轴于点C,点D是点C关于点A的对称点，连接BD,

以AZ)为直径作。。交BD于点E,连接并延长AE交x轴于点F,连接OF.

(1)求线段AE的长；

(2)若A8-BO=2,求tan/AFC的值；

(3)若△£>£下与△AEB相似，求EF的值.

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2020-2021学年北京市燕山区九年级上学期期末数学模拟试卷

参考答案与试题解析

选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1.下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（

【解答】解：4、主视图和左视图都为矩形的，所以4选项正确；

8、主视图和左视图都为等腰三角形，所以8选项错误；

C、主视图为矩形，左视图为圆，所以C选项错误；

。、主视图是矩形，左视图为三角形，所以。选项错误.

故选：A.

2.某单位进行内部抽奖，共准备了100张抽奖券，设一等奖10个，二等奖20个，三等奖

30个.若每张抽奖券获奖的可能性相同，则1张抽奖券中奖的概率是（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.6

【解答】解：•••共准备了100张抽奖券，设一等奖10个，二等奖20个，三等奖30个.

10+20+30

A1张抽奖券中奖的概率是——--=0.6,

100

故选：D.

3.如图，已知AC是的直径，△ABC内接于。0,AB^BC,NDBC=32°,则/BCD

=（）

A.113°B.103°C.45D.58°

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【解答】解：・.・AC是。。的直径，

AZABC=90°,

•:AB=BC,

・・・NACB=NBAC=45°,

AZBDC=45°,

VZDBC=32°,

AZBCZ)=180°-ZBDC-ZDBC=180°-45°-32°=103°.

故选：B.

4.二次函数了=(x+1)2-2的最小值是()

A.-2B.-1C.1D.2

【解答】解：二次函数丁=（九+]）2-2的顶点坐标为（-1,-2）,因此当x=-1时,

y最小=-2,

故选：A.

5.如图，在Rtz\43C中，ZC=90°,/[8=5,AC=4,则cosB的值是（）

▲

_____de

33V74

A.-B.-C.—D.-

4545

【解答】解：・・・AC=4,43=5,

BC=y/AB2-AC2=V25-16=3,

•RCB3

..cosB=^=引

故选：B.

6.如图，/XABC中，ZA=65°,AB=6AC=3,将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴

影三角形与原三角形不构成相似的是（）

/

BC

第9页共30页

65°

【解答】解：A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似,

故本选项不符合题意；

8、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似,故本选项不符合题意；

C、两三角形的对应角不一定相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意；

。、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意.

故选：C.

7.如图，太阳光线与水平线成a角，窗子高A8=,"米，窗子外面上方0.2米的点C处安装

水平遮阳板CD=〃米，光线刚好不能直接射入室内，贝”的关系式是（）

A.n=tana*/M-0.2B.n=tana,/n+0.2

C.m=tana,n-0.2D./?=cosa,/n+0.2

【解答】解：：窗子高AB=〃?米，窗子外面上方0.2米的点C处安装水平遮阳板CZ）=〃

米，

：.CB=CA+AB=m+0.2（米），

♦.•光线与地面成a角，

:.NBDC=a.

又；tanNBOC=需,

.*.CB=n,tana,

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m+0.2=〃•tana,

fn=tana*n-0.2,

故选：C.

8•小悦乘座中国最高的摩天轮“南昌之星”，从最低点开始旋转一圈，她离地面的高度y（米）

与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画.经测试得出部分数据如

表.根据函数模型和数据，可推断出南昌之星旋转一圈的时间大约是（）

X（分）…13.514.716.0…

y（米）…156.25159.85158.33…

,,•

A.32分B.30分C.15分D.13分

【解答】解：最值在自变量大于13.5小于14.7之间，

所以最接近摩天轮转一圈的时间的是15X2=30分钟.

故选：B.

二.填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9.如图，在△ABC中，。是BC边上一点，且满足AO=AB,NADE=NC,若如匹=士

SbCDE3

且AE=2,则A8的长为_旧_.

【解答】解：•.•见匹=士且AE=2,

S〉CDE3

：.CE=3fAB=AE+CE=5.

9：ZDAE=ZCADfZADE=ZC,

：.XADEsX'CD,

AEAD2AD

：.—=—,即—=—,

ADACAD5

第11页共30页

：.AD=V10.

又「A。—

：.AB=VTO.

故答案为：VTo.

io.体育课上，小聪，小明，小智，小慧分别在点。处进行了一次铅球试投，铅球分别落

在图中的点A,B,C,。处，则他们四人中，成绩最好的是小智(或点C).

【解答】解：由图可得，OC>OD>OB>OA,

•••表示最好成绩的点是点C,

故答案为：小智(或点C).

II.将二次函数y=5(x-1)2+3的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度

后得到的二次函数表达式为y=5(x+l)2+2.

