高中数学必修2课时素养评价9-2-3向量的数量积

课时素养评价四向量的数量积(20分钟35分)1.若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·a+a·b等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.1+QUOTE D.2【解析】选B.a·a+a·b=|a|2+|a||b|cos60°=1+QUOTE=QUOTE.2.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=QUOTE,且a与b的夹角为QUOTE,则(a+b)·(2ab)= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.=2a2b2+a·b=23+1×QUOTE×QUOTE=QUOTE.3.(2020·广州高一检测)已知向量a,b满足|a|=QUOTE,|b|=2QUOTE,a·b=3,则a与b的夹角是 ()A.150° B.120° C.60° D.30°【解析】选B.设a与b的夹角为θ,则cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因为0°≤θ≤180°,所以θ=120°.【补偿训练】已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=1,则向量a与ab的夹角为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.|ab|=QUOTE=QUOTE=QUOTE,设向量a与ab的夹角为θ,则cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又因为θ∈[0,π],所以θ=QUOTE.4.如图,AB是圆C的弦,设=a,=b,则向量在向量上的投影向量为________(用a或b表示).

【解析】如图所示,过点C作CD⊥AB,垂足为D,连接CB,则向量在向量上的投影向量为.因为CA=CB,所以D是AB的中点,所以=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE5.△ABC三边的长分别为AC=3,BC=4,AB=5,若=QUOTE,=QUOTE,则·=________.

【解析】由题知·=(+)·QUOTE=(+QUOTE)·QUOTE=·QUOTE=QUOTE+QUOTE·=QUOTE×42+0=QUOTE.答案:QUOTE6.已知非零向量a,b满足a+3b与7a5b互相垂直,a4b与7a2b互相垂直,求a与【解析】设a与b的夹角为θ,由已知条件得QUOTE即QUOTE②①得23b2-46a·b所以2a·b=b2,代入①得a2=b2所以|a|=|b|,所以cosθ=QUOTE因为θ∈[0,π],所以θ=QUOTE.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.在△ABC中,若·+=0,则在上的投影向量为 ()A. B.QUOTE C. D.QUOTE【解析】选A.因为0=·+=·(+)=·,所以⊥,又与的夹角为锐角,所以在上的投影向量为.2.设a,b是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a∥b”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.设a与b的夹角为θ.因为a·b=|a|·|b|cosθ=|a|·|b|,所以cosθ=1,即a与b的夹角为0°,故a∥b;而当a∥b时,a与b的夹角为0°或180°,所以a·b=|a|·|b|cosθ=±|a|·|b|,所以“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分不必要条件.【补偿训练】若|a|=1,|b|=2,则|a·b|的值不可能是 ()A.0 B.QUOTE C.2 D.3【解析】选D.由向量数量积的性质知|a·b|≤|a||b|=2.3.如图,AB是圆O的直径,P是圆弧AB上的点,M,N是AB上的两个三等分点,且AB=6,则·= ()A.3 B.4 C.6 D.8【解析】选D.·=(+)·(+)==8.【补偿训练】已知正三角形ABC的边长为1,设=c,=a,=b,那么a·b+b·c+c·a的值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,即|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+c·a)=0,所以3+2(a·b+b·c+c·a)=0,所以a·b+b·c+c·a=QUOTE.4.已知非零向量a与b的夹角为QUOTE,且|b|=1,|a+2b|=2,则|a|= ()A.1 B.2 C.3 D.23【解析】选B.方法一:因为|a+2b|=2,所以|a|2+4a·b+4|b|2=4,又a与b的夹角为QUOTE,|b|=1,所以|a|22|a|+4=4,所以|a|22|a|=0,又a≠0,所以|a|=2.方法二:如图1,设a=(m,0)(m>0),因为a与b的夹角为QUOTE,|b|=1,所以b=QUOTE,所以a+2b=(m1,QUOTE).因为|a+2b|=2,所以(m1)2+3=4.因为m>0,所以m=2,|a|=2.方法三:在如图2所示的平行四边形中,因为|b|=1,所以|2b|=2,又a与b的夹角为QUOTE,|a+2b|=2,所以此平行四边形是菱形,所以|a|=2.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,则下列向量是单位向量的是 ()A. B.aQUOTEbC.a+QUOTEb D.ab【解析】选AD.因为a,b是单位向量,且夹角为60°,所以a·b=QUOTE,|a|=|b|=1;所以=QUOTE×3=1,QUOTE=a2a·b+QUOTEb2=QUOTE,QUOTE=a2+a·b+QUOTEb2=QUOTE,(ab)2=a2-2a·b+b2所以QUOTE和ab是单位向量.6.已知e1,e2是两个单位向量,λ∈R时,|e1+λe2|的最小值为QUOTE,则下列结论正确的是 ()A.e1,e2的夹角是QUOTEB.e1,e2的夹角是QUOTE或QUOTEC.QUOTE|=1或QUOTED.|e1+e2|=1或QUOTE【解析】选BC.因为e1,e2是两个单位向量,且|e1+λe2|的最小值为QUOTE,所以(e1+λe2)2的最小值为QUOTE,所以(e1+λe2)2=λ2+2e1·e2λ+1=QUOTE+QUOTE,所以e1与e2的夹角为QUOTE或QUOTE,所以|e1+e2|2=1或3,所以|e1+e2|=1或QUOTE.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=4,QUOTE·(2a3b)=12,则|b|=________;

