2023-2024学年江西省吉安市高二（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江西省吉安市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x+3yA.π3 B.π2 C.5π2.已知空间中点N(e,d,fA.(e,d,−f) B.3.两平行直线5x−12y+2A.526 B.726 C.5134.抛物线x2=16y的焦点到点(A.2 B.5 C.7 5.将8个外观相同的苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少分到1个苹果，共有不同的分法(

)A.15种 B.18种 C.21种 D.24种6.一条经过点M(2,−1)的直线l与圆C：(x−1)2A.x=2或x−y+2−1=0 B.y7.在三棱锥M−ABC中，MA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，AB=2，A.12 B.23 C.138.已知椭圆x29+y2=1的左、右顶点分别为A，B，点P为该椭圆上位于x轴上方一点，直线AP与直线x=4交于点C，直线BP与直线A.16 B.121 C.13或121 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l：3x+yA.l的一个方向向量为k=(1,−3)

B.l的截距式方程为x23−3+y210.(2x−1A.二项式系数之和为32 B.最高次项系数为32

C.所有项系数之和为−1 D.所有项系数之和为11.双曲线T：x2a2−y2=1的焦点为F1(−2,0)，F2(2,0)，过A.a=3

B.|AF1|−|12.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1A.FC1//平面AB1E

B.直线FC1与底面ABCD所成的角的正弦值为55

C.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若二元二次方程x2+y2−ax14.第19届杭州亚运会开幕前需在某高中招募10名志愿者作为高中组志愿者代表，分成两组，每组5人，共有15人报了名.其中小王、小张也报了名，则两人都被选中且被分在不同组的概率为______．15.抛物线y2=6x上有一动点P，过P作曲线x2−4x+16.已知实数x，y满足2x=1−y2四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

判断5555+9是否能被818.(本小题12分)

已知M为过点A(2,2)，B(1,3)，C(1,1)三点的圆．

(119.(本小题12分)

在空间直角坐标系O−xyz中，A(2,0,1)，B(2,2,0)，C(0,20.(本小题12分)

已知过x轴正半轴上一点N的直线l：x=my+a交抛物线C：y2=4x于P21.(本小题12分)

如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的棱长均为2，底面ABCD是菱形，∠BAD=π3，E为AB的中点，且CC1上一点P满足22.(本小题12分)

设x，y∈R，向量i，j分别为直角坐标平面内x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量OA=(x+1)i+yj，OB=(x−1)i+yj，且|OA|+|OB|=4．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：设直线的倾斜角α(0≤α<π)，

直线x+3y+n2024=0的斜率2.【答案】A

【解析】解：点N关于平面xOy对称的点的坐标是(e,d,−f)3.【答案】B

【解析】解：直线10x−24y−3=0，即5x−12y−4.【答案】B

【解析】解：抛物线x2=16y的焦点为F(0,4)，

所以点(2,5.【答案】C

【解析】解：挡板法：8个苹果间会产生7个空隙，任选2个空隙将苹果分开，即分成三份，

共有C72=21种分法．

故选：C．6.【答案】D

【解析】解：设直线l的方程为y+1=k(x−2)，即kx−y−2k−1=0，

由圆C：(x−1)2+y2=30，可得C(1,0)，r2=30，

7.【答案】C

【解析】解：因为MA⊥平面ABC，

所以以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

因为△ABC为正三角形，AB=2，MA=5，

所以A(0,0,0)，B(3,1,0)，M(0,0,5)，C(0,2,0)8.【答案】C

【解析】解：∵椭圆方程为x29+y2=1，

∴a=3，b=1，c=22，

∴A(−3,0)，B(3,0)，设P(x0,y0)，

则kPAkPB=y02x02−9.【答案】AD【解析】解：由直线方程知：l的一个方向向量为k=(1,−3)，故A对；

由3x+y=2−3，则截距式为x23−1+y2−3=1，故B错；

l与直线x−ay10.【答案】AB【解析】解：由于二项式系数之和为C50+C51+⋅⋅⋅+C55=32，故A正确．

设展开式第k+1项为Tk+1=C5k(211.【答案】BC【解析】解：双曲线T：x2a2−y2=1的焦点为F1(−2,0)，F2(2,0)，过F1的直线l1与双曲线的左支相交于A，B两点，过F2的直线l2与双曲线的右支相交于C，D两点，若四边形ABCD为平行四边形，

可得c=2，a2=c2−1=3，则a=±3，故A错误．

由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：|CF2|=|AF1|，

则||AF1|−|CF|1|=||CF2|−|CF1||=|212.【答案】AB【解析】解：对于A，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，DE=12DD1，BF=FB1，

以点D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，E(0,0,12)，F(1,1,12)，

FC1=(−1,0,12)，AE=(−1,0,12)，

∵FC1=AE，∴FC1/​/AE，

∵AE⊂平面AB1E，FC1⊄平面AB1E，∴FC1/​/平面AB1E，故A正确；13.【答案】(−【解析】解：∵二元二次方程x2+y2−ax+(3a−1)y+54=014.【答案】521【解析】解：该两人都被选中且被分在不同组为目标分组，分法种数为C134C94，

15人选10人分两组的分法种数为C155C105A22，15.【答案】15【解析】解：曲线x2−4x+y2+154=0，即(x−2)2+y2=14，

表示以M(2,0)圆心，半径为14的圆，

如图：

|P16.【答案】[−【解析】解：因为2x=1−y2，所以4x2+y2=1，x≥0，

根据数形结合，4x2+y2=1，x≥0，可看作是椭圆x214+y2=1的一半(如图)．

又因为yx−2等价于过点(2,0)和点(x,y)的直线的斜率k17.【答案】解：能被8整除，

证明：5555+9=(56−1)55+9

=C5505655【解析】将已知关系式化简为5555+918.【答案】解：(1)设圆的方程为：x2+y2+Dx+Gy+F=0，

由题可得：8+2D+2G+F=010+D+3G+F=02+D+G+F=0，解得D【解析】(1)由待定系数法即可求得；

(2)由直线与圆M有交点建立关于19.【答案】解：(1)A(2,0,1)，B(2,2,0)，D(3,4,−1)．

则AB=(0,【解析】(1)根据已知条件，结合向量的数量积运算，即可求解；

(220.【答案】证明：点N是直线l：x=my+a与x轴正半轴的交点，

∴N(a,0)，a>0，

设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

联立方程组y2=4xx=my+a，

整理得y2−4my−4a=0，

∵a>0【解析】设P(x1,y1)，Q(x2,y221.【答案】(1)证明：直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的棱长均为2，底面ABCD是菱形，

连接AC，BD交于点O，如图所示．

∴AC⊥BD，且AC，BD互相平分．

又AB=2,∠BAD=π3，

∴OA=OC=3，OB=OD=1，

连接A1C1，B1D1交于点O1，连接OO1，

则OO1⊥平面ABCD，

∴OB，OC，OO1两两相互垂直，故以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(0,−3,0)，B(1,0,0)，C(0,【解析】(1)连接AC，BD交于点O，连接A1C1，B1D1交于点O1，连接OO1，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系．通过向量的数量积为0，证明A12