五章地图数学基础

地图学

Cartography南京师范大学地理科学学院GIS系地图的数学基础第四章常用的几类地图投影是否存在没有长度变形的投影？经纬线投影后正交的投影是否就是等角投影？上一讲回顾3本节内容12高斯-克吕格投影地图投影的选择3地图比例尺4(1)高斯--克吕格投影及应用高斯—克吕格投影基本概念高斯—克吕格投影应用规定通用墨卡托投影（UTM）

1.1常用地图投影

德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。他有数学王子的美誉，并被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名。C.F.Gauss(1777—1855)

1.1常用地图投影

(1)高斯-克吕格投影（等角横切椭圆柱投影）基本概念

将椭圆柱体面横切于地球椭球某一条经线（中央经线），按等角等条件，用数学方法椭球面上的经纬网投影到椭圆柱体面上，最后将椭圆柱体面沿过南北极的母线剖开展平。高斯-克吕格投影高斯-克吕格投影原理PP

ABCDP

A

B

C

D

PXY赤道投影椭圆柱

高斯—克吕格投影的平面直角坐标系，是以相切的经线（中央经线）之投影为X轴，以赤道的投影为Y轴。

中央经线投影为平面直角坐标系的X轴，赤道的投影为Y轴投影后的经纬线互相垂直等角投影中央经线投影后长度不变等角横切椭圆柱投影投影条件：赤道OYX中央经线0°1°2°3°90°1.000001.000001.000001.0000080°1.000001.000001.000021.0000470°1.000001.000021.000071.0001660°1.000001.000041.000151.0003450°1.000001.000061.000251.0005740°1.000001.000091.000361.0008130°1.000001.000121.000461.0010320°1.000001.000131.000541.0012110°1.000001.000141.000591.001340°1.000001.000151.000611.00138

高斯-克吕格投影60带内长度变形表变形规律：变形均为正向；中央经线投影后长度不变形；同一纬线上，长度比随经差增大而增大，同一经线上，长度比随纬度减小而增大，赤道处最大长度变形主要取决于经差等变形线近似平行于中央经线。

此投影无角度变形，中央经线无长度变形。为保证精度，采用分带投影方法：

经差6°或3°分带，长度变形

<0.14%NOSNXY赤道投影O分带规定

中国国家基本比例尺地形图采用高斯-克吕格分带投影：

1∶1万（3°分带）

1∶2.5万、1∶5万、1∶10万、1∶25万、1∶50万（6°分带）

高斯投影6°和3°带分带高斯-克吕格直角坐标yA=245863.7myB

=-168474.8myA通=20

745863.7myB通=20331525.2m地形图比例尺方里网图上间隔（cm）相应实地距离（km）1∶100001011∶25000411∶50000211∶100000221∶250000410方里网和经纬网规定方里网规定一定间隔上绘出平行于直角坐标轴的纵横网线。便于指挥目标、量测距离和方位。16地形图比例尺图幅经差图幅纬差经纬线间隔1∶2500001°30′1°15′×10′1∶5000003°2°30′×20′经纬线网（地理坐标网）间隔

经纬网规定1：25万和平：50万绘经纬线网，其它比例尺绘制方里网。17方里网重叠规定分带投影，独立坐标系。相邻方里网不能统一相接，使用不便。18一定范围内邻带坐标延伸到本带图幅上，边缘图幅有本带及相邻方里网，即方里网重叠。西边缘经差30′以内各图幅东边缘经差7.5′（1∶2.5万）以内各图幅东边缘经差15′（1∶5万）以内各图幅现行规范规定，每个投影带：必须加绘邻带坐标网17带18带19带经差30’内的1:10万,1:5万,1:2.5万图应绘西边邻带方里网经差15’内的1:5万图应绘东边邻带方里网经差7.5’内的1:2.5万图应绘东边邻带方里网地形图比例尺图幅范围纬线最大矢长（mm）图廓点数经差纬差1∶250007ˊ30″5′0.0821∶5000015′10′0.1521∶10000030′20′0.3131∶2500001°30′1°1.0871∶5000003°2°2.197

图廓点数规定图廓点数规定(2)通用横轴墨卡托投影——UTM投影此投影无角度变形，中央经线长度比为0.9996。亦采用分带投影方法：经差6°或3°分带。长度变形<0.04%

以横轴椭圆柱面割于地球椭球体的两条等高圈，按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。又称UniversalTransverseMercator——UTM投影。23＋84°－84°UTM投影特点中央子午线长度变形比为0.9996；在6˚带内最大长度变形不超过0.04%；投影带编号，第1带在177°W（自东经180°自西向东排列）；其它同高斯投影。24一定范围内邻带坐标延伸到本带图幅上，边缘图幅有本带及相邻方里网，即方里网重叠。如何理解地形图上的方里网与地图的图廓有不同的夹角形态，对其分析的意义何在?1.2世界地图投影主要类型：多圆锥投影、圆柱投影和伪圆柱投影

具体方案：多圆锥投影墨卡托（Mercator）投影摩尔威特（Mollweide）投影古德（Goode）投影

设想更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称中央经线的曲线。1.2.1多圆锥投影

普通多圆锥投影（1820年美国Hasslar所创）m0=1n=1m>1任意投影适于南北方向延伸地区地图1.2.3摩尔维特（Mollweide）投影等面积伪圆柱投影，常用于编制小比例尺世界地图S90=Searth/2投影特点：P=1无面积变形S90=Searth/2赤道长度=中央经线×2常用于编制世界地图及东、西半球地图40°44′11.8″