【解答】解：将二次函数y=5(x-1)2+3的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1

个单位长度后得到的二次函数表达式为：y=5(X-1+2)2+3-1,即y=5(x+1)2+2.

故答案为：y=5(x+1)2+2.

12.如图，在平面直角坐标系中，直线A8与x轴交于点A(-4,0),与x轴夹角为30°,

将△43。沿直线A8翻折，点。的对应点C恰好落在双曲线(ZW0)上，则我的值

为-4g.

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【解答】解：设点C的坐标为（x,y）,如图，过点C作C。，x轴，作CEL）•轴,

,/将△AB。沿直线AB翻折,

.•.NC48=NOAB=30°,AC=A0=4,ZACB=AOB=90°,

CD=y=AC・sin60°=4x亨=2次，

•.•/4CB=/OCE=90°,

NBCE=/AC£>=30°,

'：BC=BO=AOnan30a=4x坐=竽,

，CE=|x|=BC.cos30°=竽、孚=2,

•.•点C在第二象限，

•»x^-2,

•••点C恰好落在双曲线y=M0）上,

"=x•尸-2x2V3=-4V3.

故答案为：-4显.

13.一个扇形的圆心角为120°,半径为3,则这个扇形的面积为3n（结果保留it）

【解答】解：由题意得，"=120°,R=3,

„nnR21207rx3?

故S扇形=-360-=360=3tt-

故答案为：3n.

14.如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C都在格点上，过4,B,C三点作一圆弧，则

圆心的坐标是（2,1）

【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心,

第13页共30页

可以作弦48和BC的垂直平分线，交点即为圆心.

如图所示，则圆心是（2,1）.

15.某物体对地面的压强P（Pa）与物体和地面的接触面积S（加2）成反比例函数关系（如

图）.当该物体与地面的接触面积为0.25川时，该物体对地面的压强是4000Pa.

k=1000,

故尸n=『1000

当S=0.25时，

„1000、

P=025=40(X)(PD6

故答案为：4000.

16.对--批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下:

抽取件数（件）501001502005008001000

合格频数4288141176445724901

估计任取一件衬衣是合格品的概率是0.9.

【解答】解：•••抽取件数为1000时，合格的频率趋近于0.9,

任取一件衬衣是合格品的概率是0.9.

故答案为：0.9.

三.解答题（共12小题，满分68分）

17.（5分）计算:|tan30°-l|+2sin600-tan450.

第14页共30页

【解答】解：原式=|=—l|+2x三一1

=l-2y+V3-1

273

=~,

18.(5分)已知一个二次函数的图象经过点A(-1,0)、B(3,0)和C(0,-3)三点.

(1)求此二次函数的解析式；

(2)求此二次函数的图象的对称轴和顶点坐标.

【解答】解：(1)设二次函数解析式为y="(x+1)(x-3),

•••抛物线过点C(0,-3),

-3=a(0+1)(0-3),

解得。=1,

，y=(x+1)(x-3),

工二次函数的解析式y=/-2x~3.

(2)由y=7-2x-3=(x-1)2-4,

「・对称轴是直线x=l,顶点坐标是(1，-4).

19.(5分)如图，中，NB=90°，点。在边AC上，且DE_LAC交8C于点E.

(1)求证：XCDEsMCBN、

(2)若AB=3,AC=5,E是3c中点，求DE的长.

K

BEC

【解答】(1)证明：'：DE±AC,NB=90°,

：.ZCDE=90°=NB.

又；NC=/C,

:.△CDEsXCBA.

(2)解：在RtZvlBC中，ZB=90°,AB=3,AC=5,

：.BC=y/AC2-AB2=4.

是8c中点，

1

CE=”C=2.

第15页共30页

"：/\CDE^/\CBA,

DECEDE2

———,即———)

BACA35

A

20.(5分)如图，AB是。。的直径，点P是AB上一点，且点尸是弦C£>的中点.

(1)依题意画出弦CQ,并说明画图的依据；(不写画法，保留画图痕迹)

(2)若AP=2,C£>=8,求。。的半径.

【解答】解：(1)画出弦CD,如图.

依据：垂直于弦的直径平分弦.

(2)如图，连接0。，

•••。4，(?。于点/3,A8是。。的直径，

1

/.ZOPD=90°,PD=^CD,

'：CD=S,

."0=4.

设。。的半径为r,则0D=r,0P=0A-AP=r-2,

在Rt^OQP中，NO尸。=90°,

.•.0£>2=0冰">£>2,

即/=(r-2)2+42,

第16页共30页

解得r=5,

即。0的半径为5.

21.（5分）图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1、2、3、

4,图②是一个正六边形棋盘.现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷

出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的A点开始沿着顺

时针方向连续跳动几个顶点；第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动.

