小学数学教材中的几何模型在运算中的应用 论文

小学数学教材中的几何模型在运算中摘要：计算教学的一个重要的功能是发展学生的运算能力，运算能力的提高应是基于对算理的充分理解，教学中遵循学生的认知规律，尊重教材编写的科学性，采取低段用实物表征算理，中段操作图形外化算理，高段利用图形高度概括算理，也即“化数为形—以形明理—借理建模”的计算教学顺序。关键词：几何模型化数为形推理算理算法引言：在实际的教学中师生们为了追求好的考试成绩往往把焦点集中在了对计算[1]熟练度和准确性的培养上，为此，老师和学生付出了大量的时间和精力进行训练。在考试的巨大压力下这实属无奈之举，由此也带来了一连串的问题：学生不明白数学运算的本质，对算式意义的认识过于狭隘，多数学生即使会正确计算也未必明白算理。计算教学的意义不仅仅是能够让学生熟练、准确的计算结果，更重要的是从中感悟到利用原理进行推理的过程，体会到其中的逻辑关系和算法的合理性，因此，我们必须回归到对算法的理解上。算理是内隐的、抽象的，而小学生以形象思维为主，逻辑思维和抽象概括能力不高，理解算理肯定是有难度的。那么该如何借助几何模型理解算理呢？其实各版本的小学数学教材已经为讲明算理设计了丰富的几何模型资源，我们只需要读懂它、理解它、用好它便可借形明理达到事半功倍的效果。因此，很有必要对教材中的几何模型助力下的计算教学进行更高维度的研究和认识。下面笔者将按由低年级到高年级顺序，按照学生的认知规律阐述教材中的几何模型在计算教学中的明理应用。一、用实物表征运算事实的低年小学一年级是计算教学的开始阶段，低年级学生对几何图形的理解还处在直观感知层面。为了向学生说明整数的意义和整数加、减运算的本质，教科书采用实物以“直观的几何模型进行算理的推演，借助观察和实际的操作把过程依托在实物上，这样学生在探索计算方法上就变的有形可依。1.算理初探。以十进制计算法为基础的加、减运算的算理探索为后续扩展数系的计算教学积累原始的数学活动经验。通常会借助摆小棒、分卡片、拨计数器等，来帮助学生把算法推理的过程外化成几何模型。例如，从北师大版和人教版教科书在“9加几”进位加法教学上的编排特点来看，都借助了具体的情景提出问题，由此，学生很容易结合数的实际意义与生活的联系列出算式，对于算法的探索则要根据算式的意义经过形象的推理过程，两种教材都采用了小棒作为算式意义的表征”，即：移动小棒是一变形。北师版教材引导学生从数学经验出发，鼓励呈现多样性化的算法，可以一个一个的数，可以从5根小棒中拿出1根和9根凑在一起变成10根，还可以从9根小棒中拿出5根和另外5根凑在一起变成10根，虽然最终我们更倾向于选折第二种算法，但其余两种算法的探索在帮助学生发展推理能力也起到了很大的作用。2.灵魂一问。为什么要凑成10呢？”学生会回答：因为好算。那作为老师又该怎样理解孩子”的口中的“好算”呢？其实学生所谓的“好算”，在找到好算之前学生经历了寻找思维捷径过程，而这个过程并不是容易的，所以说虽好算并“不好想”。小棒这一直观解释的出现让思维找到了依托，反观通的方式确实好想但并不好算，当然不可否认这种方法学生是完全认同的因为它停留在学生的认知范围之内，很容易理解。在第二个问题串中教材通过用计数器来直观的描述位置的意义，把摆小棒的过程抽象为计数单位的运算，教材编写的精妙之处可见一斑。人教版的教材更强调结合摆小棒的过程快速的将算理表达成数学语言，着重借助了数形结合的思想来理解算理。但从几何模型的可操作性上、算法的多样性的呈现、提供直观素材的丰富性上来看我认为北师大版教材更胜一筹。3.模型推演。再如，关于“20以内大退位减法”的教学北师大版（图3）与苏教版（图4）都借助了多样的几何模型对算理加以阐述，要实现学生最终形成表征图像来支撑计算思维就要不断的摆、画、拨等活动积累一定的思维经验。