2022届高考数学必练题及答案解析

2022年高考数学考前必练题

1.如图，在直三棱柱ABC-481。中，AC=BC=\,AB=AA\=y[2,。是棱CG的中点.

（1）求证：平面4B£>_L平面ABiO；

（2）求平面A3。与平面所成锐二面角的余弦值.

【分析】（1）证明：AiBLABi,DELAiB,推出平而48。，然后证明平面AiBZ）

_L平面AB。.

（2）以C为坐标原点，CA,CB,CG所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间

直角坐标系C-“z,求出平面ABi。的法向量，平面AB。的法向量，利用空间向量的数

量积求解平面ABD与平面ABiD所成锐二面角的余弦值即可.

【解答】（1）证明：在直三棱柱ABC-481cl中，。是棱CG的中点，由。Ci=OC,

NDCi4=/£）C8=90°,G4=CB=1,

知RtZ\QCi4gRtZ\£>C8,得。4=08,△AiOB为等腰三角形.（2分）

因为48=441=/，则四边形A41B18为正方形，

设两对角线AiB与ABi相交于点E,所以A1BL4B1，（4分）

又因为E是AiB的中点，所以。E_LAiB,且ABin£>E=E,

所以AiB_L平而AB\D,

又AiBu平面AiBZ）,平面AiBOCl平面ABiO=£>E,

故平面AiBZ）_L平面A81D（6分）

（2）解：由4C=BC=1,AB=五,知ACZ+BCanA#,

由勾股定理的逆定理，得/ACB=90°,

因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，有CCi，平面ABC.

故以C为坐标原点，。，CB,CC所在直线分别为x,»z轴建立如图所示的空间直角

坐标系C-Jtyz,（7分）

易得4（1,0,0）,B（0,1,0）,4式1,0,V2）,/（0,1,夜），0（0,0,乎），

则或i=（l,-1,夜），AB=（-1,1,0）,AD=（-1,0,孝），（8分）

设平面ABD与平面A8i。所成的锐二面角为6,

由（1）知卜BAi_L平面AB。，

则平面的£＞的法向量为8京=（1,-1,V2）,

设平面ABD的法向量为三=（%,y,z）,

则行”=0,

（九•AD—0

—X+y=0

即3°，

-xH—=0

L

令x=l,则y=l,z=V2,得£=（1,1,V2）,（10分）

TT

则cos。=\cos{BAirn）|=।竺1曰=

|%|同ZXZ

1

故平面ABD与平面ABiD所成锐二面角的余弦值为,（12分）

【点评】本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空

间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题.

2.如图所示，已知四棱锥P-A8CD中，四边形ABCC为正方形，三角形必B为正三角形,

侧面以底面ABC。，M是棱的中点.

(1)求证：PC±BM；

(2)求二面角B-PM-C的正弦值.

【分析】(1)方法一：取AB的中点0,连接OP,0C,证明P0_LBM,BMVOC,推出

平面POC,即可证明BM±PC.

方法二：取AB的中点0,连接0P,并过。点作BC的平行线0E,交C。于E,以。

为坐标原点，6的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系,通过后•。潟=0,

证明PC±BM.

(2)求出平面PMB的一个法向量，平面尸MC的一个法向量，录音空间向量的数量积求

解二面角B-PM-C的正弦值即可.

【解答】(1)证明：方法一：

取AB的中点0,连接0尸，OC,

•..三角形PAB为正三角形且侧面布8_1底面ABCD,

底面ABCD,

底面ABC。，

：.P0±BM,

VRtAABA/^RtABCO,

/.ZBOC,

：.ZABM+ZAMB=NABM+NBOC=90°,

：.BML0C,

「ponoc=o,

平面POC,

；PCu平面POC,

J.BMLPC.

方法二：

取AB的中点。，连接OP,并过。点作BC的平行线0E,交CO于E,则OELAB,

•.•三角形P4B为正三角形，

：.PO±AB,

；平面以BJ_底面ABCD且平面以BC底面A8CD=48,

；.PO_L底面4BCC,

以0为坐标原点，茄的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，令PB=AB

=2,

则B(1,0,0),P(0,0,V3),M(-1,1,0),C(1,2,0)PC=(1,2,-A/3),

BM=(-2,1,0),PCOM=lx(-2)+2x1+(-V3)X0=0,

：.PC±BM.

(2)解：PM=(-1,1,-V3),CM=(-2,-1,0),

设平面PMB的一个法向量为U=Q,y,z),

贝4P》.藐=0,gp(-x+y-V3z=0(

IBM-m=0t-2x+y=0

令x=l,m=(1,2,易，

设平面PMC的一个法向量为£=(%,yrz),

p%.g=o,即—%+y-V3z=0

则

CM-n=0—2%—y=0

令x=l,n=(l,-2,V3),

—>—>

m-n=旦,

cos(m,n)=

前.|7|

sin(m,n)=

Vio

，二面角B-PM-C的正弦值为----

4

【点评】本题直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想

象能力，转化思想以及计算能力，是中档题.

3.如图1,在aABC中，D,E分别为A3,AC的中点，。为。E的中点，AB=AC=2A/5,

BC=4.将△A3E沿OE折起到△AiDE的位置，使得平面4。尺1_平面BCED,如图2.

(I)求证：A\O±BD.

(II)求直线4c和平面48。所成角的正弦值.

(III)线段AC上是否存在点凡使得直线。尸和BC所成角的余弦值为手？若存在,

Ap

求出土的值；若不存在，说明理由.

1

图1图2

【分析】(I)证明AiO_LOE.结合平面4DE1•平面BCEZ),推出4。_1_平面8CED,

即可证明A|OJ_8D

(II)取BC的中点G,连接OG,推出OE_LOG.A]O1OE,A\O±OG.建立空间直角

坐标系。-xyz.求出平面48。的法向量，然后利用空间向量的数量积求解直线4c和

平面A归。所成的角的正弦值.

—»

(III)设4/=；L4iC,其中入[0,1].求出OF=(2/l,2/1+1,2-2A),结合BC=

(0,4,0),然后利用空间向量的数量积求解异面直线所成角，推出结果即可.

【解答】(I)证明：因为在aABC中，D,E分别为AB,AC的中点,

所以。E〃2C,AD=AE.

所以4Q=4E,又。为。E的中点，所以4OLQE.

因为平面Ai£»E_L平面BCED,

平面AiOECl平面BCEO=QE,且AiOu平面AiOE,

所以AiO_L平面BCED,

所以4O_LBD

(II)解：取BC的中点G,连接OG,所以OEJLOG.

由(I)得AiO_LOE,A\OLOG.

如图建立空间直角坐标系0-孙z.

由题意得，A\(0,0,2),B(2,-2,0),C(2,2,0),D(0,-1,0).

所以A；B=(2,-2,-2),瓶=(0,-1,-2),A：C=(2,2,-2).

设平面AiBO的法向量为%=(x,y,z).

则总”=0,

\n-ArD=0,

即-2y-2z=0,

(—y—2z=0.

令x=l,则y=2,z--1,所以£=(1.,2,-1).

设直线AC和平面Ai8。所成的角为e,

则sin。=|cos〈n,AC)\=，"尸=

r-3

2^2

故所求角的正弦值为

(Ill)解：线段4c上存在点厂适合题意.

设A〉=