1.2.4古德（Goode）投影

美地理学家古德（J.PaulGoode）于1923年提出在整个制图区域主要部分中央都设置一条中央经线，分别进行投影，则全图就分成几瓣，各瓣沿赤道连接在一起。投影特点：分瓣、组合投影，变形减小且均匀大陆完整，大洋割裂大洋完整，大陆割裂

常用于编制世界地图1.2.5摩尔威特—

古德投影

为进一步保证大陆完态性，克服桑逊投影高纬部分变形大的缺憾，采取分瓣组合投影的方法，在海洋部分断裂，在南北纬40度之间采用桑逊投影，40度以外采用摩尔魏特投影，构成摩尔魏特—古德投影。 国外出版的世界地图集中的世界地图经常采用这种投影，如美国出版的古德世界地图集中的世界各种自然地图，大多采用古德投影。2.地图投影的选择依据（一）制图区域的地理位置，形状和范围

①制图区域地理位置决定了所选择投影的种类。

极地——

赤道附近——

中纬地区——正轴方位投影横轴方位投影正轴圆锥投影或斜轴方位投影②制图区域形状直接制约地图投影的选择。中纬度地区:沿纬线方向延伸的长形区域——沿经线方向略窄，沿纬线方向略宽的长形区域——沿经线方向南北延伸的长形区域——圆形区域——

低纬赤道附近:沿东西方向长条形区域——圆形区域——单标准纬线正轴圆锥投影双标准纬线正轴圆锥投影

多圆锥投影斜轴方位投影正轴圆柱投影

横轴方位投影

（二）制图比例尺 不同比例尺地图，对精度要求不同，投影选择不同。 以我国为例，大比例地形图，量算及精确定位，选择各方面变形都较小的地图投影，如分带投影的横轴等角椭圆柱投影；中小比例尺的省区图，定位精度相对降低，选择正轴等角、等积、等距圆锥投影。(三)地图的内容 表现的主题和内容。 交通图，航海图，航空图

自然地图和社会经济地图中的分布图，类型图，区划图

世界时区图等角投影

等积投影

经线投影成直线的正轴圆柱投影

地图的出版方式：对单幅地图，选择投影比较简单，但如果是地图集中或一组图中的一幅，就需要考虑和其余地图的相互关系，使他们比较协调一致。例如同一地区的一组自然地图可用同一投影，地图集中的各分幅地图最好用同一系统或同类性质的地图投影。

地图的用途：教学挂图常要求图上各种变形都不太大，因此多采用任意投影。在教学图中也因对象不同投影的选择也不一样，例如对中小学生来说，为了给学生较完态的地理概念，一般不采用分瓣投影方案，对于大学生来讲，应提高地图的精度，尽量减小投影变形以便于图上量算和比较。

42地图类型所用投影主要技术参数中国全图斜轴等面积方位投影斜轴等角方位投影投影中心：j=27°30′λ=+105°或j=30°30′λ=+105°或j=35°00′λ=+105°中国全图（南海诸岛做插曲图）下轴等面积割圆锥投影（Lambert投影）标准纬线：j1=25°00′，j2=47°00′中国分省（区）地图（海南省除外）正轴等角割圆锥投影正轴等面积割圆锥投影各省（区）图分别采用各自标准纬线中国分省（区）地图（海南省）正轴等角圆柱投影国家基本比例尺地形图系列1:100万正轴等角割圆锥投影按国际统一4°×6°分幅，标准纬线：j1＝js+35′j2＝jn+35′国家基本比例尺地形图系列1:5万～1:50万高斯一克吕格投影（6°分带）投影带号（N）：13～23中央经线：λ0=(6N-3)°国家基本比例尺地形图系列1:5000～1:2.5万高斯一克吕格投影（3°分带）投影带号（N）：24～46中央经线：λ0=(3N)°国家基本比例尺地形图系列1:5万～1:50万高斯一克吕格投影（6°分带）投影带号（N）：11～22中央经线：λ0=(6N-3)°城市图系列（1:500～1:5000）城市平面局域投影或城市局部坐标的高斯投影

地图的比例尺

地图比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线水平投影长度之比。可表达为（d为图上距离，D为实地距离）

3.地图比例尺3.1地图比例尺的形式传统地图上的比例尺通常有以下几种表现形式数字式比例尺：如“1∶10000”文字式比例尺：如“图上1厘米等于实地1千米”图解比例尺： 直线比例尺 斜分比例尺 复式比例尺

直线比例尺是以直线线段形式标明图上线段长度所对应的地面距离。

斜分比例尺，是一种根据相似三角形原理制成的图解比例尺，利用这种斜分比例尺，可以量取比例尺基本长度单位的百分之一。它是由纵、横两种分划组成的复合比例尺，纵分划为斜线，横分划及其注记与直线比例尺相同。使用时，先在图上用量角规卡出欲量线段的长度，再到复合比例尺上比量。比量时：每上升一条水平线，斜线的偏值将增加0.01基本单位；量角规的两脚务必位