图①图②

⑴随机掷一次骰子，则棋子第一次跳动到点C处的概率是

（2）随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子第二次跳动到点C处的概率.

【解答】解：（1）随机掷一次骰子，则棋子跳动到点C处的概率是士

4

故答案为：

（2）列表如下:

Qb)9876

a,9)

9⑼9)$9)陋9)

8停，8；a型(1,8)(6,3)

7Q,7)⑸1)0,7)血7)

6。6)保a6)传，6）

共有16种可能，和为14可以到达点C,有3种情形，

所以棋子第二次跳动到点C处的概率为三.

16

22.（5分）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图.汽车的车厢采用液

压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点8在水平线AD的下方，AB与水平线AO之

间的夹角是5°,卸货时，车厢与水平线A。成60°,此时与支撑顶杆BC的夹角为

第17页共30页

45°,若AC=2米，求BC的长度.（结果保留一位小数）

图1图2

(参考数据：sin65°cos650=0.42,tan65°-2.14,sin700-0.94,cos700«

0.34,tan700~2.75,V2®1.41)

【解答】方法一：解：如图1,过点C作CF_LAB于点凡

在RtAACF中，

；sin/C4B=sin(60°+5°)=sin65°=左，

.•.CF=AC,sin65°七2X0.91=1.82,

在RtZ\BC/中,

；NABC=45°,

：.CF=BF,

：.BC=V2CF=1.41X1.82=2.5662七2.6,

答：所求BC的长度约为2.6米.

方法二：解：如图2,过点A作AELBC于点E,

在RtZXACE中，VZC=180°-65°-45°=70°,

rp

/.cosC=cos70°=衣，

即CE=ACXcos70°^2X0.34=0.68,

sinC=sin70°=器

即AE=ACXsin70°^2X0.94=1.88,

又•・•在RtZXAEB中，ZABC=45°,

：.AE=BEf

ABC=BE+CE=0.68+l.88=2.56^2.6,

答:所求8C的长度约为2.6米.

第18页共30页

E

____________\D

图2

23.（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3,-2）,直线/的解析式为：y

—kx-2-3k（ZWO）,反比例函数产一（上有两点M,N,若点M,N的纵坐标分别为2,

1.

（1）当氏=-1时，一次函数的解析式为v=-x+l,并直接在坐标系中画出直线/；

（2）通过计算说明：点A在直线/上；

（3）y=~l（^<0）图象上M,N两点及之间的部分记为G,若图象G与直线/有共公

【解答】解：（1）当左=-1时，y=-x+1,

第19页共30页

故答案为y=-x+1.

(2)当x=3时，y=3k-2-3k=-2,

.•.点A在直线/上.

(3)对于反比例函数>=-1,当y=2时，X--1,当y=l时，x--2,

：.M(-1,2),N(-2,1),

当点M在直线/上时，2=-k-2-3k,k=-I,

当点N在直线/上时，1=-2k-2-3k,k=-|.

•••满足条件的人的范围为：--|.

24.(6分)已知：如图，在RtAuABC中，NABC=90°,以48为直径作。。，与AC交于

点。，取BC的中点E,连接ED

求证：即是。。的切线.

【解答】证明：连接。。，0E,

为。。的直径，

.,.NA£>B=NBOC=90°,

在RtZ\BDC中，E为BC的中点，

1

：.DE=BE=CE=

在△0E3和△0E。中，

OB=0D

0E=0E,

BE=DE

•MOEBm4OED(SSS),

：./ODE=NOBE=90。,

:.OD工DE,

・•・&)是。。的切线.

第20页共30页

25.（6分）定义：在平面直角坐标系中，。为坐标原点，△ABC的边AB平行于x轴.若4

ABC的三个顶点都在二次函数y=ax1+bx+c（tz^O）的图象上，则称△A8C为该二次函

数图象的'‘伴随三角形△ABC为抛物），=-#+x+|的“伴随三角形

（1）若点A是抛物线与y轴的交点，求点B的坐标.

（2）若点C在该抛物线的对称轴上，且到边A8的距离为2,求△ABC的面积.

（3）设4、。两点的坐标分别为（机，yi）、（2根，”），比较yi与"的大小，并求相的

取值范围.

（4）/XABC是抛物线产一算+心_，+2〃-3的“伴随三角形”，点A在点B的左侧,

且AB=2,点C的横坐标是点A的横坐标的2倍，设该抛物线在1WXW2〃-2上最高

点的纵坐标为W，当3<W^6时，直接写出n的取值范围和AABC面积的最大值.