b在a上的投影向量的模等于________.

【解析】a·b=|a||b|cos45°=4|b|cos45°=2QUOTE|b|,又QUOTE·(2a3b)=|a|2+QUOTEa·b3|b|2=16+QUOTE|b|3|b|2=12,解得|b|=QUOTE或|b|=QUOTE(舍去).b在a上的投影向量的模为||b|cos45°|=QUOTEcos45°=1.答案:QUOTE18.(2019·全国Ⅲ卷改编)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2aQUOTEb,a与c的夹角为θ,则cosθ=________.

【解析】因为c2=(2aQUOTEb)2=4a2+5b2-4QUOTEa·b=9,所以|c|=3,因为a·c=a·(2aQUOTEb)=2a2QUOTEa·b=2,所以cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE四、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·株洲高一检测)如图所示,在平行四边形ABCD中,若AB=8,AD=5,=3,(1)若∠BAD=QUOTE,求||的值;(2)若·=2,求·的值.【解析】(1)在平行四边形ABCD中,AB=8,AD=5,=3,当∠BAD=QUOTE时,=+=+QUOTE,所以=+QUOTE·+QUOTE=52+QUOTE×5×8×cosQUOTE+QUOTE×82=39,所以||=QUOTE;(2)=+=+QUOTE,=+=QUOTE,所以·=·=QUOTE·QUOTE=25QUOTE·QUOTE×64=2,解得·=22.【补偿训练】已知向量a,b的长度|a|=4,|b|=2.(1)若a,b的夹角为120°,求|3a4b(2)若|a+b|=2QUOTE,求a与b的夹角θ.【解析】(1)a·b=|a||b|cos120°=4×2×QUOTE=4.又|3a4b|2=(3a4b=9a2-24a·b+16=9×4224×(4)+16×22=304,所以|3a4b|=4QUOTE.(2)因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b=42+2a·b+22=(2QUOTE)2,所以a·b=4,所以cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE.又θ∈[0,π],所以θ=QUOTE.10.设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角θ为钝角,求实数t的取值范围.【解析】当夹角为π时,也有(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,但此时夹角不是钝角.设2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0,则QUOTE所以QUOTE由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角θ为钝角,得所以(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,化简得2t2+15t+7<0.解得7<t<QUOTE.所以所求实数t的取值范围是QUOTE∪QUOTE.【补偿训练】已知两个向量a,b满足|a|=2,|b|=3,a,b的夹角为60°,若向量a+λb与λa+b的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.【解析】由题意得a·b=|a||b|cos60°=2×3×QUOTE=3,又(a+λb)·(λa+b)=λa2+(λ2+1)a·b+λb2,而向量a+λb与λa+b的夹角为锐角,所以λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,又|a|2=4,|b|2=9,a·b=3,所以3λ2+13λ+3>0,解得λ>QUOTE或λ<QUOTE.但是当λ=1时,向量a+λb与λa+b共线,其夹角不是锐角,故λ的取值范围是QUOTE∪QUOTE∪(1,+∞).1.八卦是中国文化的基本哲学概念,如图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中|OA|=1,则给出下列结论:①·=QUOTE;②+=QUOTE;③在向量上的投影向量的模为QUOTE.其中正确结论的个数为 ()A.3 B.2 C.1 D.0【解析】选B.·=1×1×cos135°=QUOTE,所以①正确;+=QUOTE=QUOTE,所以②正确;显然||≠1,在向量