3.1.2椭圆的简单几何性质课件-高二上学期数学人教A版2019选择性

课时3椭圆的简单几何性质新授课1.通过代数推导的方法，掌握椭圆的范围、对称性和顶点.2.理解椭圆离心率的几何意义及其相关概念.任务1：观察椭圆的形状，探究椭圆的几何性质.目标一：通过代数推导的方法，掌握椭圆的范围、对称性和顶点.

1.观察椭圆图象，猜想它的上下边界分别是多少？如何利用椭圆方程验证？猜想：-b<y<b，-a<x<a.综上，椭圆位于直线和围成的矩形框里.证明：因为，所以，所以，所以，即，同理，即.

2.根据问题1，说说在椭圆上有哪些特殊点，如何求出这些特殊点坐标？特殊点：、、、；根据图象，令y=0，有，所以(-a，0)，(a，0)，同理可得（0，-b），（0，b）.新知讲解

如图，当焦点在x轴时，线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，．a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.

注：椭圆上的点到焦点距离最小为，最大为.

3.我们之前学了图形对称和点对称的有关概念和特点，那么回顾关于x，y轴以及原点的对称点坐标之间有什么关系？关于y轴对称的点，其坐标是横坐标相反，纵坐标不变,即f(-x，y)=f(x，y).关于x轴对称的点，其坐标是横坐标不变，纵坐标相反，即f(x，-y)=f(x，y)；同理，将f(-x，y)代入椭圆方程中，发现f(x，-y)=f(x，y)，即椭圆关于y轴对称.将f(-x，-y)代入椭圆方程中,得到方程不变，即f(-x，-y)=f(x，y)，说明椭圆关于原点对称.

4.我们知道椭圆即是轴对称图形，又是中心对称图形，如何利用代数方法推导椭圆的对称性呢？将f(x，-y)代入椭圆方程中，发现其方程不变，此时说明对于椭圆中的任意一点P(x，y)，其关于x轴的对称点也在椭圆上，即f(x，-y)=f(x，y)；所以椭圆关于x轴对称；

椭圆是以x轴、y轴都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．归纳总结练一练

1.椭圆3x2+4y2=12的长轴长、短轴长分别为()A.2， B.，2

C.4，2

D.2，4把3x2+4y2=12化成标准形式为,得a2=4,b2=3,则长轴长为4,短轴长为2，故选C.C

2.如图，把椭圆的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点，，…，，F是椭圆的左焦点，则（）A设椭圆的右焦点为，由椭圆的对称性，知，，，所以故选：A.目标二：理解椭圆离心率的几何意义及其相关概念.任务1：探究椭圆形状与参数的关系和离心率的几何意义.

观察椭圆曲线演示，椭圆的扁平程度与什么有关？具体关系又是怎样的？椭圆的扁平程度与a、c两个量有关，保持半焦距c不变，改变椭圆长半轴a的大小，可以发现a越接近c，椭圆越扁平.而当a与c扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变.具体关系：保持长半轴a不变，改变椭圆得半焦距c，可以发现c越接近a，椭圆越扁平；新知讲解

椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用表示，即，且.思考1：离心率与椭圆的形状（扁平）有什么关系？e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为.反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆．思考2：结合图象，除了思考1的方法之外，如何利用三角函数的知识解释思考1的结论呢？如图，中，，，.，e越大,越大，越小，椭圆越扁；e越小,越小，越大，椭圆越圆.练一练

求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.解：把原方程化成标准方程，得，于是a=5，b=4，.因此椭圆的长轴和短轴的长分别是2