3.4.1第2课时平面的法向量及其应用课件-高二上学期数学北师大版选择性

3.4.1第2课时新授课平面的法向量及其应用1.能用向量语言表述平面.2.理解平面的法向量，并且会求平面的法向量.3.会应用平面的法向量解决一些简单的问题.如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量，则n⊥α.知识点1：平面的法向量如图，设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面α的一个法向量，那么对于平面α内任意一点P，必有思考：如何用平面的法向量来描述平面内任意一点的位置呢？①αlMPn反过来，由立体几何知识可以证明：满足①式的点P都在平面α内，所以把①式称为平面α的一个向量表示式.①注意：1.平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量.2.一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行.练一练1.若点A(-1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，若l⊥平面α，则平面α的一个法向量为()A.(1,2,3) B.(1,3,2)C.(2,1,3) D.(3,2,1)A知识点2：平面的方程如图，在空间直角坐标系中，若n=(A,B,C)，点M的坐标为(x0,y0,z0)，则对于平面α内任意一点P(x,y,z)，有①代入①式，得②即由此可见，平面α内任意一点P的坐标(x,y,z)都满足方程②；反之，以满足方程②的(x,y,z)为坐标的任意一点也都在平面α内.所以方程②叫作平面α的方程.②练一练2.写出经过A(3,2,1)且与直线l的方向向量n＝(-1,3,4)垂直的平面α的方程.解：由题意知平面α的法向量为n＝(-1,3,4)，即x-3y-4z+7＝0.则-x＋3y+4z-7＝0，则-(x-3)+3(y-2)+4(z-1)＝0，例1:已知点A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(2,1,3)，求平面ABC的一个法向量的坐标.解：由已知可得设n=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量，则不妨取x=1，得y=z=-1.∴平面ABC的一个法向量的坐标为(1,-1,-1).即归纳总结求平面法向量的方法与步骤(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.(2)设平面的法向量为n＝(x,y,z)；(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如(3)联立方程组

并求解；例2:在长方体ABCD-A'B'C'D'中，已知AB=1，AD=2，AA'=3.(1)在四边形BCC'B'内是否存在一点N，使得AN⊥平面A'BD？(2)求证：AC'与平面A'BD的交点恰为线段AC'的三等分点.(1)解：以点A为原点，AB，AD，AA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0,2,0)，A'(0,0,3).设N(1,y,z)是四边形BCC'B'内一点，则例2:在长方体ABCD-A'B'C'D'中，已知AB=1，AD=2，AA'=3.(1)在四边形BCC'B'内是否存在一点N，使得AN⊥平面A'BD？(2)求证：AC'与平面A'BD的交点恰为线段AC'的三等分点.令得解得∴在四边形BCC'B'内存在一点

，使得AN⊥平面A'BD.(2)分析：要证明AC'与平面A'BD的交点恰为线段AC'的三等分点，可以将直线AC'的方程与平面A'BD的方程联立求得交点坐标，再验证其恰为线段AC'的三等分点；也可以先求出线段AC'三等分点的坐标，再验证其在平面A'BD内.例2:在长方体ABCD-A'B'C'D'中，已知AB=1，AD=2，AA'=3.(1)在四边形BCC'B'内是否存在一点N，使得AN⊥平面A'BD？(2)求证：AC'与平面A'BD的交点恰为线段AC'的三等分点.又B(1,0,0)，化简，得(6,3,2)·(x-1,y,z)=0，即6x+3y+2z=6.①设点E为线段AC'的一个三等分点，且满足(2)证明：由(1)可知

是平面A'BD的一个法向量；∴平面A'BD的方程为例2:在长方体ABCD-A'B'C'D'中，已知AB=1，AD=2，AA'=3.(1)在四边形BCC'B'内是否存在一点N，使得AN⊥平面A'BD？(2)求证：AC'与平面A'BD的交点恰为线段AC'的三等分点.由可知代入方程①检验可知，点E的坐标满足平面A'BD的方程①.说明：（2）中只展示了第二种证明方法，第一种证明方法请同学们课下完成.即点E的坐标为∴AC'的三等分点E