【解答】解：（1）当x=0时，y=

：.A（Q,|）,

函数的对称轴：x------1,

2x（，）

故点8的坐标为：（2,7）；

2

(2)当x=l时，y=—；+l+*3,

：.C(1,3),

>\yA=yB=3-2=1,

ir

:.当y=\时，即一'％2+%4--=1,

解得：XI=-1,X2=3,

：.A(-1,1),B(3,1),

：.AB=3-(-1)=4,

1

SMBC=2x4X2=4；

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1cq,cq

（3）点A（m,—2/九+m+［）,点C（2机，-2m+2m+4）,

当机=1时，△ABC不成立，

当一［沅2+上+*=—2m12*4+2m+）时,

9

解得：加i=0,m2=

此时，△ABC不成立；

①当0OnV3寸，y\<y2,

②当且〃2H=1时，y\>y2f

③当机<0时，yi>y2,

综上：当OVmvg时，y\<y2；

当机V0或且mWl时，yi>”；

（4）y=—^j?+nx—^/i2+2n-3=—（x-n）2+2n-3,

故函数的顶点为（小2/1-3）,

①当2n-2时，即〃W2,

1c1

当x=2n-2时，y。=一）（2九—2-n）24-2n—3=—2n2+4n-5,

11

V-<yo^6,则一<——“2+4〃-5W6,

222

解得：4-V5<n<2：

②当2〃-2>〃时，即〃>2,

yo=2〃-3,则a<2n-3<6,

79

•*•7<n<-；

42

综上，〃的取值范围为：4-V5<n<^；

当九=葭时，y=~^（x~^）2+

当天B=¥时，y=-*+6=称，

第22页共30页

7IQQQ

当%4=1时，xc=7时，y=(7-2)2+6=百，

.112321

・・葭=1■一石=京

△ABC面积的最大值=|x2x^=奈

故〃的取值范围为：4-V5<n<^,△4BC面积的最大值为一.

26.(6分)在平面直角坐标系xQy中，有抛物线-3〃优-4/n+3和直线y=3x+6其中,

直线与x轴，y轴分别交于点4,&将点8向右平移6个单位长度，得到点C.

(1)求点C的坐标和抛物线的对称轴；

(2)若抛物线与折线段A-8-C恰有两个公共点，结合函数图象，求机的取值范围.

【解答】解：(1)直线y=3x+6与x轴、y轴分别交于点A(-2,0),B(0,6),

将点B向右平移6个单位长度得到点C,

：.C(6,6),

:抛物线y=iw?-3mx-4〃i+3,

；♦抛物线y—”%2-33-4〃z+3的对称轴为：直线x=—福鲁=慨；

(2)①相>0时，如图1,

将x=6代入抛物线得y=14/〃+3,

V抛物线与折线段A-B-C恰有两个公共点，

A14»j+3>6,

解得团>正；

②加〈0时，如图2,

将x=-2代入抛物线得y=6m+3,

・・•抛物线与折线段A-B-C恰有两个公共点，

，6切+3V0,

解得mV—i；

3

③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为(5,6),如图3,

3QQ

将点(5，6)代入抛物线得6=不〃—］机-4瓶+3,

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解得m=-25.

・・•抛物线与折线段A-8-C恰有两个公共点,

/.6m+320,

解得m>—2，

・・12、1

**25>-2,

・12

・・加=一国’

综上所述，〃2>杀或加V—*或团=一,

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27.(7分)(1)如图1,△ABC为等边三角形，点。、E分别为边AB、AC上的一点，将图

形沿线段OE所在的直线翻折，使点4落在8c边上的点尸处.求证：BF'CF=BD'CE.

(2)如图2,按图1的翻折方式，若等边△ABC的边长为4,当OF：EF=3：2时，求

sin/OFS的值；

(3)如图3,在RtZ\ABC中，NA=90°,乙4BC=30°,AC=2a,点力是AB边上

的中点，在BC的下方作射线BE,使得/C8E=30°,点尸是射线BE上一个动点，当

NDPC=60°时,求BP的长;

【解答】（1）证明：:△ABC是等边三角形，/A=/8=NC=60°,

:.NBDF+NBFD=l80°-ZB=120°,

由折叠知，ZDFE=ZA=60°,

：.ZCFE+ZBFD^l20Q,

NBDF=NCFE,

VZB=ZC=60°,

:.△BDFs^CFE,

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.BF_BD

••,

CECF

：.BF，CF=BD・CE；

(2)解：如图2,设3£>=3x(x>0),则AQ=AB-3。=4-3x,

由折叠知，DF=AD=4-3x,

过点D作DH上BC于H,

：・/DHB=/DHF=90°,

VZB=60°,

・DU3八口373

・・BH=/，DH=­x,

由(1)知，4BDFSRCFE,

.BDDF

••-~~~，

CFEF

VDF：EF=3：2,

.BD3

••=一,

CF2

：.CF=2x,

：.BF=BC-CF=4-2x,

37

：.HF=BF-BH=4-2x-余=4一如，

222

在RtZ\O//F中，DH+HF=DF9

3V3ry7