由此看在计算教学的初级阶段，算理的几何解释还没有形成符号化的固有计算模型（如，竖式计算）而是允许学生通过化数为形的方式进行实物推演算理，为计算法则建立计算模型做好铺垫。二、用图示建构计算模型的中年在计算计算教学中，当对实物表象的基本算理积累到一定程度到的时候就要外化成[5]一种便于运算的计算模型，这种可操作性较强的模型就是最优算法。同时这个阶段的计算教学是建立在之前的教学之上的，如学生经过“20以内加减法”的学习已经有了一定的算理的积累完全可以开启两位数加减两位数的教学。1.外化算理。由于多位数运算的复杂性，我们必须将算理外化成便于操作的计算程序，这些程序的累加就是算法，比如竖式计算这种模型所承载的就是抽象的算法，而需要的几何模型就更为复杂，这个过程可以归纳为“化数为形—以形明理—借理建模”。下面我们通过不同版本的教材编写说明这一过程的可操作性。例如，在教学“进位的两位数加两位数”时，三种教材呈现了如下的编写特点，北师大版同人教版的编排方式很接近，都是现将抽像的数根据据位值的意义用形象直观的小棒表示出来，1捆对应十位上的1，一根对应各位上的1，这就是“化数为形”的过程。通过圈一圈的操作，把散落的一根的小棒圈在一起进行求和，把成捆的小棒圈在一起进行求和，这个过程的建构学生使可以清晰的认识到加减运算必须建立在计数单位的统一之上。当发现散落的小棒的个数大于等于10的时相加后个位的位值已经不能表达这个数的大小了，这时就需要进行计数单位的换算，于是就把10根小棒捆成一捆，对应的数学解释是把10个一转化成1个十，这就是我们利用“以形明理”推演“满10进1”这个事实的过程。最后，我们借助对算理的理解，把数学算式变为数学竖式，建立起最优算法的程序化模型，以便简化复杂的多步骤计算，这个过程就是计算教学的最—“借理建模、”。2.巧借桥梁。值得注意的是这个过程中计数器是连接形与数的重要桥梁，计数器对数的大小的表达介于小棒和数字之间，它即不像小棒那样有实际的数量也不像数字那样是完全的符号，它是珠子和数位组合体，数位的位值意义赋予每粒珠子不同的数值，计数器能将直观的小棒再进一步抽象成对算理的解释，因此，北师大版教材安排计数器的多次出现在计算教学中，是遵循儿童认知规律的，是用利用几何直观解释算理的有效工具。3.借理建模。乘法是加法的简便运算，乘法的意义建立在加法的意义之上，所以乘法的运算过程实际上仍是求和的过程，那么这一计算过程的实际意义在教材中又是怎样借助几何模型来明晰算理的呢？下面以北师大版教材中的“两位数乘两位数”为例，再次审视算理渗透的巧妙之处。教材并没有急于对竖式计算两位数乘法展开教学，而是先编排了一节准备课，让学生在点子图上“圈一圈”，目的是把点子图划分成若干个较小的点子图，借助直观的模型使未知转化成已知。在画圈点子图的过程中学生积累了丰富的运算经验和方法，也借助这些几何表达理解了算理，这时我们就将教学过渡到下一课时选取一种最优的计算方法将其中的运算逻辑关系用竖式计算表达出来从而实现“借理建模”的转化提升过程，除法运算亦是如此。三、利用图形操作概括分数运算意义的高分数的运算不同于整数和小数的运算，整数与小数的运算是以十进制计数法为基础建立起来的，每个两个相相邻的计数单位之间的进率是十而分数单位却没有固定的进率。当然，这里指的分数运算是不借助分数与除法的关系或商不变规律等进行转化后的分数运算而是纯分数的运算。1.分数墙的好处。分母不同的分数不能之间相加、减强调的是分数单位的统一，这一点和整数的加减运算是一致的，但在实际教学中仍有相当一部分学生不明白异分母分数的加减运算要先通分的道理。北师大版教材给出了“折纸”情境的图形操作活动（图10）帮助学生理解算理，这是解释算理的一个很好的几何模型，说到几何模型还是很有必要回归到分数的认识上，下面我们结合分数墙和分数单位的意义重新审视分数墙利用了数形结合的思想将分数单位间的大小关系用图形表示出来，这种有效的几何直观工具给分数运算的学习带来了很大的帮助。例如，+=？我们可以通过分数墙观察到相当于3个，相当于2个，因此+=，这种直观的解释其实就是回2636236到了分数加、减计算的根上去即换算分数单位使分数单位统一起来。在分数相关运算的教学中，老师往往忽略了用分数墙来说理，这种教学是有损失的或是不完美的。2.操作图形明算理。在学生看来分数的乘除运算是最简单的运算，认为就是“分子乘分子，分母乘分母除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”。甚至部分老师也会这样认为。他们所认为的只是运算形式上的简单，对于算理我想很多学生应该是不清楚或是没思考过的。分数乘、除法计算的教学重难点应是将算式的意义通过等分图形的操作概括出来，再根据操作的过程和结果理解算法的意义，其中难点在于如何通过严谨的逻辑思维指导学生用画的方式把算式的意义表达清楚，如果缺少通过几何模型来理解算式的意义势必会制约解决问题能力的发展。下面我们仍将通过教材内容的分析感知如何利用数形结合思想、借助几何直观外化分数乘除法的算理。例如，北师大版教材和人教版教材在教学“分数乘分数”的策略上有着各自的特×的几何模型之前要先理解算式表达的意义，即的是多少？用等分图形的方式来表达运算的过程。首先是把这张纸等分成4份取其中的，43再把等分成4份取其中的1份，经过两次等分这张纸被等分成4×4=20（份），此时被取走的部分是3×1=3（份），结果是。人教版教材也构建了相同意义的几何模型辅20助说理，笔者特别注意到人教版教材在对图形进行第二次等分时并不是对整张纸进行一次性5等分，而是先对其中的经进行5等分，这样的呈现可以让学生更深刻的体会到211分数存在意义的前提是平均分，虽然我们并不从另外的中取走但仍要对整体平均分。学生在受到上述几何模型的启发后做出了对分数乘法的理解：因为分了又分所以分[7]母相乘，因为取了又取所以分子乘分子。3.数形结合的归纳推理。北师大版教材中“分数除法”内容的教学是以多组算式结合多组几何模型经过合情推理归纳出：除以一个不为零的数等于成这个数的倒数。这过关注结果进行类比，而促使结果产生的数形结合的演绎过程却没能呈现，相较而言学生更喜欢图16的推类方式，3(的意义是把每个单位“1”等分成4份把其中的3份作4为一个整体求有多少个这样的整体，因此，可以将算式的计算过程写成：344=3×4÷3=3×即得出算法。经过对图形的操作（折叠、等分再等分、涂色等）可以建构3对算理的直观解释，这一解释恰是对分数运算的高度概括。综上所述，纵观各版本小学数学教材，计算教学的策略无不应用几何模的直观图示实现以形明理的，可见几何模型的直观性在理解算法的过程中发挥着重要的作用，也正如著名数学家华罗庚所说：“形可以使数更直观，数可以使形更入微。”教师要根据实际教学内容以数形结合思想为基础，引导学生借助几何模型把抽象的算理表征到形象的实物或图形上，再通过观察、思考、动手操作积累数学活动经验，促使学生逐步用形象思维来理解算理，进而发展抽象思维能力。通过对教材的再一次深入的研读，笔者发现数学教材在利用几何模型解释算理的编写上下足了功夫，几何模型比比皆是它们无处不明理无处不育人。采取低段借助实物建构模型表征意义，中高段以图示外化、高段概括算理，这样的编排可谓细致入微精妙绝伦。参考文献[1]王永春.小学数学与数学思想方法[M].华东师范大学出版社2014年版，第67页。[2]范月菊.促思明理使学习走向深入[J].小学数学教育，2020(4)：28-29.[3]刘颖.几